Уравнения и раз­лич­ные кодировки (стр. 2 )

4. При ;

5. При ;

6. При .

За­ме­тим, что в по­след­нем ва­ри­ан­те ис­ко­мое число боль­ше 17, зна­чит, мы за­кан­чи­ва­ем пе­ре­счет на преды­ду­щем.

Ответ: 4, 8, 9, 13, 17

9. За­да­ние 16 № 000. Чему равно наи­мень­шее ос­но­ва­ние по­зи­ци­он­ной си­сте­мы счис­ле­ния x, при ко­то­ром 225x = 405y?

Ответ за­пи­сать в виде це­ло­го числа.

По­яс­не­ние.

По­сколь­ку в левой и в пра­вой ча­стях есть цифра 5, оба ос­но­ва­ния боль­ше 5, то есть пе­ре­бор имеет смысл на­чи­нать с

Для каж­до­го вы­чис­ля­ем зна­че­ние и ре­ша­ем урав­не­ние , при­чем нас ин­те­ре­су­ют толь­ко на­ту­раль­ные

Для и нуж­ных ре­ше­ний нет, а для по­лу­ча­ем так что

Ответ:

Ответ: 8

10. За­да­ние 16 № 000. Сколь­ко зна­ча­щих цифр в за­пи­си де­ся­тич­но­го числа 357 в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 7?

По­яс­не­ние.

За­пи­шем число в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 7.

.

Ответ: 4

11. За­да­ние 16 № 000. Ука­жи­те через за­пя­тую в по­ряд­ке воз­рас­та­ния все ос­но­ва­ния си­стем счис­ле­ния, в ко­то­рых за­пись числа 31 окан­чи­ва­ет­ся на 4.

По­яс­не­ние.

1. Итак, нужно найти все целые числа (цифра 4 при­сут­ству­ет в си­сте­мах счис­ле­ния толь­ко с таким ос­но­ва­ни­ем), такие что оста­ток от де­ле­ния 31 на равен 4, или (что то же самое) , где — целое не­от­ри­ца­тель­ное число (0, 1, 2, …);

2. Из фор­му­лы по­лу­ча­ем , так что за­да­ча сво­дит­ся к тому, чтобы найти все де­ли­те­ли числа 27, ко­то­рые боль­ше 4;

3. В этой за­да­че есть толь­ко два таких де­ли­те­ля: и .

Ответ: 9, 27

12. За­да­ние 16 № 000. Де­ся­тич­ное число крат­но 16. Какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство нулей будет в конце этого числа после пе­ре­во­да его в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния?

По­яс­не­ние.

Пусть это де­ся­тич­ное число - . Тогда

Со­вер­шим пе­ре­вод этого де­ся­тич­но­го числа в дво­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния. Для этого мы долж­ны раз­де­лить его на 2 и за­пи­сать оста­ток, потом част­ное от этого де­ле­ния также раз­де­лить на 2 и за­пи­сать оста­ток, и т. д. То есть, если число де­лит­ся на 2, оста­ток равен 0, со­от­вет­ствен­но, ко­ли­че­ство нолей в конце дво­ич­но­го числа - это ко­ли­че­ство раз, ко­то­рое мы можем раз­де­лить число на 2 без остат­ка.

Чтобы число было ми­ни­маль­ным, будем счи­тать, что - не­чет­ное. зна­чит, в конце числа будут сто­ять 4 ноля.

Ответ: 4

13. За­да­ние 16 № 000. Най­ди­те ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния, в ко­то­рой вы­пол­не­но сло­же­ние: 144 + 24 = 201.

По­яс­не­ние.

Пусть ос­но­ва­ние ис­ко­мой си­сте­мы счис­ле­ния - . Пе­ре­ве­дем в де­ся­тич­ную си­сте­му счис­ле­ния ис­ход­ное ра­вен­ство:

Упро­стим это урав­не­ние, ском­по­но­вав члены: Решим это урав­не­ние.

Ответ: 7

14. За­да­ние 16 № 000. Ука­жи­те наи­мень­шее ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния, в ко­то­рой за­пись числа 50 трех­знач­на.

По­яс­не­ние.

Со­ста­вим урав­не­ние для пе­ре­во­да числа в си­сте­му счис­ле­ния.

где - раз­ря­ды числа в си­сте­ме счис­ле­ния, числа в про­ме­жут­ке .

Так как мы ищем наи­мень­шее ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния, рас­смот­рим мак­си­маль­ные и , рав­ные

Пе­ре­пи­шем урав­не­ние: То есть, Будем ис­кать не в точ­но­сти ведь оно не будет на­ту­раль­ным, а близ­кие к ре­ше­нию этого урав­не­ния. Возь­мем наи­мень­шее -

Пе­ре­ве­дем 50 в тро­ич­ную си­сте­му счис­ле­ния: . Число че­ты­рех­знач­но, и это озна­ча­ет, что стоит взять си­сте­му счис­ле­ния

Пе­ре­ве­дем 50 в чет­ве­рич­ную си­сте­му счис­ле­ния: , это число трех­знач­но, сле­до­ва­тель­но, от­ве­том к этой за­да­че будет 4.