Функциональный анализ языка . . Функциональный анализ языка (стр. 6 )

(д) Для того чтобы установить значение терма f(g(y, а)), необходимо применить операцию I(f), т. е. операцию возведения в квадрат, к объекту |g(y, а)|φ. Но значением g(y, а), как было показано в примере (г), является число 3. Поэтому возводим в квадрат число 3 и получаем число 9, которое и является значением терма f(g(y, а)). Таким образом, |f(g(y, а))| φ = [I(f)]([I(g)](|у|φ, |а|φ)) = 32 = 9.

(e) Для того чтобы установить значение терма g(f(a), у), необходимо сложить значения термов f(a), и у, т. е. числа 4 и 1 (см. примеры (в) и (б)). Таким образом, значением g(f(a), у) является 4 + 1, т. е. число 5.

Итак, мы показали, как определяются значения термов в конкретной реализации и при конкретном приписывании φ значений предметным переменным.

Четвертый этап.

Правила приписывания значений формулам.

Значениями формул в возможной реализации ℑ = <U, I> при произвольном приписывании φ являются такие объекты, как «истина» и «ложь». Сформулируем теперь условия истинности и ложности произвольных формул в реализации ℑ при φ. В дальнейшем в качестве сокращения для выражения «значение формулы F в реализации ℑ при приписывании значений предметным переменным φ» будем использовать запись вида «|F|φ». Указание на приписывание φ здесь особенно важно, постольку поскольку при установлении истинности или ложности формул вида ∀αA и ∃αА приходится определять значения подформул, входящих в эти формулы, варьируя исходное приписывание значений предметным переменным. Указанная процедура будет осуществляться в рамках одной и той же возможной реализации, в силу чего в записи «|F|φ» опущены параметры U и I.

В соответствии с приведенным выше определением понятия формулы (см. §1 данной главы), их (формулы) можно разбить на три группы: это, во-первых, элементарные формулы – выражения вида Пn(t1, t2,..., tn), где Пn – n-местная предикаторная константа, a t1, t2,..., tn – термы; во-вторых, сложные формулы, главным знаком которых является пропозициональная связка, – это выражения видов ¬A, (А & В), (A ∨ В) и (А ⊃ В), где А и В – формулы; и в-третьих, сложные формулы, главным знаком которых является квантор, – это выражения видов ∀αA и ∃αА, где α – предметная переменная, а А – произвольная формула.

Условия истинности и ложности элементарных формул.

(F1) Пусть F будет элементарной формулой Пn(t1, t2,..., tn). Чтобы установить ее значение в возможной реализации ℑ при приписывании φ, надо:

выяснить, какое именно подмножество множества Un сопоставляется предикаторной константе Пn, т. е. найти I(Пn); определить, какие значения принимают в данной реализации при данном приписывании φ наши термы t1, t2,..., tn, т. е. найти |t1|φ, |t2|φ,..., |tn|φ; и наконец, установить, является ли полученная таким образом последовательность объектов <|t1|φ, |t2|φ,..., |tn|φ> элементом множества I(Пn).

Если данная последовательность принадлежит указанному множеству, то формула Пn(t1, t2,..., tn) принимает значение «истина», в противном случае оно примет значение «ложь». Таким образом,

|Пn(t1, t2,..., tn)|φ = и ⇔ <|t1|φ, |t2|φ,..., |tn|φ> ∈ I(Пn),

|Пn(t1, t2,..., tn)|φ = л ⇔ <|t1|φ, |t2|φ,..., |tn|φ> ∉ I(Пn).

Для разъяснения данного определения рассмотрим конкретную возможную реализацию ℑ и конкретное приписывание предметным переменным φ, которые использовались ранее в примерах (а)-(е). Договоримся, что одноместной предикаторной константе Р интерпретирующая функция I сопоставляет множество четных чисел, а двухместной предикаторной константе Q – множество таких пар целых положительных чисел, первое из которых больше второго. Определим, какие значения в ℑ при φ принимают элементарные формулы (ж) Q(f(a), у) и
(з) P(g(y, a)).

(ж) Чтобы установить значение формулы Q(f(a), у) в данной реализации при данном приписывании, необходимо, согласно (F1), ответить на вопрос, принадлежит ли пара <|f(a)|φ, |у|φ> множеству I(Q). В примерах (в) и (б) было установлено, что значениями термов f(a) и у при приписывании φ являются, соответственно, числа 4 и 1. В данной модели I(Q) есть множество таких пар чисел, первое из которых больше второго. Пара <4, 1> принадлежит этому множеству, так как 4 больше 1. Поэтому |Q(f(а), у)|φ = и.

(з) Для установления значения формулы P(g(y, а)) следует выяснить, принадлежит ли значение терма g(y, а) множеству I(Р). В примере (г) было показано, что |g(y, а)|φ = 3. В нашей реализации I(Р) есть множество четных чисел. Поскольку число 3 не является четным, формула P(g(y, а)) примет значение л в ℑ при приписывании φ.

Условия истинности и ложности формул, главным знаком которых является пропозициональная связка.

Значения сложных формул видов ¬A, (А & В), (A ∨ В) и (А ⊃ В) в произвольной возможной реализации при произвольном приписывании значений предметным переменным обусловлены тем, какие значения в той же реализации при том же приписывании принимают их подформулы А и В. Таким образом, установив значения А и В в реализации ℑ при приписывании φ, мы можем однозначно определить, какими – истинными или ложными – в этой реализации при этом приписывании являются формулы ¬A, (А & В), (A ∨ В) и (А ⊃ В).

Сформулируем условия истинности и ложности формул указанных типов, опираясь на смысл пропозициональных связок ¬, &, ∨, ⊃, зафиксированный в предыдущих главах.

(F2)        |¬А|φ = и ⇔ |А|φ = л.

       |¬А|φ = л ⇔ |А|φ = и.

(F3)        |А & В|φ = и ⇔ |А|φ = и и |В|φ = и.

       |А & В|φ = л ⇔ |А|φ = л или |В|φ = л.

(F4)        |А ∨ В|φ = и ⇔ |А|φ = и или |В|φ = и.

       |А ∨ В|φ = л ⇔ |А|φ = л и |В|φ = л.

(F5)        |А ⊃ В|φ = и ⇔ |А|φ = л или |В|φ = и.

       |А ⊃ В|φ = л ⇔ |А|φ = и и |В|φ = л.

Покажем теперь в качестве примера, каким образом в заданной выше конкретной реализации ℑ и при конкретном приписывании φ устанавливаются значения формул: (и) Q(f(a), у) ∨ P(g(у, а)); (к) ¬(Q(f(а), у) ∨ Р(g(у, а))) и формулы  (л) Q(f(а), у) ⊃ Р(g(у, а)).

(и) Чтобы установить значение дизъюнктивной формулы Q(f(a), у) ∨ P(g(у, а)) в возможной реализации ℑ при приписывании φ, необходимо знать значения ее подформул, т. е. значения Q(f(a), у) и Р(g(у, а)). В примере (ж) было показано, что |Q(f(а), у)|φ = и, а в примере (з), – что |P(g(y, а))|φ = л. Поскольку одна из двух формул принимает в ℑ при φ значение и, постольку, согласно (F4), и вся дизъюнктивная формула истинна в этой реализации при указанном приписывании,
т. е. |Q(f(a), у) ∨ P(g(у, а))|φ = и.

(к) Чтобы определить значение формулы ¬(Q(f(а), у) ∨ Р(g(у, а))) в ℑ при φ, нужно знать значение ее подформулы, стоящей за знаком отрицания. Как показано в примере (и), эта подформула истинна в ℑ при φ. Поэтому, согласно (F2), ее отрицание примет значение л, т. е. |¬(Q(f(а), у) ∨ Р(g(у, а)))|φ = л.

(л) Чтобы установить в ℑ при приписывании φ значение импликативной формулы Q(f(а), у) ⊃ Р(g(у, а)) необходимо знать чему равно значение, входящих в нее подформул. Ранее показано, что ее антецедент Q(f(а), у) является истинным, а консеквент Р(g(у, а)) – ложным. Поэтому, согласно (F5), импликативная формула принимает значение л, т. е. |Q(f(а), у) ⊃ Р(g(у, а))|φ = л.

Условия истинности и ложности формул, главным знаком которых являются кванторы.

С содержательной точки зрения, выражение вида ∀αA следует считать истинным, если каждый индивид предметной области удовлетворяет условию, выраженному в А. Если же в предметной области существует индивид, не удовлетворяющий данному условию, то ∀αA окажется ложным утверждением. Что же касается выражений вида ∃αА, то их естественно считать истинными в том случае, когда существует индивид, удовлетворяющий выраженному в А условию, и ложными, если каждый индивид ему не удовлетворяет.

Разъясним смысл кванторов на простом примере. Пусть на некотором конечном множестве U, содержащем n элементов, именами которых являются индивидные константы а1, а2,..., аn, задано свойство Р. Тогда утверждение ∀хР(х) – «Всякий предмет из универсума U обладает свойством Р» – может быть заменено конечной конъюнкцией, говорящей о том, что каждый отдельно взятый предмет из универсума обладает свойством Р, а именно:

∀хР(х) ≡ Р(а1) & Р(а2) & ... & Р(аn).

В свою очередь, утверждение вида ∃хР(х) – «Существует предмет из универсума U, который обладает свойством Р» – может быть заменено конечной дизъюнкцией, говорящей о том, что по крайней мере один предмет из универсума обладает свойством Р, а именно:

∃хР(х) ≡ Р(а1) ∨ Р(а2) ∨ ... ∨ Р(аn).

Введение кванторов общности и существования в этом случае не является, вообще говоря, обязательным. Однако если универсум рассуждения U представляет собой бесконечное множество, то использование кванторов оказывается существенным, и без них обойтись уже нельзя. Последнее обусловлено тем, что мы не можем строить бесконечно длинные формулы.

В логике предикатов условия истинности и ложности формул ∀αA и ∃αА в реализации ℑ при φ определяются сходным образом. Для того чтобы установить значения этих формул, осуществляется чисто теоретический «перебор» (просмотр) всех индивидов из универсума U. Он производится путем варьирования значения переменной α за счет изменения функции φ, т. е. рассматриваются все возможные приписывания ψ, сопоставляющие переменной α различные элементы U, но сохраняющие неизменными (как и при исходном φ) значения других предметных переменных. Осуществляя разные приписывания подобного рода, устанавливают, какой – истинной или ложной – в каждом из этих случаев оказывается формула А.