Методические рекомендации (стр. 7 )

№ п/п	Вариант 1	№ п/п	Вариант 2
1	Составить уравнение движения тела по оси Ох, если оно начало движение из точки М(4; 0) со скоростью	1	Составить уравнение движения тела по оси Ох, если оно начало движение из точки М(3; 0) со скоростью
2	Найти уравнение линии, проходящей через точку (2;  3) и имеющей касательную, угловой коэффициент которой равен 2x+5.	2	Найти уравнение линии, проходящей через точку (1;  2) и имеющей касательную, угловой коэффициент которой равен 2x - 6.
3	Сила тока, протекающего по проводнику, выражается формулой . Найти зависимость количества электричества, протекающего по проводнику от времени.	3	Сила тока, протекающего по проводнику, выражается формулой . Найти зависимость количества электричества, протекающего по проводнику от времени.
4	Скорость распада радия пропорциональна его количеству в данный момент времени. Найти закон радиоактивного распада, если известно, что через 1600 лет останется половина первоначального количества радия.	4	Период полураспада некоторого радиоактивного вещества равен 1000 лет. Какое количество вещества останется через 500 лет?
5	Температура воздуха равна . Известно, что за 30 мин тело охлаждается от 90о до 40оС. Какова будет температура тела через 1 ч после первоначального измерения?	5	Температура воздуха равна . Известно, что за 40 мин тело охлаждается от 80о до 30оС. Какова будет температура тела через 30 мин после первоначального измерения?

Методические рекомендации:

Выделить переменные величины. Из переменных величин выделить функцию и аргумент. Установить физический смысл функции и  производной этой функции. Использую знания из физики, механики, электротехники и других дисциплин выразить зависимость между функцией, ее производной и аргументом, т. е. составить дифференциальное уравнение. Определить к какому типу уравнений относится полученное  дифференциальное уравнение, и найти его общее решение. С помощью начальных условий найти частное решение уравнения.

Примеры решения задания

Задача № 1. Составить уравнение движения тела по оси Ох, если оно начало движение из точки М(1; 1) со скоростью

Решение: Как известно, скорость равна производной пути по времени, т. е. . По условию задачи скорость Таким образом, дифференциальное уравнение данной задачи имеет вид . Разделив в нем переменные, получим . Интегрируя обе части уравнения, получим общее решение уравнения.  .  Найдем частное решение, т. е. из всех возможных движений по этому закону найдем такое, при котором тело начнет двигаться из точки М(1; 1). 1 = 0,5 + 2 +С, С = - 1,5. Закон движения можно записать в виде .

Задача № 3. Сила тока, протекающего по проводнику, выражается формулой . Найти зависимость количества электричества, протекающего по проводнику от времени.

Решение: Сила тока равна производной количества электричества по времени, то есть . По условию задачи . Таким образом, . Разделяя в нем переменные и интегрируя, получим общее решение дифференциального уравнения .

Задача № 4. Скорость распада радия пропорциональна его количеству в данный момент времени. Найти закон радиоактивного распада, если известно, что через 1800 лет останется половина первоначального количества радия.

Решение: Пусть R – количество радия в момент времени t, а Rо – его первоначальное количество. Тогда скорость распада радия равна и является отрицательной величиной, так как R с возрастанием t убывает. Согласно условию, имеем

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и интегрируем:

=lnC.

Таким образом,   - общее решение уравнения.

Найдем теперь С и k. Для определения произвольной постоянной C воспользуемся начальными условиями . В начальный момент времени   откуда   Поэтому закон распада имеет вид .

Для нахождения k используем следующие условия:   при отсюда

т. е. .

Прологарифмируем обе части полученного показательного уравнения:

Итак, окончательно получаем