Методические рекомендации (стр. 8 )

Литература

, Элементы высшей математики.-М.: ACADEMA, 2010. , Сборник задач по высшей математике.- М.: Издательский центр «Академия», 2010. Практические занятия по математике.- М.: Высшая школа, 2006 , Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: «ОНИКС 21век», «Мир и образование», 2003 Математика для техникумов.- М.: Наука, 1990

Домашняя практическая работа № 9

Нахождение экстремума функции двух переменных.

Цель работы: Научится находить экстремумы функции двух переменных.

Контрольные вопросы:

Какое значение функции многих переменных называется максимумом (минимумом). В каких точках функция многих переменных может иметь максимум или минимум. Правило исследования функции двух переменных на экстремумы.

Задание. Найти экстремумы функций.

№ п/п	Вариант 1	№ п/п	Вариант 2
1	Найти экстремумы функции	1	Найти экстремумы функции
2	Найти экстремумы функции	2	Найти экстремумы функции

Методические рекомендации:

Критическая точка будет точкой экстремума функции , если для всех точек М, достаточно близких к  (в окрестности  ), приращение функции   не изменяет знака. При этом, если    сохраняет положительный знак, то  есть точка минимума, а если    сохраняет отрицательный знак, то    есть точка максимума функции.

Для функции двух переменных вместо исследования знака    можно исследовать каждую критическую точку  , в которой функция дважды дифференцируема, по знаку определителя

 

где 

При этом:

Если есть точка экстремума: при точка максимума, а при точка минимума; Если нет экстремума; Если , то для решения вопроса о наличии или отсутствии экстремума в точке  требуется дальнейшее исследование, например по знаку приращения вблизи этой точки.

Примеры решения задания

Найти экстремум ‘функции:

Решение: Имеем . Найдем точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений

  ,

решение которой    Следовательно,   - точка возможного экстремума.

Теперь найдем вторые частные производные и

Так как , то в точке данная функция имеет минимум.

Литература

, Элементы высшей математики.-М.: ACADEMA, 2010. , Сборник задач по высшей математике.- М.: Издательский центр «Академия», 2010. Практические занятия по математике.- М.: Высшая школа, 2006 , Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: «ОНИКС 21век», «Мир и образование», 2003 Математика для техникумов.- М.: Наука, 1990

Домашняя практическая работа № 10

Вычисление двойного интеграла.

Цель работы: научиться вычислять двойной интеграл в прямоугольных координатах.

Контрольные вопросы:

Что называется двойным интегралом? Перечислите основные свойства двойного интеграла. Перечислите случаи вычисления двойного интеграла в прямоугольных координатах.

Задание: Вычислить повторный интеграл. Вычислить двойной интеграл по области D.

№ п/п	Вариант 1	№ п/п	Вариант 2
1	Вычислить повторный интеграл	1	Вычислить повторный интеграл
2	Вычислить повторный интеграл	2	Вычислить повторный интеграл
3	Вычислите двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями:	3	Вычислите двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями:

Методические рекомендации:

  Чтобы вычислить повторный интеграл сначала вычисляют внутренний интеграл по переменной y, считая x постоянным. Затем вычисляют внешний интеграл по переменной x, подставив в него выражение, полученное при вычислении внутреннего интеграла.

  Для вычисления двойного интеграла по области D необходимо эту область построить и по рисунку определить пределы внутреннего и внешнего интегралов.

Примеры решения задания

1.  Вычислить повторный интеграл

Решение: По формуле

Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной y, считая x

постоянным:

.

Теперь вычислим внешний интеграл по переменной x, подставив в него полученное выражение:

Вычислить двойной интеграл   по области D, ограниченной

прямыми

Решение:  Построим область D. Область D является простой относительно осей Ox и Oy (см. рис.).

  y=4

  y=1

  x=2  x=6

Вычислим двойной интеграл

Вычислим внутренний интеграл по переменной y при постоянном x, находим

Подставив это выражение во внешний интеграл, получим

.

Литература

, Элементы высшей математики.-М.: ACADEMA, 2010. , Сборник задач по высшей математике.- М.: Издательский центр «Академия», 2010. Практические занятия по математике.- М.: Высшая школа, 2006 , Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: «ОНИКС 21век», «Мир и образование», 2003 Математика для техникумов.- М.: Наука, 1990