Методические рекомендации (стр. 6 )

Литература

, Элементы высшей математики. - М.: ACADEMA, 2010. , Сборник задач по высшей математике.- М.: Издательский центр «Академия», 2010. Практические занятия по математике.- М.: Высшая школа, 2002 , Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: «ОНИКС 21век», «Мир и образование», 2003 Математика для техникумов.- М.: Наука, 1990

Домашняя практическая работа № 7

Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, длины дуги, объемов тел вращения, площадей поверхностей тел вращения.

Цель работы: научиться вычислять площадь плоской фигуры, длину дуги, объем тела вращения, площадь поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла.

Контрольные вопросы:

Что такое определенный интеграл? Как строится интегральная сумма? По какой формуле вычисляется определенный интеграл? Каков геометрический смысл определенного интеграла? Какие положения плоской фигуры вы знаете? Какие формулы используются для вычисления площади фигуры? По какой формуле можно вычислить объем тела вращения? По какой формуле можно вычислить длину дуги? По какой формуле можно вычислить площадь поверхности тела вращения?

Задание. Вычислить площадь плоской фигуры, заданной линиями, и вычислить объем тела, полученного вращением этой фигуры вокруг оси Ох или Оу, вычислить площадь поверхности тела вращения, найти длину дуги.

№ п/п	Вариант 1	№ п/п	Вариант 2
1	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделать чертеж.	1	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями . Сделать чертеж.
2	Вычислить объем тела вращения  фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси Оx. Сделать чертеж.	2	Вычислить объем тела вращения  фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси Оx. Сделать чертеж.
3	Найти длину дуги параболы   между точками	3	Найти длину дуги параболы   между точками ее пересечения с осью Ох.
4	Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги окружности , заключенной между точками .	4	Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги окружности , заключенной между точками .

Методические указания:

  Решение задачи начинать с изображения плоской фигуры. При этом, если график  невозможно  построить  с  помощью  простейших  преобразований основной функции, необходимо провести исследование функции по плану. По рисунку выбрать формулу, необходимую для вычисления площади. Найти пределы интегрирования. Вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона – Лейбница

5.  Для вычисления объема необходимо нарисовать второй рисунок - тело вращения.

6.  Выбрать формулу для вычисления объема в зависимости от заданной оси вращения, причем пределы интегрирования остаются прежними.

7.  Определенный интеграл вычислять непосредственно, подстановкой или по частям.

Примеры решения задания

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовой системе координат. Сделать рисунок.

Решение.

Построим графики функций.

Найдем точки пересечения графиков функций. 

Искомая площадь ограничена параболой и прямой. Площадь фигуры будем вычислять по формуле (кв. ед.).

Вычислить объем тела вращения, полученного при вращении фигуры,

Лежащей в плоскости ХОУ и ограниченной заданными линиями, вокруг оси Ох. Сделать чертеж.  .

Решение.

Построим линии.

Объем тела вращения находится по формуле  .

(куб. ед.).

Найти длину дуги параболы   между точками .

Решение.

Дифференцируя уравнение параболы, получим . Вычислим длину

дуги по формуле: (ед. дл.)

Найти площадь поверхности шара, образованного вращением окружности вокруг оси Ох.

Решение.

Дифференцируя уравнение окружности , получим   Найдем дифференциал дуги:

.

Подставив значение дифференциала в формулу   и взяв пределы интегрирования от , получим

.

Литература

, Элементы высшей математики.-М.: ACADEMA, 2010. , Сборник задач по высшей математике.- М.: Издательский центр «Академия», 2010. Практические занятия по математике.- М.: Высшая школа, 2006 , Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: «ОНИКС 21век», «Мир и образование», 2003 Математика для техникумов.- М.: Наука, 1990

Домашняя практическая работа № 8

Решение прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений

Цель работы: Научится решать простые прикладные задачи с помощью дифференциальных уравнений

Контрольные вопросы:

Каков физический смысл производной? Какое уравнение называется дифференциальным уравнением? Какое уравнение называется  уравнением с разделяющимися переменными Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка Какое уравнение называется неполным дифференциальным уравнением второго порядка Что является решением дифференциального уравнения? общим решением, частным решением? Как найти частное решение дифференциального уравнения.

Задание. Решить задачи, сводящиеся к решению дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными