Функциональный анализ языка . . Функциональный анализ языка (стр. 5 )

Функция I сопоставляет каждой предметной константе k произвольный элемент множества U, т. е.

I(k) ∈ U,

где k – метапеременная, пробегающая по предметным константам языка.

Интерпретация предикаторных констант. 

Предикаторные константы являются параметрами предикаторов естественного языка. Выше отмечалось, что значениями предикаторов можно считать множества (классы) объектов, причем элементами множеств, представляемых одноместными предикаторами, являются индивиды, двухместными предикаторами – пары индивидов, трехместными предикаторами – тройки индивидов и
т. д. Предикаторным константам приписываются значения того же типа, только это приписывание релятивизируется относительно области интерпретации U.

Одноместной предикаторной константе функция I сопоставляет произвольное множество элементов универсума U, т. е. значением одноместной предикаторной константы является некоторое подмножество множества U. Так, если U есть множество городов, то константе Р1 функция I может приписать, например, 1) пустое множество (например, множество городов, расположенных на северном полюсе), 2) множество российских городов, 3) множество городов с населением более 1 млн. человек, и даже 4) множество всех городов (ведь любое множество является подмножеством самого себя).

Двухместной предикаторной константе функция I сопоставляет произвольное множество пар, состоящих из элементов U, т. е. некоторое подмножество множества U2 – второй декартовой степени множества U. Если U есть множество городов, то константе Q2 может быть сопоставлено, например, 1) множество таких пар городов, первый из которых расположен севернее второго, 2) множество таких пар городов, первый из которых превосходит по населению второй. Пара городов <Санкт-Петербург, Москва> принадлежит первому из указанных множеств, поскольку Санкт-Петербург действительно расположен севернее Москвы, но не принадлежит второму множеству, так как Санкт-Петербург не превосходит по населению Москву.

Трехместной предикаторной константе сопоставляется некоторое множество троек, состоящих из элементов области интерпретации U. Иначе говоря, значением такой константы является произвольное подмножество множества U3 – третьей декартовой степени множества U. Например, предикаторной константе R3 в случае, если U – множество городов, может быть сопоставлено множество таких троек городов, первый из которых расположен между вторым и третьим. В состав данного множества войдет, скажем, тройка <Москва, Киев, Нижний Новгород>, поскольку Москва расположена между Киевом и Нижним Новгородом, но не войдет тройка <Киев, Москва, Нижний Новгород>, ведь Киев не расположен между Москвой и Нижним Новгородом. Итак, в общем случае значением n-местной предикаторной константы будет некоторый подкласс множества Un (n-ной декартовой степени U), который представляет собой класс всевозможных n-ок, составленных из элементов U:

Каждой n-местной предикаторной константе Пn функция I сопоставляет в качестве значения произвольное множество упорядоченных последовательностей, состоящих из п таких объектов, которые являются элементами универсума U, т. е.

I(Пn) ⊆ Un.

Интерпретация предметно-функциональных констант.

Предметно-функциональные константы – это параметры предметных функторов естественного языка. Последние репрезентируют (представляют) функции, аргументами и значениями которых являются индивиды. Поэтому в логике предикатов при интерпретации предметно-функциональных констант им также будут сопоставляться предметные функции соответствующей местности, только релятивизированные относительно универсума рассмотрения U, т. е. аргументами и значениями указанных функций будут являться элементы множества U.

Если в качестве универсума U выбрано множество натуральных чисел, то одноместной предметно-функциональной константе f1 интерпретационная функция I может, например, сопоставить операцию возведения в квадрат, поскольку эта операция, во-первых, является одноместной и, во-вторых, ее можно задать на множестве натуральных чисел, ведь квадрат любого натурального числа сам является числом натуральным. При том же универсуме двухместной предметно-функциональной константе g2 может быть сопоставлена операция сложения, поскольку она является двухместной и сумма любых двух натуральных чисел есть натуральное число. Итак:

Каждой n-местной предметно-функциональной константе Фn интерпретационная функция I сопоставляет некоторую n-местную функцию η, аргументами и значениями которой являются элементы множества U, т. е.

I(Фn) = η:Un  → U.

Описание процедуры интерпретации нелогических констант языка логики предикатов завершено. Подведем итог сказанному:

Возможной реализацией языка называется любая пара ℑ = <U, I> такая, что U – непустое множество, а I – функция, удовлетворяющая следующим условиям:

(1) I(k) ∈ U,

(2) I(Пn) ⊆ Un,

(3) I(Фn) = η:Un  → U.

Существует бесконечное множество возможных реализаций языка логики предикатов. Они отличаются друг от друга выбором универсума рассуждения U и интерпретирующей функции I. Выбрав U и I, мы тем самым строго фиксируем возможную реализацию языка, а потому можем фиксировать и значения дескриптивных констант языка – индивидных констант, функторов и предикаторов.

Второй этап.

Интерпретация индивидных переменных.

Рассмотрим теперь, как приписываются значения предметным переменным. Эта процедура также будет релятивизирована относительно универсума U и связана с выбором особой функции φ – функции приписывания значений индивидным переменным.

Каждой предметной переменной в качестве значения функция φ приписывает произвольный элемент множества U, т. е.

φ(α) ∈ U,

где α – произвольная предметная переменная.

Обратим внимание на то, что с одной и той же возможной реализацией языка ℑ = <U, I> могут быть связаны различные функции приписывания значений индивидным переменным, что и будет в конечном итоге вести к варьированию значений индивидных переменных при фиксированной интерпретации констант. При этом две такие функции считаются различными, если они хотя бы одной переменной приписывают разные значения.

Третий этап.

Правила приписывания значения термам.

Значение терма обусловлено выбором конкретной реализации языка ℑ =
<U, I> и выбором конкретного приписывания элементов U предметным переменным, т. е. выбором функции φ.

Покажем, как можно определить значение произвольного терма t в некоторой конкретной реализации ℑ = <U, I> при некотором приписывании значений предметным переменным φ. Для этого расширим область определения функции φ на все виды термов, и будем далее употреблять запись «|t|φ» как сокращение выражения «значение терма t в реализации ℑ при приписывании φ».

Согласно определению терма (см. §1 данной главы), t является: либо 1) некоторой предметной константой k, либо 2) некоторой предметной переменной α, либо 3) выражением вида Фn(t1, t2,..., tn), где Фn – n-местная предметно-функциональная константа, a t1, t2,..., tn – термы. Сформулируем правила установления значения терма t для каждого из этих трех случаев.

(Т1) Если t есть предметная константа k, то его значением в реализации ℑ при приписывании φ является тот индивид, который интерпретирующая функция I сопоставляет константе k, т. е.

|k|φ = I(k).

(Т2) Если терм t есть предметная переменная α, то его значением в ℑ при приписывании φ является тот индивид, который приписывается переменной α посредством φ, т. е.

|α|φ = φ(α).

(T3) Пусть t есть сложный терм Фn(t1, t2,..., tn). Для того, чтобы установить его значение в ℑ при приписывании φ, необходимо:

выделить операцию, которая функция I сопоставляет предметно-функциональной константе Фn, т. е. найти I(Фn); установить значения термов t1, t2,..., tn в той же реализации при том же приписывании, т. е. найти |t1|φ, |t2|φ,..., |tn|φ; применить операцию I(Фn) к аргументам |t1|φ, |t2|φ,..., |tn|φ.

Результатом применения данной операции к указанным объектам как раз и является значением терма Фn(t1, t2,..., tn) в ℑ при приписывании φ, т. е.

|Фn(t1, t2,..., tn)|φ = [I(Фn)](|t1|φ, |t2|φ,..., |tn|φ).

Приведем примеры установления значений термов в конкретной реализации и при конкретном приписывании значений предметным переменным.

Пусть область интерпретации U есть множество целых положительных чисел. Пусть интерпретирующая функция I сопоставляет предметной константе а число 2, одноместной предметно-функциональной константе f – операцию возведения в квадрат, а двухместной предметно-функциональной констант g – операцию сложения. Пусть также предметной переменной у функция φ приписывает значение 1, т. е. φ(у) = 1. Определим, какими значениями в указанной реализации ℑ и при указанном приписывании φ обладают следующие термы: (а) а; (б) у; (в) f(a); (г) g(у, a); (д) f(g(y, a)); (e) g(f(a), y).

(а) Поскольку a – предметная константа, значением данного терма, согласно пункту (Т1), является объект, сопоставленный функцией I константе а, т. е. число 2. Итак, |a|φ = I(а) = 2.

(б) Поскольку у – предметная переменная, то значением данного терма, согласно пункту (Т2), является значение, которое φ приписывает переменной у,
т. е. число 1. Таким образом, |у|φ = φ(у) = 1.

(в) Установим значение сложного терма f(a). Предметно-функциональной константе f в нашей возможной реализации сопоставлена операция возведения в квадрат; значением терма а, как было показано в примере (а), является 2. Действуя в соответствии с пунктом (ТЗ), мы должны применить операцию I(f) к аргументу |а|φ, т. е. возвести в квадрат число 2. Полученное в результате этого число 4 является искомым значением терма f(a). Итак, |f(а)|φ = [I(f)](|а|φ) = 22 = 4.

(г) Установим значение сложного терма g(y, а). Предметно-функциональной константе g в нашей возможной реализации сопоставлена операция сложения. Значениями термов у и а, как было показано в примерах (б) и (а), являются, соответственно, числа 1 и 2. Чтобы вычислить значение g(y, а), мы должны, согласно пункту (ТЗ), применить операцию I(g) к аргументам |у|φ и |а|φ, т. е. сложить 1 и 2. В результате получим число 3, которое и является значением терма g(y, а). Таким образом, |g(y, а)|φ = [I(g)](|у|φ, |а|φ) = 1 + 2 = 3.