Функциональный анализ языка . . Функциональный анализ языка (стр. 4 )

(1) индивиды – отдельно взятые, единичные предметы;

(2) истинностные оценки – истина и ложь.

С учетом этого выделяют следующие простейшие типы функций:

(а) предметно-предметные – функции, возможными аргументами и значениями которых являются индивиды (предметы);

(б) предметно-истинностные – функции, возможными аргументами которых являются индивиды, а возможными значениями истинностные оценки;

(в) истиностно-истинностные – функции, возможными аргументами и значениями которых являются истинностные оценки.

Две последние разновидности функций называются логическими.

Возвращаясь к семантическим категориям естественного языка, мы можем теперь дать им четкую функциональную характеристику. Оказывается, что те выражения языка, которые были названы предметными функторами, предикаторами и логическими константами являются с функциональной точки зрения не чем иным как знаками функций.

Предметные функторы – это знаки предметно-предметных функций различной местности, а имена – это знаки нульместных предметно-предметных функций.

Аналитически предметно-предметные функции выражаются в языке именными формами, т. е. такими выражениями, в результате подстановки в которые вместо переменных знаков константных аргументов (т. е. имен) получается новое имя. Например, если в одноместную именную форму «столица х» вместо переменной х подставить имя «Россия», то получим новое имя «столица России», обозначающее город Москву. Если в одноместную именную форму «государство, на территории которого находится х» вместо переменной х подставить имя «Рязань», то получится новое имя «государство, на территории которого находится Рязань», обозначающее Россию. Если в двухместную именную форму «х + у» вместо переменных х и у подставить соответственно имена «5» и «3», то получим новое имя «5 + 3», обозначающее число 8. Аналогично, если в двухместную именную форму «оценка, полученная х на экзамене по у» вместо переменных х и у подставить соответственно имена «Иванов» и «логика», то в результате получим новое имя «оценка, полученная Ивановым на экзамене по логике», которая будет обозначать некоторую конкретную оценку.

Предикаторы – знаки предметно-истинностных функций различной местности, а предложения – нульместных истинностных функций.

Аналитически предметно-истинностные функции выражаются в языке высказывательными формами, т. е. такими выражениями, в результате подстановки в которые вместо переменных знаков константных аргументов (т. е. имен) получается повествовательное предложение (высказывание). Например, если в высказывательную форму «х > у» вместо переменных х и у подставить соответственно имена «5» и «3», то получим предложение «5 > 3», которое обозначает истину. Если в высказывательную форму (предикат) «x находится между y и z» вместо переменных x, y и z подставить соответственно имена «Москва», «Тула» и «Рязань», то получим предложение «Москва находится между Тулой и Рязанью», которое обозначает ложь.

Пропозициональные связки – это знаки истинностно-истинностных функций различной местности.

В классической логике к истинностно-истинным функциям относят все функции вида f: {и, л}n → {и, л}. Примерами таких функций являются: отрицание (¬p), конъюнкция (p & q), дизъюнкция (p ∨ q), импликация (p ⊃ q) и многие другие. Функции этого вида называются булевыми функциями в силу того, что впервые их исследовал английский математик и логик Дж. Буль. Более подробный анализ пропозициональных связок как знаков булевых функций истинности, будет дан в следующей главе.

Отметим, что рассмотрение пропозициональной связки «и» как функции истинности является чисто экстенсиональным. Иначе говоря, истинность сложного высказывания не зависит от интенсиональных (смысловых) характеристик составляющих его высказываний, а полностью определяется только их истинностными значениями. Однако не всякую пропозициональную связку можно задать такого рода функцией. В естественном языке имеются такие сложные высказывания, значения которых не всегда можно установить, зная лишь значения высказываний в их составе. Например, для того, чтобы установить, что высказывание «Мери вышла замуж и родила ребенка» истинно, недостаточно установить истинность высказываний «Мери вышла замуж» и «Мери родила ребенка», из которых оно образовано. Необходимо, кроме этого, убедиться в том, что положение дел, описанное в первом из них, предшествовало по времени положению дел, описанному во втором. Следовательно, пропозициональная связка, которая соответствует данному употреблению союза «и» (в смысле «а затем»), не является знаком функции истинности.

К числу истинностно-функциональных не относится также и связка, выражающая условную связь между суждениями (для этой связки используют обычно символ «→» и называют ее релевантной или номологической импликацией). Высказывание вида А → В истинно, если положение дел, описываемое в А, обусловливает наличие ситуации, описываемой в В. Высказывание же А ⊃ В является ложным только в случае, когда А истинно, а В ложно. Так, при истинности А («3 > 2») и В («Волга впадает в Каспийское море») высказывание А ⊃ В является истинным. Высказывание же А → В («Если 3 > 2, то Волга впадает в Каспийское море»), в отличие от А ⊃ В, ложно, так как первый факт не обусловливает второго факта, хотя в других случаях, когда А и В истинны, А → В может оказаться и истинным, например, если А есть высказывание «Медь – металл», а В – «Медь проводит электрический ток». В данном случае это же самое выражение естественного языка, символизируемое с помощью материальной импликации как (А ⊃ В), тоже будет трактоваться как истинное высказывание, так как антецедент и консеквент являются истинными предложениями.

Еще одним типом логических констант, которые не относятся к числу истинностно-функциональных знаков, являются так называемые модальные операторы. Они выражаются в естественном языке такими оборотами речи, как «необходимо, что» (для этой модальности используют обычно символ «□»), «возможно, что» («◊»), «случайно, что» («▽») и т. п. Нетрудно убедиться в том, что модальности – это не знаки функций истинности. Действительно, высказывания вида □А могут оказаться как истинными, так и ложными при истинном А. Если же А ложно, то нельзя лишь на основании этого факта однозначно определить, является ли ◊А истинным или ложным.

Интерпретация и логические отношения в логике предикатов

Интерпретация языка логики предикатов

Приступим к формулировке в рамках построенного формализованного языка логической теории – классической логики предикатов первого порядка.

Формулы и термы языка исчисления предикатов первого порядка представляют собой чисто синтаксические объекты, которые имеют только логическое содержание, но не имеют содержания конкретного. Иначе говоря, имея дело с термами и формулами языка, мы не знаем о каких объектах они нечто говорят и что именно говорят. Чтобы это стало известно необходимо осуществить интерпретацию различных синтаксических конструкций нашего языка.

Под интерпретацией языка имеют в виду приписывание значений выражениям языка.

Чтобы была понятна процедура приписывания значений выражениям языка, мы представим ее поэтапно.

Первый этап.

На этом этапе происходит задание класса допустимых значений нелогических символов языка. Суть данной процедуры – указать, объекты каких типов могут быть сопоставлены в качестве значений нелогическим символам различных категорий. Например, в классической логике высказываний каждой пропозициональной переменной может быть сопоставлен только один из двух абстрактных объектов – «истина» или «ложь».

Нелогические символы логики предикатов первого порядка можно подразделить на два класса. К первому относятся константы (предметные, предметно-функциональные и предикаторные). Они выступают в качестве параметров определенных терминов естественного языка и не могут связываться кванторами. Вторую группу составляют переменные. В первопорядковом языке имеется только один их тип – предметные (индивидные) переменные. Они могут связываться кванторами, а их свободные вхождения не являются, с содержательной точки зрения, параметрами конкретных имен, а выполняют функцию неопределенных местоимений, которые можно заменять разными именами.

Отмеченные различия констант и переменных будет существенно учитываться при заданий процедуры интерпретации. Приписывание значений этим нелогическим символам осуществляется таким образом, что при фиксированной интерпретации констант допускается варьирование значений предметных переменных.

Процедуре интерпретации параметров языка предшествует выбор возможной реализации языка. Последний состоит, во-первых, в выборе непустого множества предметов U, называемого областью интерпретации или универсумом рассуждения. Условие непустоты U (т. е. наличие в нем по крайней мере одного элемента) является единственным требованием, предъявляемым к области интерпретации. Таким образом, в классической логике предикатов в качестве универсума рассуждения может выступать произвольное непустое множество (например, множество натуральных чисел, множество людей, множество городов, множество химических элементов и т. д.).

Во-вторых, приписывание значений нелогическим константам языка осуществляется с помощью выбора особой семантической функции I, называемой интерпретирующей функцией. Она сопоставляет каждой нелогической константе некоторый объект, заданный на области интерпретации U, причем константам различных категорий должны сопоставляться объекты различных типов. Отметим, что при интерпретации любая константа формализованного языка должна получить тот же тип значения, что и выражение соответствующей категории естественного языка. Поэтому функция I задается таким образом, что значения предметных констант оказываются однотипными со значениями имен, значения предметно-функциональных констант – со значениями предметных функторов, а значения предикаторных констант – со значениями предикаторов.

Интерпретация предметных констант.

Предметные константы, как уже говорилось, являются параметрами имен естественного языка. Значениями имен являются отдельные предметы, индивиды. Поэтому предметным константам в качестве значений также должны приписываться индивиды, но не любые, а те, которые содержатся во множестве U. Так, если U есть множество людей, то функция I может приписать в качестве значения предметной константе а, например, Аристотеля, а константе b – также Аристотеля или какого-либо другого человека, скажем Сократа. Таким образом: