Функциональный анализ языка . . Функциональный анализ языка (стр. 3 )

Вообще, для любых двух n-местных отношений R1 и R2 (n = 1, 2,…) справедливо следующее условие их равенства: .

R1 = R2 ⇔ ∀х1∀х2…∀хn(<х1, х2,…, хn> ∈ R1 ≡ <х1, х2,…, хn> ∈ R2).

Функции

Для логики очень большое значение имеет общеметодологическое понятие функции, которое позволяет уточнить смысл ряда семантических категорий. Приведем два определения этого важного понятия. Одно из них – строгое определение, на основе уже введенных выше понятий, а другое более свободное, но общепринятое определение. Итак:

n + 1-местное отношение Φ, заданное на декартовом произведении
М1 × М2 ×...× Мn × М, называется функциональным отношением, если и только если для каждой упорядоченной n-ки объектов
<x1, x2,..., xn> ∈ М1 × М2 ×...× Мn существует ровно один предмет
у ∈ М такой, что <x1, x2,..., xn, у> ∈ Φ.

В этом случае синонимично говорят также, что n + 1-местное отношение Φ, задает n-местное отображение f множества М1 × М2 ×...× Мn в множество М, или что f есть функция, заданная на множестве М1 × М2 ×...× Мn и принимающая значение в множестве М.

Исходя из этой терминологии, функцию можно определить (и часто действительно определяют) еще одним образом:

n-местная функция f есть отображение, которое каждому элементу множества М1 × М2 ×...× Мn ставит в соответствие ровно один элемент множества М.

При этом декартово произведение М1 × М2 ×...× Мn называется областью определения n-местной функции f, а множество М областью ее значений. Каждое Мi  является областью возможных значений переменной хi. Элементы x1, x2,..., xn называются аргументами функции f; а у – значением функции при данном наборе аргументов и обозначается выражением вида f(x1, x2,..., xn) = у.

Связь между n + 1-местным функциональным отношение Φ и n-местной функцией f (обратите внимание, что отношение является n + 1-местным, а функция только n-местной) определяется следующим условием:

Φ(x1, x2,..., xn, у) ⇔ f(x1, x2,..., xn) = у.

В обоих определениях понятия функции чрезвычайно существенными являются слова «каждый» и «ровно один». Они указывают на то, что под функцией понимается всюду определенное и однозначное отображение. Это наиболее важный вид функции, хотя надо иметь в виду, что бывают функции только частично определенные и многозначные.

Информацию о наличие отображения элементов множества М1 × М2 ×...× Мn во множество М принято записывать в виде:

f: М1 × М2 ×...× Мn → М.

В случае отображения множества Мn в множество М, т. е. когда возможные области изменения каждого из аргументов совпадают между собой, а также совпадают с областью значений, эта информация записывается в форме: f: Мn → М, и говорят, что функция f есть операция, заданная на множестве М.

Элементы области определения функции в зависимости от ее местности могут быть либо отдельно взятыми объектами, или же упорядоченными парами, тройками предметов и т. д., т. е. кортежами разной длины. В этом случае местность функции определяется длиной кортежей, которые входят в область определения соответствующей функции: так, одноместная функция – это функция, область определения которой состоит из отдельно взятых объектов (или же кортежей длины 1); двухместная функция – это функция, область определения которой состоит из упорядоченных пар объектов (кортежей длины 2); трехместная функция – это функция, область определения которой состоит из упорядоченных троек объектов (кортежей длины 3); неопределенно-местная функция – это функция, область определения которой в разных случаях состоит из кортежей различной длины. Примером последней функции является процедура порождения декартова произведения из n множеств, где n – любое натуральное число.

Функции f1 и f2 равны друг другу  (f1 = f2) тогда и только тогда, когда:

1)  у них совпадают области определения,

2)  совпадают области значения,

3) на одинаковых наборах аргументов они принимают одинаковые значения.

Отсюда понятно, чтобы задать некоторую функцию необходимо:

(а) задать область определения функции,

(б) задать ее область значения,

(в) указать какие элементы из области определения и области значения связываются этой функцией.

Пример 1. Одноместное отображение f1(х) = у, где аргумент х пробегает по классу государств – Wx(x есть государство), у принимает значение в классе городов – Wу(у есть город), а функция f1 сопоставляет каждому государству ее столицу.

Пример 2. Одноместное отображение f2(х) = у, которое городам сопоставляет государства, на территории которых эти города находятся т. е. аргумент x пробегает по классу городов – Wx(x есть город), а у принимает значения в классе государств – Wу(у есть государство).

Пример 3. Двухместное отображение f3(х, у) = z, которое паре натуральных чисел сопоставляет результат их сложения, т. е. область определения функции есть множество пар натуральных чисел – W<x, y>(x есть натуральное число и y есть натуральное число), а область значения функции есть Wz(z есть натуральное число).

Пример 4. Двухместное отображение f4(х, у) = z. Здесь область определения функции есть множество упорядоченных пар <x, y> таких, что x – это студент, а y – экзаменационная дисциплина. Область значения функции есть множество = {отлично, хорошо, удовлетворительно, неудовлетворительно}.

Существует несколько способов задания функций. Для конечных и легко обозримых множеств – областей определения функции и ее значения – функцию можно задать графически с помощью следующего схематического изображения (см. Рис.9):

Рис. 9

Здесь множество М1 – область определения функции – содержит 5 элементов, а множество М2 – область значения функции – 4 элемента. Все элементы помечены точками. Функция f отображает элементы множества М1 в элементы множества М2, так что: f(а1) = f(а3) = b2, f(а2) = f(а4) = b1 и f(а5) = b4, что показано стрелками, направленными от аргументов функции к значениям этой функции на данных аргументах.

Другим способом задания функции является табличный способ, который тоже удобен в случае отображения между конечными множествами с небольшим количеством элементов. В этом случае слева в таблице выписываются столбиком в том или ином порядке элементы из множества определения функции (аргументы), а в правом значения функции для этих аргументов. Например, функцию, изображенную на Рис. 9, можно представить таблицей так:

х	f(х)
а1	b2
а2	b1
а3	b2
а4	b1
а5	b4

Таб. 1

Указанные способы определения функций не применимы в случае, когда область определения функции содержит очень большое количество элементов, тем более, если эта область бесконечна. В таком случае применяется так называемый аналитический способ задания функции, т. е. формулируется некоторое правило, согласно которому элементам области определения функции сопоставляются элементы области значения функции. Это правило выражается в языке конструкцией вида f(x1, x2,..., xn), состоящей из знака функции (функтора) и переменных, причем с каждой переменной x1, x2,..., xn связано свое множество (область пробега соответствующей переменной), а сами элементы этих множеств называются (возможными значениями аргументов функции). Данная конструкция называется аналитическим представлением функции.

В вышеперечисленных примерах функция f1(х) аналитически может быть задана в естественном языке словосочетанием «столица x», где x пробегает по множеству государств; функция f2(х) может быть аналитически задано словосочетанием «государство, на территории которого расположен x», где x пробегает по множеству городов; функцию f3(х, у) в математике принято задавать выражением «x + y», где первая переменная x и вторая переменная y пробегают по множеству натуральных чисел (данная функция является операцией); и функция f4(х, у) может аналитически быть задана словосочетанием естественного языка вида «оценка, полученная x на экзамене по y», где первая переменная x пробегает по множеству студентов, а вторая переменная y пробегает по множеству дисциплин.

При аналитическом задании функций с помощью выражений f(x1, x2,..., xn), важным оказывается различение фиктивного и существенного вхождения переменных в это выражение.

Переменная xi (1 ≤ i ≤ n) входит в выражение f(x1, x2,..., xn) фиктивно, если любое изменение ее значений, которые она может принять в множестве Мi, не влияет на изменение значения всего выражения. В противном случае, переменная xi входит в выражение f(x1, x2,..., xn) существенно.

Простым примером фиктивного вхождения переменной является выражение
х – х, аналитически задающее некоторую функцию на множестве целых положительных чисел. По виду аналитического выражения эта функция одноместная, так как зависит от одной переменной х, однако данная переменная входит в выражение фиктивно, так как при любом значении х на указанном множестве значение всей функции будет равно 0. Иначе говоря, данная функция тождественно равна 0. В силу фиктивности вхождения единственной переменной х, ее можно трактовать как нульместную функцию.

Имеется еще одна очень важная разновидность аналитического способа задания функций, который широко используется в математике. Здесь тоже функция задается некоторым правилом, согласно которому элементам области определения функции сопоставляются элементы области значения функции. В качестве такого правила применяется особая процедура, называемая рекурсией. Обсуждение этой процедуры будет дано в других главах учебника.

Функции можно подразделять на виды в зависимости от того, какого типа объекты являются их возможными аргументами и возможными значениями. В логике выделяют два исходных типа объектов: