Функциональный анализ языка . . Функциональный анализ языка (стр. 9 )

С использованием тех же самых U, I и φ можно показать совместимость по ложности формул ∀x¬Q(x, у) и ∀xQ(x, у).

Только что было установлено, что |Q(x, y)|ψ = и. Отсюда по (F2) следует: |¬Q(x, y)|ψ = л. Тогда, согласно (F6), |∀x¬Q(x, у)|φ = л. Кроме того, имело место |Q(x, у)|ξ = л. Отсюда вытекает: |∀xQ(x, у)|φ = л. Таким образом, в данной реализации и при данном приписывании φ формулы ∀x¬Q(x, у) и ∀xQ(x, у) одновременно ложны. Следовательно, они совместимы по ложности.

Но ∀x¬Q(x, у) и ∀xQ(x, у) не являются совместимыми по истинности.

Чтобы доказать это, будем рассуждать от противного. Допустим, что они совместимы по истинности. Это означает, что существуют реализация ℑ = <U, I> и приписывание φ, при которых обе формулы принимают значение «истина». С учетом того, что функция φ отличается от самой себя не более, чем значением x, и используя (F6), получаем: |¬Q(x, y)|φ = и и |Q(x, у)|φ = и. Но из того, что |¬Q(x, y)|φ = и, в силу (F2), следует, что |Q(x, у)|φ = л. В рассуждении получено противоречие. Значит, исходные формулы по истинности несовместимы.

С помощью похожего рассуждения несложно доказать несовместимость по ложности формул ∃xQ(x, y) и ∃х¬Q(x, y).

Подведем итог рассмотрению последних примеров. Исходя из них, можно утверждать, что формулы ∀x¬Q(x, у) и ∀xQ(x, у) находятся в отношении противоположности (контрарности), поскольку они совместимы по ложности, но несовместимы по истинности, а формулы ∃xQ(x, y) и ∃х¬Q(x, y) – в отношении подпротивоположности (субконтрарности), так как они, наоборот, совместимы по истинности, но несовместимы по ложности.

Перейдем теперь к рассмотрению примеров установления отношения логического следования в логике предикатов. Покажем, что из формул Р(а) и Q(a) логически следует ∃х(Р(х) & Q(х)).

Допустим, что следования нет. Тогда существуют реализация ℑ = <U, I> и приписывание φ, при которых формулы Р(а) и Q(a) принимают значение «истина», а формула ∃х(Р(х) & Q(х)) – значение «ложь». Истинность Р(а) и Q(a), согласно (F1), означает, что I(а) ∈ I(Р) и I(a) ∈ I(Q). Поэтому, если переменной х приписать объект I(а) посредством функции ψ (которая всем другим переменным припишет те же объекты, что и φ), то |Р(x)|ψ = и и |Q(x)|ψ = и. Отсюда, в силу (F3), вытекает, что |Р(х) & Q(х)|ψ = и. Используя (F7), получаем, что |∃х(Р(х) & Q(х))|φ = и. Но |∃х(Р(х) & Q(х))|φ = л согласно принятому допущению. Налицо противоречие, свидетельствующее о неверности этого допущения. А потому:

P(a), Q(a) ⊨ ∃x(P(х) & Q(х)).

Наличие отношения логического следования между указанными формулами свидетельствует о правильности всех умозаключений следующей формы:

Р(а), Q(а)

∃х(Р(х) & Q(х)).

Правильным, в частности, является такое умозаключение:

Отелло ревнив

Отелло простодушен

Некоторые ревнивые люди простодушны.

Постараемся далее ответить на вопрос, является ли правильным другое умозаключение:

Существуют ревнивые люди.

Существуют простодушные люди.

Некоторые ревнивые люди простодушны.

Для ответа на поставленный вопрос необходимо выявить логическую форму умозаключения и определить, следует ли логическая форма его заключения из логических форм посылок. Последнее умозаключение имеет следующую форму:

∃хР(х), ∃хQ(х)

∃х(Р(х) & Q(х)).

Покажем, что из формул ∃хР(х) и ∃хQ(x) логически не следует формула ∃х(Р(х) & Q(x)). Для этого достаточно найти какую-нибудь возможную реализацию ℑ = <U, I> и приписывание φ, при которых формулы ∃хР(х) и ∃хQ(x) примут значение «истина», а формула ∃х(Р(х) & Q(x)) – значение «ложь».

Рассмотрим в качестве универсума U множество животных. Пусть интерпретирующая функция I сопоставляет константе Р множество волков, а константе Q множество зайцев. Поскольку все анализируемые формулы замкнуты, приписывание φ выбирается произвольно. Формула ∃хР(х) истинна в указанной реализации ℑ = <U, I> при φ, так как переменной x можно приписать в качестве значения животное (элемент U), которое является волком. Формула ∃хQ(x) также истинна, поскольку x можно приписать в качестве значения зайца (т. е. элемент I(Q)). Однако, какое бы животное мы ни приписали x, оно не может оказаться одновременно и волком, и зайцем, т. е. |Р(x) & Q(x)|ψ = л при любом ψ. Это свидетельствует о ложности формулы ∃х(Р(х) & Q(x)) в реализации ℑ = <U, I> при φ. Таким образом, формула ∃х(Р(х) & Q(x)) не следует логически из формул ∃хР(х) и ∃хQ(x), т. е. рассматриваемое умозаключение неправильно.