Методические рекомендации (стр. 3 )

Согласно формуле возведения в степень имеем  и, значит,

Записать число    в показательной форме.

Решение.  Чтобы представить число   в виде , нужно найти модуль и аргумент числа . Здесь , так как точка лежит на мнимой оси комплексной плоскости. Зная получим  .

Литература

, Элементы высшей математики. - М.: ACADEMA, 2010. , Сборник задач по высшей математике.- М.: Издательский центр «Академия», 2010. Практические занятия по математике.- М.: Высшая школа, 2002 , Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: «ОНИКС 21век», «Мир и образование», 2003 Математика для техникумов.- М.: Наука, 1990

Домашняя практическая работа №  3

Составление уравнений кривых второго порядка

Цель работы: научиться составлять уравнения окружности, эллипса, параболы, гиперболы, изображать кривые второго порядка.

Контрольные вопросы:

Запишите каноническое уравнение эллипса. Что называется эксцентриситетом эллипса? Какова его величина? Что называется относительной погрешностью приближенного числа? Запишите каноническое уравнение гиперболы. Запишите каноническое уравнение параболы, директрисы параболы.

Задание. Составить уравнения эллипса, гиперболы, параболы, изобразить кривые второго порядка.

Вариант 1.

Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты , а малая ось равна 14. Составить уравнение радиуса, проведенного в точку А(-3; 1) окружности: . Дана гипербола   Найти ее эксцентриситет. Дана парабола Составить уравнение ее оси. Дана парабола Составить уравнение ее директрисы.

Вариант 2.

Составить уравнение равносторонней гиперболы, фокусы которой имеют координаты  . Составить уравнение радиуса, проведенного в точку А(-2; 1) окружности: Дан эллипс Найти его эксцентриситет. Дана парабола Составить уравнение ее оси. Дана парабола Составить уравнение ее директрисы.

Методические указания:

  Уравнения второй степени с двумя переменными определяет на плоскости кривую второго порядка и притом единственную. Такое уравнение имеет вид

  В этом уравнении коэффициенты могут принимать любые действительные значения при условии, что коэффициенты А, В, С одновременно не равны нулю (так как в противном случае уравнение не будет уравнением второй степени).

  Чтобы по условию задачи составить уравнение кривой, заданной множеством точек на плоскости,  нужно установить зависимость между координатами x и y произвольной точки, принадлежащей этому множеству, и параметрами (постоянными величинами, заданными в условии задачи) и записать эту зависимость в виде уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы.

Примеры решения задач

Дан эллипс    Вычислить его эксцентриситет.

Решение. Из уравнения эллипса имеем и. По формуле найдем =7.  Эксцентриситет находим по формуле  :

е=7/10.

Ответ: е=7/10.

Дано уравнение гиперболы.  Найти ее эксцентриситет.

Решение. Из уравнения гиперболы имеем. Эксцентриситет вычисляется по формуле : 

Ответ: 

Дана парабола. Составить уравнение ее директрисы.

Решение. Директриса параболы проходит на расстоянии р/2 от ее вершины перпендикулярно оси параболы. Из уравнения параболы найдем р:

у2—4у=20х—24; у2-2۰2у+4 = 20х-24+4; (у-2)2 = 20(х-1),

откуда A(1;2);  2р=20, р/2=5.

Ось симметрии параболы параллельна оси Ох, а ветви параболы направлены вправо, следовательно, директриса проходит левее вершины. Она также проходит и левее начала координат, так как расстояние от вершины до оси Оу равно 1, а от вершины до директрисы равно 5. Абсцисса директрисы равна разности p/2—1=5—1=4, взятой со знаком минус; поэтому уравнение директрисы х = - 4.

Ответ:  х = - 4.

Литература

, Элементы высшей математики. - М.: ACADEMA, 2010. , Сборник задач по высшей математике.- М.: Издательский центр «Академия», 2010. Практические занятия по математике.- М.: Высшая школа, 2002 , Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: «ОНИКС 21век», «Мир и образование», 2003

Домашняя практическая работа №  4

Нахождение пределов функций

Цель работы: научиться вычислять пределы функции, раскрывая неопределенности , применять замечательные пределы при вычислении пределов функций.