Уравнения и раз­лич­ные кодировки (стр. 1 )

Уравнения и раз­лич­ные кодировки

1. За­да­ние 16 № 000. Ука­жи­те, сколь­ко всего раз встре­ча­ет­ся цифра 2 в за­пи­си чисел 10, 11, 12, …, 17 в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 5.

По­яс­не­ние.

За­пи­шем пер­вое и по­след­нее число в за­дан­ном диа­па­зо­не в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 5: За­пи­шем по по­ряд­ку числа от до

Всего цифра «2» встре­ча­ет­ся 7 раз.

Ответ: 7

2. За­да­ние 16 № 000. Ре­ши­те урав­не­ние: 121x + 110 = 1017

Ответ за­пи­ши­те в тро­ич­ной си­сте­ме (ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния в от­ве­те пи­сать не нужно).

По­яс­не­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния равно 610 = 203.

Ответ: 20.

Ответ: 20

3. За­да­ние 16 № 000. Сколь­ко еди­ниц со­дер­жит­ся в дво­ич­ной за­пи­си зна­че­ния вы­ра­же­ния: 42020 + 22017 – 15?

По­яс­не­ние.

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

Число 24040 в дво­ич­ной за­пи­си за­пи­сы­ва­ет­ся как еди­ни­ца и 4040 нулей. До­ба­вив число 22017, по­лу­ча­ем 100...00100...000 (еди­ни­ца, 2022 нулей, еди­ни­ца, 2017 нулей, всего 4040 раз­ряд­ных цифр). Если вы­честь из этого числа 24 = 100002 и при­ба­вить 20, то число при­мет вид 100...001...10001. В по­лу­чен­ном числе еди­ни­ца, 2023 нуля, 2013 еди­ниц, три нуля и одна еди­ни­ца. Зна­чит, всего в числе 2015 еди­ниц.

Ответ: 2015.

Ответ: 2015

4. За­да­ние 16 № 000. Сколь­ко еди­ниц со­дер­жит­ся в дво­ич­ной за­пи­си зна­че­ния вы­ра­же­ния: 42018 + 22018 – 32?

По­яс­не­ние.

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

Число 24036 в дво­ич­ной за­пи­си за­пи­сы­ва­ет­ся как еди­ни­ца и 4036 нулей. До­ба­вив число 22018, по­лу­ча­ем 100...00100...000 (еди­ни­ца, 2018 нулей, еди­ни­ца, 2018 нулей, всего 4037 раз­ряд­ных цифр). Если вы­честь из этого числа 25 = 1000002, то число при­мет вид 100...001...100000. В по­лу­чен­ном числе еди­ни­ца, 2019 нулей, 2013 еди­ниц и пять нулей. Зна­чит, всего в числе 2014 еди­ниц.

Ответ: 2014.

Ответ: 2014

5. За­да­ние 16 № 000. Ука­жи­те, сколь­ко всего раз встре­ча­ет­ся цифра 3 в за­пи­си чисел 19, 20, 21, …, 33 в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 6.

По­яс­не­ние.

За­пи­шем пер­вое и по­след­нее число в за­дан­ном диа­па­зо­не в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 6:

За­пи­шем по по­ряд­ку числа, в за­пи­си ко­то­рых встре­ча­ет­ся цифра 3, от до : 316, 326, 336, 346, 356, 436, 536. Всего цифра «3» встре­ча­ет­ся 8 раз.

Ответ: 8.

Ответ: 8

6. За­да­ние 16 № 000. Ука­жи­те, сколь­ко всего раз встре­ча­ет­ся цифра 2 в за­пи­си чисел 13, 14, 15, …, 23 в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 3.

По­яс­не­ние.

За­пи­шем пер­вое и по­след­нее число в за­дан­ном диа­па­зо­не в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 3:

За­пи­шем все числа из за­дан­но­го диа­па­зо­на, со­дер­жа­щие цифру "2": 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212. Итого 2 встре­ча­ет­ся 13 раз.

Ответ: 13

7. За­да­ние 16 № 000. Ука­жи­те через за­пя­тую в по­ряд­ке воз­рас­та­ния все де­ся­тич­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие 30, за­пись ко­то­рых в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 5 на­чи­на­ет­ся на 3?

По­яс­не­ние.

Сна­ча­ла опре­де­лим за­пись числа 29 в пя­те­рич­ной си­сте­ме. . Вы­пи­шем числа, мень­шие за­пись ко­то­рых в пя­те­рич­ной си­сте­ме на­чи­на­ет­ся на 3: 3, 30, 31, 32, 33, 34.

Пе­ре­ве­дем их в де­ся­тич­ную си­сте­му счис­ле­ния. , , , , ,

Ответ: 3,15,16,17,18,19

8. За­да­ние 16 № 000. Ука­жи­те через за­пя­тую в по­ряд­ке воз­рас­та­ния все де­ся­тич­ные на­ту­раль­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие 17, за­пись ко­то­рых в тро­ич­ной си­сте­ме счис­ле­ния окан­чи­ва­ет­ся на две оди­на­ко­вые цифры?

По­яс­не­ние.

Ре­ше­ние.

Так как число в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 3 кон­ча­ет­ся на , то ис­ко­мое число в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния при де­ле­нии на 3 долж­но да­вать оста­ток (т. е. - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число, - ис­ко­мое число) и част­ное от этого де­ле­ния также долж­но да­вать оста­ток при де­ле­нии на 3 (т. е. , - любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число). Сле­до­ва­тель­но, .

Под­би­рая и , най­дем все на­ту­раль­ные ре­ше­ния этого урав­не­ния, не пре­вос­хо­дя­щие 17.

1. При ;

2. При ;

3. При ;