Методические рекомендации (стр. 4 )

Контрольные вопросы:

Что называется пределом функции в точке? Что называется пределом функции на бесконечности? Какие Вы знаете замечательные пределы? Какие бесконечно малые функции называются эквивалентными? Какие виды неопределенностей вы знаете? Что значит «раскрыть неопределенность»?

Задание: Вычислить пределы функций.

№ п/п	Вариант 1	№ п/п	Вариант 2
1		1
2		2
3		3
4		4
5		5
6		6

Методические указания:

1.  Подставьте предельное значение аргумента в функцию и вычислите ответ. Если есть неопределенность, определите ее вид.

2.  Если есть неопределенность , раскройте ее по правилам раскрытия неопределенности.

4.  Внимание: если функция содержит переменную не только в основании, но и в показателе степени, то надо применить логарифмическую производную.

Примеры вычисления пределов.

1)

Решение

Подставим в пределе  вместо x число, к которому оно стремится и получим результат:

 

2)

Решение

При   имеем неопределенность . Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на  икс с наибольшим показателем степени, то есть на . Тогда получим

Так как .

3)

Решение

И числитель и знаменатель дроби при   стремятся к нулю. Имеем неопределенность . Умножим числитель и знаменатель на выражение

. Получим   

4)

Решение

И числитель и знаменатель дроби при   стремятся к нулю. Имеем неопределенность . Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на множитель, приводящий к неопределенности.

5)

Решение

Имеем неопределенность . Воспользуемся первым замечательным пределом

Получим

6)

Решение

Имеем неопределенность вида  . Воспользуемся вторым замечательным пределом

Получим

Литература

, Элементы высшей математики. - М.: ACADEMA, 2010. , Сборник задач по высшей математике.- М.: Издательский центр «Академия», 2010.

3.  Практические занятия по математике.- М.: Высшая школа, 2002

4.  , Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: «ОНИКС 21век», «Мир и образование», 2003

Домашняя практическая работа № 5

Исследование функции на непрерывность и точки разрыва

Цель работы: научиться исследовать функцию на непрерывность и устанавливать точки разрыва.

Контрольные вопросы:

Дайте определение функции непрерывной в точке? Дайте определение левостороннего (правостороннего) предела функции в точке Что такое точка разрыва функции? Какая точка называется точкой разрыва 1-го рода? Какая точка называется точкой разрыва II - го рода? Приведите  пример  функции  непрерывной на отрезке? На всей области определения? Приведите  пример  функции  непрерывной  на отрезке?  На всей  области определения?

Задание: Исследовать  кусочно-непрерывную  функцию  на  непрерывность, установить точки разрыва и построить график.

Вариант 1

Вариант 2

Методические указания:

1. Вычислить односторонние пределы в каждой граничной точке

2.Вычислить значение функции в этой точке

3.Сравнить  значение  предела  функции  справа,  значение  функции  слева  и

значение функции в этой точке, если:

-  оба предела существуют и равны значению функции в этой точке, то функция в этой точке непрерывна;

-  оба предела существуют, но не равны друг другу, то исследуемая точка является точкой разрыва 1-го рода;

-  хотя бы один из односторонних пределов не существует, то исследуемая точка является точкой разрыва II - го рода;

Внимание: кусочно-непрерывные функции надо исследовать во всех граничных точках.

Пример выполнения задания.

Исследовать  кусочно-непрерывную  функцию  на  непрерывность, установить точки разрыва и построить график.

Решение

Неэлементарная функция   определена для всех значений .  Она может иметь разрыв в точках , где меняется ее аналитическое выражение. Во всех остальных точках своей области определения функция непрерывна, поскольку каждая из формул, которыми она задана, определяет собой элементарную функцию, непрерывную в своем интервале изменения аргумента .