Функциональный анализ языка . . Функциональный анализ языка (стр. 1 )

Множества и кортежи

Здесь будет рассмотрен принятый в современной логике подход к анализу языка, согласно которому все его значимые выражения трактуются либо как знаки функций, либо как знаки их аргументов. Функциональный подход к языку позволяет получить стройную систему семантических категорий – осуществить классификацию языковых выражений в зависимости от типов их значений,
т. е. от типов репрезентируемых ими объектов, а для функциональных знаков – и от типов значений их аргументов.

Функциональный анализ языка опирается на ряд основополагающих понятий теории множеств – одной из самых универсальных общеметодологических теорий, значение которой для логического анализа трудно переоценить.

Основным теоретико-множественным понятием этой теории является понятие множества. Последний термин имеет большое число синонимов: класс, совокупность, собрание, сообщество, коллектив, многообразие, семейство, ансамбль и многие другие. Понятие множества столь фундаментально, что разъяснить его смысл можно только на примерах. Тем не менее, укажем, что множество – это объект, образованный за счет мысленного собирания в единое целое каких-либо предметов, в том числе, возможно, и самих множеств. Множества полностью характеризуются теми предметами, которые в них собраны. Поэтому, чтобы задать множество, достаточно тем или иным способом указать каждый элемент  (предмет), содержащийся в нем.

В теории множеств факт вхождения предмета u в множество M выражается записью «u ∈ M» – читается: «u элемент M», а факт не вхождения u в множество M записывается выражением «u ∉ M» – читается: «u не элемент M». Отношение, фиксируемое записью «u ∈ M», называется отношением принадлежности элемента классу.  В логике множества изображают графически с помощью так называемых кругов Эйлера – плоских геометрических фигур (кругов, эллипсов, прямоугольников и т. п.), а элементы множеств точками (см. Рис. 4):

Рис. 4

Задание множеств осуществляется несколькими способами.

(1) Если множество содержит конечное число элементов и практически легко обозримо, оно может быть задано перечислительно – списком элементов. Так, список лиц, входящих в некоторую учебную группу, задает множество студентов этой группы. Будем далее списки, задающие множества, заключать в фигурные скобки. Запись, например, {u1, u2, u3} означает, что рассматривается множество из трех элементов – u1, u2 и u3.

(2) Множество может быть задано аналитически – посредством некоторого признака, присущего всем его и только его элементам. Например, фраза «множество чисел таких, что они делятся на 2» задает множество четных чисел. Эта фраза образуется как сочленение (конкатенация) оператора множественности W с высказывательной формой вида «х делится на 2». Так как х – переменная, пробегающая по множеству чисел, то выражение «Wx(х делится на 2)» может быть прочитано как «множество чисел х таких, что х делится на 2». Ясно, что делимость на 2 является общим признаков для каждого элемента из этого множества.

(3) Множество может быть задано алгоритмически – некоторым конструктивным процессом (алгоритмом), порождающим из одних элементов множества другие его элементы. Например, множество всех натуральных чисел можно породить из числа 1 процедурой присоединения 1 к ранее уже построенному числу. Такая процедура выдаст следующую бесконечную последовательность элементов: 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1 и т. д. Эта последовательность как раз и является алгоритмически заданным множеством натуральных чисел.

Множества различаются количеством входящих в них элементов, или, как говорят в теории множеств, мощностью.

По мощности множества делятся на пустые (не содержащие элементов) и непустые (содержащие, по крайней мере, один элемент). Пустым является множество, которое не содержит ни одного элемента. Например, Wx(х есть люди & х живут на Солнце) – «множество людей, живущих на Солнце», и Wx(х круглый & х квадратный) – «множество круглых квадратов» являются пустыми, так как ни один предмет не обладает указанными свойствами. Факт пустоты множества обозначается знаком «∅».

Непустые множества, в свою очередь, бывают конечными и бесконечными. Мощность конечного множества может быть выражена конкретным натуральным числом. Среди конечных множеств выделяют одноэлементные множества, содержащие ровно один предмет, двухэлементные множества, содержащие ровно два предмета и т. д. Например, множество древнегреческих философов, обучавших Александра Македонского, т. е. Wx(х есть древнегреческий философ & х учитель Александра Македонского) задает одноэлементное множество, единственным элементом которого является Аристотель. Множество авторов романа «Двенадцать стульев», т. е. Wx(х есть автор романа «Двенадцать стульев») – двухэлементное, так как оно содержит ровно два элемента – И. Ильфа и Е. Петрова. Одноэлементное множество с единственным элементом u обозначается выражением {u}. Если во множество входит ровно два объекта – u1 и u2, то такое множество обозначается выражением {u1, u2} и т. д. Надо иметь в виду, что в теории множеств различают сам объект u и одноэлементное множество {u}, т. е. u ≠ {u}.

Бесконечные множества бывают разной мощности. Наименьшими по мощности являются счетные множества – множества, элементы которого можно поставить во взаимнооднозначное соответствие с натуральными числами, т. е. каждому элементу такого множества можно присвоить свой собственный номер. Так, множество четных чисел является счетным, поскольку четному числу 2 может быть сопоставлен номер 1, числу четыре – номер 2, и в общем случае, каждому четному числу 2n – номер n. Хорошими примерами счетных множеств являются множества различных лингвистических объектов. Так, множество всех выражений, которые можно построить в русском языке из букв алфавита, знаков препинания и пробелов, является счетным.

Все остальные бесконечные множества содержат большее количество элементов и относятся к числу несчетных, так как предметы, входящие в них, нельзя перенумеровать натуральными числами. Несчетным, например, является множество действительных чисел.

Множества могут находиться в различных отношениях друг к другу.

Если каждый элемент множества М1 является одновременно и элементом множества М2, т. е. справедливо утверждать, что ∀х(х ∈ М1 ⊃ х ∈ М2), что читается – «Для всякого предмета х из некоторой предметной области, верно, что если х ∈ М1, то х ∈ М2», то говорят, что М1 является подмножеством множества М2. Это отношение называется отношением включения класса в класс и обозначается символом «⊆». Утверждение, что множество М1 включается в множество М2, записывается в следующем виде: «М1 ⊆ М2».

Из данного определения следует, что подмножествами произвольного множества М являются пустое множество и само множество М: ∅ ⊆ М и
М ⊆ М. Пустое множество и само множество М называются несобственными подмножествами множества М. Остальные подмножества называются собственными (правильными) подмножествами множества М.

Если множества М1 и М2 включаются друг в друга, т. е. для них справедливы одновременно утверждения М1 ⊆ М2 и М2 ⊆ М1, то говорят, что множества М1 и М2 находятся в отношении равенства, т. е. М1 = М2.

Если множество М1 включается в множество М2, но не наоборот, т. е. если М1 ⊆ М2, но неверно, что М2 ⊆ М1, то говорят, что М1 строго включается в М2. Эта информация выражается записью «М1 ⊂ М2». В таком случае М1 называют видом М2, а М2 родом для М1. Ясно, что может быть и обратное отношение строгого включения – М2 ⊂ М1. В этом случае М2 будет видом, а М1 – родом.

Графически отношения строгого включения и равенства можно представить так (см. Рис. 5):

Рис. 5

Кроме этих трех отношений имеются и отношения иного типа, которые будут введены в соответствующих главах учебника.

Над множествами могут выполняться разнообразные операции. Некоторые из них будут рассмотрены в последующих главах. Здесь же остановимся лишь на операции, которая по произвольному множеству М порождает все его подмножества. Будем эту операцию называть операцией степени и обозначать посредством выражения 2М. Если М конечное n-элементное множество, то чтобы образовать множество всех его подмножеств, надо собрать в один класс все нульэлементные, одноэлементные, двухэлементные,... и, наконец, n-элементные подмножества, которые могут быть образованы из элементов множества М. Так, если М = {а, b, c}, то его множество-степень 2М = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.