Функциональный анализ языка . . Функциональный анализ языка (стр. 2 )

Г. Кантором была доказана следующая важная теорема: какое бы множество М мы не взяли, мощность множества 2М всегда больше мощности М, т. е. множество 2М содержит больше элементов, чем множество М. Применительно к рассмотренному выше примеру это выражается в том, что исходное множество М содержало 3 элемента, а множество 2М содержит уже 8 элементов. Если через N обозначить множество натуральных чисел, которое является счетным множеством, то множество 2N всех подмножеств, которые можно образовать из натуральных чисел, согласно теореме Кантора, содержит большее количество элементов, чем их содержит натуральный ряд. А потому это множество будет уже несчетным.

Кортежи

Кортежем называется линейно упорядоченная последовательность предметов. При этом в отличие от обычных множеств, в которые каждый элемент входит в единственном экземпляре, в кортеж один и тот же элемент может входить несколько раз. Для обозначения кортежа используются уголковые скобки. Запись вида <u1, u2, u1, u1> обозначает кортеж, представляющий собой упорядоченную четверку, т. е. n-ку предметов, где n = 4, причем объект u1 входит в состав кортежа три раза – на первом, третьем и четвертом местах, а объект u2 один раз – на втором месте. Каждый предмет, входящий в кортеж на определенном месте, называется компонентой. Различают первую, вторую, третью и т. д. компоненты кортежа.

Кортежи бывают пустыми и не пустыми (конечными). Пустой кортеж – это кортеж, не содержащий ни одной компоненты, его длина равна 0. Он обозначается знаком «< >». Конечные кортежи бывают однокомпонентные – <u>, двухкомпонентные <u1, u2> и т. д. В теории множеств принимается, что для однокомпонентных кортежей, скажем кортежа <u>, выполняется условие: <u> = u. Двухкомпонентные кортежи называются упорядоченными парами, или просто парами, трехкомпонентные – упорядоченными тройками, или просто тройками и т. д.

Будем считать, что два кортежа <u1, u2,..., un> и <d1, d2,..., dm> равны друг другу – <u1, u2,..., un> = <d1, d2,..., dm> (представляют собой один и тот же кортеж), если и только если выполняются следующие условия:

1. n = m, т. е. оба кортежа имеют одинаковое количество компонент (одинаковую длину),

2. i(ui = di), т. е. какие бы i-е компоненты обоих кортежей мы не взяли (первые, вторые и т. д.), должно быть верно, что эти компоненты обоих кортежей представляют собой один и тот же элемент – ui = di.

Отметим, что все выражения естественных языков представляют собой конечные линейно упорядоченные последовательности букв алфавита, а потому к ним применимо все, что говориться о кортежах. В этом случае равенство указанного только что типа называется графическим равенством и будет обозначаться знаком «≖». Например, с точностью до написания букв русского алфавита имеет место графическое равенство двух кортежей – <книга> ≖ <книга>. Однако неверно, что <книга> ≖ <книги>, так как, несмотря на то, что первые 4 компоненты в этих кортежах попарно равны друг другу, 5-ые компоненты различны. Точно также неверно, что <книга> ≖ <книгам>, так как эти два кортежа имеют разную длину.

Декартово произведение

Для функционального анализа языка особо важной операцией над множествами является декартово произведение множеств.

Декартовым произведением двух множеств М1 и М2 (обозначается М1 × М2) называется множество всех возможных пар <x, y> таких, что x является элементом первого множества, а y является элементом второго множества, т. е.

М1 × М2 =Df W<x, y>(x ∈ М1 & y ∈ М2).

Приведем соответствующие примеры.

Пусть М1= {1, 2, 3}, а М2 = {c, а}. Тогда, М1 × М2 = {<1, c>, <1, a>,
<2, c>, <2, a>, <3, c>, <3, a>}. В этом множестве 6 элементов, каждый из которых представляет собой упорядоченную пару, т. е. кортеж длины 2, где первые компоненты пар – это элементы множества М1, а вторые – элементы множества М2. Рассмотрим для этих же множеств их декартово произведение вида М2 × М1, т. е. переставим местами сомножители. В результате получим множество {<с, 1>, <а, 1>, <с, 2>, <а, 2>, <с, 3>, <а, 3>}, которое тоже содержит 6 элементов, однако легко заметить, что все элементы первого и второго множеств различны: ни одна пара из первого множества не является равной ни одной паре второго множества. Таким образом, порядок перемножения множеств существен.

Аналогично можно ввести и операцию декартова произведения трех, четырех и вообще n множеств.

Декартовым произведением множеств М1, М 2,..., М n является мно­жество М1 × М2 ×...× Мn всех упорядоченных n-ок <x1, x2,..., xn> таких, что x1 – элемент первого множества, x2 – элемент второго множества,..., xn – элемент n-ого множества, т. е.

М1 × М2 ×...× Мn =Df W<x1, x2,..., xn>(x1 ∈ М1 & x2 ∈ М2 &...& xn ∈ Мn).

В частном случае, когда некоторое множество М перемножается n раз само на себя, декартово произведение обозначается выражением Мn и называется n-ой декартовой степенью множества М.

Пусть N будет множеством натуральных чисел. Тогда N2, т. е. N × N есть множество всевозможных пар натуральных чисел. Элементами этого множества будут такие пары <1, 1>, <1, 2>, <2, 1>, <2, 2>, <1, 3>, <3, 1>, <2, 3>, <3, 2>, <3, 3> и т. д. Множество N3, т. е. N × N × N есть множество всевозможных троек натуральных чисел. Элементами этого множества будут такие тройки, как <1, 1, 1>, <1, 1, 2>, <1, 2, 1>, <1, 2, 2 >, <2, 1, 1>, <2, 1, 2> и т. д.

Теоретико-множественная трактовка свойств и отношений

Выше говорилось, что термины «свойство» и «отношение» при их экстенсиональном понимании трактуются как некоторые множества. Теперь у нас есть возможность единообразным способом придать строгий теоретико-множествен­ный смысл терминам «свойство» и «отношение».

Свойством R, заданном на множестве М, называется любое подмножество множества М, т. е. R ⊆ М.

Пример 1. Свойство, выраженное предикатором «русский», заданное на множестве граждан России, есть подмножество тех и только тех граждан России, которым присущ признак «быть русским».

Пример 2. Свойство, выраженное предикатором «русский», заданное на множестве всех людей, есть подмножества в классе всех людей (теперь не обязательно только граждан России), которым присуще указанное свойство.

Таким образом, термин «русский» репрезентирует в наших примерах два совершенно различных свойства, так как классы русских людей, заданные на множестве граждан России, с одной стороны, и множестве всех людей, с другой – это разные классы. Таким образом, термину «русский» соответствует целый куст различных свойств. А это и порождает многозначность естественного языка.

n-местным отношением R, заданном на множествах М1, М2,..., Мn, является любое подмножество декартова произведения М1 × М2 ×...× Мn, т. е. R ⊆ М1 × М2 ×...× Мn.

Если некоторый кортеж длины n <x1, x2,..., xn> декартова произведения
М1 × М2 ×...× Мn является элементом подмножества R, что записывается в форме <x1, x2,..., xn> ∈ R, то говорят также, что предметы x1, x2,..., xn находятся в отношении R. Последний факт символически обозначается выражением вида
R(x1, x2,..., xn). Вообще,

<x1, x2,..., xn> ∈ R ⇔ R(x1, x2,..., xn).

В случае, когда R является подмножеством декартовой степени Мn, т. е.
R ⊆ Мn, говорят, что R задано на множестве М.

Если R ⊆ М1, где М1 – первая декартова степень множества М, то, в силу соответствия <u> = u, множество М совпадает с М1 (М1 = М). В этом случае говорят, что R является свойством, заданным на множестве М.

Пример 1. Пусть А – множество городов, а В – множество государств. Образуем декартово произведение А × В. В этом множестве можно выделить такое подмножество R, которое состоит из тех и только тех пар, для которых верно, что первая компонента будет городом, который является столицей того государства, которое будет второй компонентой этой пары. В это множество в качестве элементов войдут, например, такие пары <Рим, Италия>, <Париж, Франция>, <Пекин, Китай>. Множество всех таких пар экстенсионально представляет собой двухместного отношение R – «столица государства» (см. Рис. 6).

Рис. 6

Пример 2. Пусть N – множество натуральных чисел. Образуем 2-ую декартову степень этого множества – N2. На нем можно выделить подмножество R таких пар, что первая компонента будет меньше, чем вторая компонента. Такими парами будут <1, 2>, <2, 3>, <2, 4>, <5, 10> и т. д. Тем самым множество R экстенсионально задает отношение «меньше» на множестве N (см. Рис. 7).

Рис. 7

Пример 3. Пусть А – множество людей. Тогда на этом множестве можно выделить подмножество R такое, что его элементами будут Ньютон, Лобачевский, Эйнштейн, Менделеев и т. д. Множество R задает экстенсионально свойство «ученый» (см. Рис. 8).

Рис. 8

Отметим, что, по определению, n-местное отношение R соотносится с декартовым произведением М1 × М2 ×...× Мn, (n = 1, 2,…), а потому, если хотя бы одно из множеств М1, М2,..., Мn заменяется другим множеством, мы, вообще говоря, имеем дело уже с другим отношением. Так, отношение «меньше» можно задать не только на натуральных числах, но и на рациональных, действительных и других разновидностях чисел. Но это уже будут иные отношения. Кроме того, отношение «меньше» часто задается на материальных объектах. При этом один предмет может быть меньше другого по площади, по длине, по массе и т. д. Предикатор «меньше», таким образом, выражает не одно отношение, а целое их семейство. И потому каждый раз употребление этого термина должно сопровождаться пояснением, на каких конкретно множествах оно задано. В четкой форме все нужные пояснения как раз и содержатся в теоретико-множественном способе задания отношений и свойств.