Материалы сайта «Решу ЕГЭ» подготовка к всероссийским проверочным работам (стр. 20 )

Ответ: любое число от 100 до 109.

9. Име­ет­ся 9 ли­стов бу­ма­ги. Не­ко­то­рые из них разо­рва­ли на 3 или 5 ча­стей. Не­ко­то­рое из об­ра­зо­вав­ших­ся ча­стей разо­рва­ли на 3 или 5 ча­стей и так не­сколь­ко раз. Можно ли после не­сколь­ких таких опе­ра­ций по­лу­чить 100 ча­стей?

За­пи­ши­те ре­ше­ние и ответ.

По­яс­не­ние.

Ре­ше­ние: рас­смот­рим раз­лич­ные си­ту­а­ции. Счи­та­ем, что из 9 ли­стов, один лист разо­рва­ли на 3 части, тогда имеем: 8 + 3 = 11 ча­стей (не­чет­ное число). Счи­та­ем, что из 9 ли­стов, один лист разо­рва­ли на 5 ча­стей: 8 + 5 = 13 ча­стей (не­чет­ное число). Счи­та­ем, что листы разо­рва­ли и на 3 и 5 ли­стов: 7 + 3 + 5 = 15 ча­стей (не­чет­ное число). При любой опе­ра­ции мы по­лу­ча­ем не­чет­ное ко­ли­че­ство ли­стов, по­это­му по­лу­чить 100 ча­стей не­воз­мож­но.

Ответ: нет.

10. В клас­се 25 уча­щих­ся. Из них 20 за­ни­ма­ют­ся ан­глий­ским язы­ком, 17 увле­ка­ют­ся пла­ва­ни­ем, 14 по­се­ща­ют ма­те­ма­ти­че­ский кру­жок. До­ка­жи­те, что в клас­се найдётся хотя бы один уче­ник, ко­то­рый за­ни­ма­ет­ся ан­глий­ским язы­ком, увле­ка­ет­ся пла­ва­ни­ем и по­се­ща­ет ма­те­ма­ти­че­ский кру­жок.

За­пи­ши­те ре­ше­ние и ответ.

По­яс­не­ние.

Ре­ше­ние: всего в клас­се 25 че­ло­век. Не за­ни­ма­ют­ся ан­глий­ским язы­ком че­ло­век. Если бы эти уча­щи­е­ся за­ни­ма­лись толь­ко пла­ва­ни­ем, то их было 5 че­ло­век, но таких в клас­се 17, зна­чит, най­дут­ся хотя бы 12 че­ло­век, ко­то­рые за­ни­ма­ют­ся и ан­глий­ским язы­ком и пла­ва­ни­ем. Также рас­суж­да­ем про ма­те­ма­ти­че­ский кру­жок: хотя бы 9 че­ло­век, ко­то­рые за­ни­ма­ют­ся ан­глий­ским язы­ком, ходят в ма­те­ма­ти­че­ский кру­жок. Тогда все осталь­ные 25 - 9 = 14 че­ло­век могут за­ни­мать­ся пла­ва­ни­ем, но не ходит в ма­те­ма­ти­че­ский кру­жок. Од­на­ко 17 - 14 = 3, по­это­му как ми­ни­мум 3 че­ло­ве­ка за­ни­ма­ют­ся ан­глий­ским язы­ком, увле­ка­ют­ся пла­ва­ни­ем и по­се­ща­ют ма­те­ма­ти­че­ский кру­жок.

11. Саша за­ме­тил, что когда он ехал в школу на ав­то­бу­се, а воз­вра­щал­ся на трол­лей­бу­се, то на весь путь было за­тра­че­но 35 мин. Когда же он туда и об­рат­но ехал на ав­то­бу­се, за­тра­тил 40 мин. Сколь­ко вре­ме­ни по­тра­тит Саша на путь в школу и об­рат­но, если будет ехать на трол­лей­бу­се?

За­пи­ши­те ре­ше­ние и ответ.

По­яс­не­ние.

Ре­ше­ние: пусть х — время, ко­то­рое Саша тра­тит, когда едет на ав­то­бу­се. Тогда: минут едет ав­то­бус. Сле­до­ва­тель­но: минут едет трол­лей­бус. Таким об­ра­зом, на весь путь Саша по­тра­тит минут на трол­лей­бу­се.

Ответ: 30 минут.

12. В шести ко­роб­ках лежат ко­пей­ки. В пер­вой — 1, во вто­рой — 2, в тре­тьей — 3 и т. д., в ше­стой — 6. За один ход раз­ре­ша­ет­ся в любые две ко­роб­ки до­ба­вить по 1 ко­пей­ке. Можно ли за не­сколь­ко ходов урав­нять ко­ли­че­ство ко­пе­ек в ко­роб­ках?

За­пи­ши­те ре­ше­ние и ответ.

По­яс­не­ние.

Ре­ше­ние: в на­чаль­ный мо­мент ко­пе­ек во всех ко­роб­ках . При каж­дом ходе до­бав­ля­ет­ся 2 ко­пей­ки, и снова по­лу­ча­ет­ся не­чет­ное число (23, 25 и т. д.). Не­чет­ное число не де­лит­ся на 6, сле­до­ва­тель­но, нет, нель­зя урав­нять ко­ли­че­ство ко­пе­ек в ко­роб­ках.

Ответ: нет.

13. Два пу­те­ше­ствен­ни­ка до­би­ра­лись из пунк­та А в пункт В. Пер­вый пу­те­ше­ствен­ник сна­ча­ла прошёл по­ло­ви­ну пути пеш­ком, а затем вто­рую по­ло­ви­ну пути про­ехал на ав­то­бу­се. Вто­рой пу­те­ше­ствен­ник тоже шёл сна­ча­ла пеш­ком с такой же ско­ро­стью, как и пер­вый пу­те­ше­ствен­ник, а затем тоже ехал на ав­то­бу­се с такой же ско­ро­стью, как и пер­вый пу­те­ше­ствен­ник. При этом ока­за­лось, что вто­рой пу­те­ше­ствен­ник шёл пеш­ком столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко ехал на ав­то­бу­се. Какой пу­те­ше­ствен­ник до­брал­ся из А в В за мень­шее время?

За­пи­ши­те ре­ше­ние и ответ.

По­яс­не­ние.

Ре­ше­ние: По­сколь­ку ско­ро­сти у пу­те­ше­ствен­ни­ков оди­на­ко­вы, будем оце­ни­вать время. У вто­ро­го пут­ни­ка время, за­тра­чен­ное на то, чтобы идти пеш­ком и на то, чтобы ехать на ав­то­бу­се — оди­на­ко­вое. У пер­во­го пут­ни­ка время, за­тра­чен­ное на ав­то­бус мень­ше, чем время, за­тра­чен­ное на ходь­бу. Таким об­ра­зом, вре­ме­ни пер­во­му пут­ни­ку по­на­до­би­лось мень­ше.

Ответ: пер­вый.

14. Ночью к мосту через речку по­до­шла семья: маль­чик, мама, папа и ба­буш­ка. Мост вы­дер­жи­ва­ет толь­ко двоих. Дви­гать­ся они могут со ско­ро­стью того, кто идёт мед­лен­нее, и при этом у них обя­за­тель­но дол­жен быть фо­на­рик. За какое наи­мень­шее время семья смо­жет пе­ре­пра­вить­ся на про­ти­во­по­лож­ный берег, если в оди­ноч­ку для пе­ре­хо­да через мост тре­бу­ет­ся: маль­чи­ку — 2 ми­ну­ты, папе — 1 ми­ну­та, маме — 5 минут, ба­буш­ке — 10 минут, а фо­на­рик у них толь­ко один? (Нель­зя све­тить из­да­ли, но­сить друг друга на руках, пе­ре­бра­сы­вать фо­на­рик через мост).

За­пи­ши­те ре­ше­ние и ответ.

По­яс­не­ние.

Ре­ше­ние: хо­дить об­рат­но с фо­на­ри­ком будут самые быст­рые — маль­чик или папа. По­лу­ча­ем сле­ду­ю­щий путь: маль­чик с папой идут 2 ми­ну­ты, об­рат­но идет папа 1 ми­ну­ту, идут мама и ба­буш­ка 10 минут, об­рат­но идет маль­чик 2 ми­ну­ты, на­ко­нец, маль­чик с папой идут 2 ми­ну­ты. Итого: 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 минут.

Ответ: 17.

15. Мо­то­цик­лист про­ез­жа­ет путь от де­рев­ни до стан­ции за 0,3 ч. Он вы­ехал из де­рев­ни, когда ве­ло­си­пе­дист, сле­ду­ю­щий по тому же марш­ру­ту со ско­ро­стью 15 км/ч, уже отъ­е­хал на рас­сто­я­ние 9 км. На стан­цию ве­ло­си­пе­дист и мо­то­цик­лист при­бы­ли од­но­вре­мен­но. На каком рас­сто­я­нии от ве­ло­си­пе­ди­ста был мо­то­цик­лист через 10 мин после сво­е­го вы­ез­да?

За­пи­ши­те ре­ше­ние и ответ.

По­яс­не­ние.

Ре­ше­ние: Ве­ло­си­пе­дист до мо­то­цик­ли­ста про­ехал часа. Далее вы­ехал мо­то­цик­лист, а зна­чит, время, за­тра­чен­ное ве­ло­си­пе­ди­стом на весь путь: часа. Таким об­ра­зом, рас­сто­я­ние от де­рев­ни до стан­ции со­став­ля­ет км. Ско­рость мо­то­цик­ли­ста равна км/ч. За 10 минут мо­то­цик­лист про­едет км. Ве­ло­си­пе­дист за это время про­едет: км. Таким об­ра­зом, рас­сто­я­ние между ними со­став­ля­ло: км.