Примерный перечень тем (стр. 4 )

ОТВЕТЫ:  А) На одной из граней куба целевая функция постоянна и равна 1917 (минимум). В одной из вершин достигается максимум, равный  1937.  Б)  В вершине  (0, 19, 0) достигается минимум, равный 323. В вершине со значением  z=19*корень(2) достигается максимум, примерно равный 52554,9.  В) Максимум достигается в центре куба и равен 1937. Минимум не существует.  Г)  Максимум равен 52555, а минимум равен 555.  Д) Максимум равен  555, а минимум равен  -52555. Для каждого из них z=19.

ТЕСТ 44. Дана замкнутая область в форме куба ABCDA1B1C1D1, лежащего в первом октанте.  А и В - соседние вершины с координатами  А(19, 0, 0),  В(0, 19, 0). Задана целевая функция  L(x, y,z) = 19x+1917y+17z.  Чему равен максимум и минимум этой функции в этой области? В каких точках они достигаются?

ОТВЕТЫ:  А) Максимум близок к числу 73666 и достигается в точке, где «у» в два раза больше «х». Минимум равен 361 (находится в точке, у которой последние две координаты =0).  Б) Максимум ровно в 10 раз больше минимума и находится в точке (20, 20, 20). Минимум находится в точке (19, 0, 0).  В) Максимум равен примерно 73664, минимум равен  -333. Расстояние от точки максимума до точки минимума равно 19.  Г)  И минимум, и максимум достигаются при z=0.  Их сумма (округляя до целых)  равна 74025.

ТЕСТ 45. В 3-мерном пространстве задана замкнутая заузленная ломаная линия с шестью прямолинейными звеньями (известны координаты её вершин). Задана также функция  L(x, y,z) = 7x + 11y+ 13z. Можно ли, решая 6 раз задачу линейного программирования, узнать, чему равен максимум и минимум этой функции при движении по точкам  заузленной ломаной?

ОТВЕТЫ: А) Нельзя, так как заузленная ломаная является нелинейным объектом.  Б) Заузленную ломаную с шестью прямолинейными звеньями построить невозможно.  В) Можно. Пусть  даны  координаты вершин ломаной:  A(6, 0, 2),  B(14, 12, 0), C(7, 13, 6), D(8, 1, 0), E(14, 1, 4), F(0, 15, 0).  В этих точках L = 68, 230, 270, 67, 161, 165 соответственно. Значит, максимум L равен 270, а минимум равен 67.  Г) Можно. Пусть  даны  координаты вершин ломаной:  A(6, 0, 2),  B(14, 12, 0), C(7, 13, 6), D(8, 1, 0), E(14, 1, 4), F(0, 15, 20).  Такая ломаная является заузленной. В этих точках L = 68, 230, 720, 67, 161, 165 соответственно. Значит, максимум L равен 720, а минимум равен 67.  Д) И ответ Г, и ответ В неверны.

ТЕСТ 46. Из четырёх кубиков со стороной 6 склеена трёхмерная замкнутая область в форме буквы «Г». Область размещена в первом октанте в слое 0 <= z <= 6 так, как указано на рис. 1. Решая две задачи ЛП, найти максимум и минимум функции  L = -33x-44y-55z (и точки, где они достигаются).

ОТВЕТЫ:  А) Так как L в первом октанте отрицательна, то максимум ею не достигается. Значит, тест не имеет решения.  Б) Так как область невыпуклая, то задачу ЛП решать нельзя.  В) Хотя эта область и невыпуклая, но её можно разбить на две равные выпуклые подобласти, и в каждой из них решать задачу ЛП. Получим max1, max2, min1, min2. Из двух максимумов возьмём наибольший, а из двух минимумов – наименьший. 

  Рис. 1. Область в форме буквы «Г» (вид сверху).

Г) Хотя эта область и невыпуклая, но её можно разбить на неравные выпуклые подобласти, и в каждой из них решать задачу ЛП. Получим max1 = 11, max2 = 13, min1 = 0, min2 = 7. Из двух максимумов возьмём наибольший, а из двух минимумов – наименьший. 

ТЕСТ 47. Из четырёх кубиков со стороной 6 склеена трёхмерная замкнутая область в форме буквы «Г». Область размещена в первом октанте в слое 0 <= z <= 6 так, как указано на рис. 1. Решая две задачи ЛП в двух равных выпуклых подобластях, найти максимум и минимум функции  L = -33x-44y-55z (и точки, где они достигаются).

ОТВЕТЫ: А)  Максимум = 0, достигается в точке (0, 0, 0). Минимум = -1518, достигается в точке (12, 18, 6).  Б)  Максимум = 1518, достигается в точке (12, 18, 6). Минимум = 0, достигается в точке (0, 0, 0).  В) Так как область невыпуклая, то минимума в ней нет. Максимум равен 1518.  Г) Максимум и минимум лежат на отрезке, соединяющем точки (6, 12, 0) и (6, 12, 6). Максимум = –891, минимум = –981.

ТЕСТ 48. Найти максимум функции четырёх переменных L= (р2 – 10)x + (р2/4) y + z + р u  в замкнутой области, отвечающей условиям { x >= 0, y >= 0, z >= 0, u >= 0, x+y+z+u = 2014, x+z=14}

ОТВЕТЫ: (как всегда, выбирается ответ, наиболее близкий к правильному)  А) Максимум равен числу «пи», достигается в точке (10, 1000, 4, 1000).  В) Максимум равен числу 6297, достигается в точке (10, 1000, 4, 1000).  Г) Максимум равен 2000р + 14, достигается в точке (0, 0, 14, 2000). Д) Максимум равен 4933 в точке (14, 2000, 0, 0).

ТЕСТ 49. Найти максимум функции четырёх переменных L= x+2y+3z+4u  в замкнутой области, отвечающей условиям { x >= 0, y >= 0, z >= 0, u >= 0, x+y+z+u = 1, x+y+z=1}

ОВЕТЫ:  А) Максимум=3, достигается в точке (0, 1, 0, 0); минимум=1, достигается в точке (1, 0, 0, 0).  Б) Все ответы, кроме ответа Б, неверные.  В) Максимум=3, достигается в точке (0, 0, 1, 0).  Г) Так как условия записаны симметрично относительно x, y, z, то можно взять x=y=z. Тогда обязательно будет x=y=z= 1/3. Значит, минимум равен максимуму (и его легко найти из формулы для L).

ТЕСТ 50. Найти максимум функции пяти переменных L= x+2y+3z+4u+5v  в замкнутой области, отвечающей условиям { x >= 0, y >= 0, z >= 0, u >= 0, v >= 0, x+y+z+u+v = 1, x+y+z+u = 1}

ОТВЕТЫ:  А) Максимум=3, достигается в точке (0, 1, 0, 0, 0); минимум=2, достигается в точке (1, 0, 0, 0, 0).  Б) Минимум равен 13, а максимум в два раза больше.  В) Максимум=3, достигается в точке (0, 0, 1, 0, 0).  Г) Так как условия записаны симметрично относительно x, y, z, u, то можно взять x=y=z=u. Тогда обязательно будет x=y=z= 1/4. Значит, минимум равен максимуму (и их легко найти из формулы для L).  Д) Максимум равен 4, достигается в точке (0, 0, 0, 1, 0).

Тема 4. Построение правильного n-угольника с единичным периметром

ТЕСТ 51. Построить правильный треугольник с единичным периметром, симметричный относительно прямой  y=x, с центром в начале координат. (См. рис.2). Найти максимум линейной функции  L = x+y  в замкнутой области, ограниченной этим треугольником.

  Рис. 2. Правильный 3-угольник с периметром=1.

ОТВЕТЫ:  А) Сторона равна 1/3, две трети высоты равно 1/(3*корень(3)), координаты исходной вершины равны x=y= корень(2)/(6*корень(3)), вторая и третья вершина вычисляются по формуле { x1 = x*cos(2*пи()/3)–y*sin(2*пи()/3), y1 = x*sin(2*пи()/3)+y*cos(2*пи()/3) }, применён­ной дважды (угол поворота (2*пи()/3), применённый дважды, даёт в итоге (4*пи()/3) ). Максимум L достигается в исходной вершине.  Б) Сторона равна 1/3, две трети высоты равно 1/(3*корень(3)), координаты исходной вершины равны x=y= корень(2)/(6*корень(3)), вторая и третья вершина вычисляются по формуле { x1 = x*cos(2*пи()/3)+y*sin(2*пи()/3), y1 = x*sin(2*пи()/3)–y*cos(2*пи()/3) }, применён­ной дважды (угол поворота (2*пи()/3), применённый дважды, даёт в итоге (4*пи()/3) ). Максимум L достигается в исходной вершине и равен 0,2722.  В) Сторона равна 1/3, площадь треугольника равна 1/корень(3), Lmax = корень(3).  Г) Один из ответов Б, В верный.

ТЕСТ 52. Построить правильный четырёхугольник с единичным периметром, одна из диагоналей которого идёт под углом 30о к оси иксов, с центром в начале координат. (См. рис.3). Найти максимум линейной функции  L = x+y  в замкнутой области, ограниченной этим 4-угольником.

ОТВЕТЫ:  А) Достаточно найти координаты вершины, лежащей в 1 квадранте, координаты остальных вершин получаются изменением порядка следования «х» и «у» и нужным изменением знака. Максимум L = x+y достигается в вершине  первого квадранта и равен 0,1524.  Б)  Достаточно найти координаты вершины, лежащей в 1 квадранте, координаты остальных вершин получаются изменением порядка следования «х» и «у» и нужным изменением знака. Максимум L = x+y достигается в вершине  первого квадранта и равен 0,2415. Координаты этой вершины равны (0,1531; 0,0884).  В) Максимум L=x+y достигается в центре квадрата.  Г) Площадь квадрата равна 0,5.  Максимум L равен 0,6868.

  Рис. 3. Правильный 4-угольник (периметр=1)

ТЕСТ 53. Квадрат, изображённый на рис. 3, отражается в оси игреков как в зеркале. Чему равна площадь пересечения этих двух квадратов? (См. рис. 4).

  Рис. 4. Общая часть двух квадратов периметра 1. 

ОТВЕТЫ:  А) Обозначим через w расстояние от центра квадрата до его вершины. Если периметр равен 1, то w = 0,25/корень(2). Очевидно, что пересечение двух квадратов является многоугольником, все стороны которого равны, и что он симметричен относительно оси иксов, оси игреков и относительно прямых y=x  и  y= –x. Это не означает, что он правильный, так как расстояние от его центра до верхней вершины не равно расстоянию от центра до вершины, лежащей на прямой у=х. Первое расстояние равно  w корень(3)/(корень(3) + 1), а второе w/корень(2). Эти два отрезка образуют между собой угол 45o. Отсюда находим, что вся площадь  8-угольника равна  2 w2 корень(3)/(корень(3) + 1), то есть 63,4% от площади исходного квадрата.  Б)  Первое расстояние равно  w корень(2)/(корень(2)+ 1), а второе w/корень(3). Эти два отрезка образуют между собой угол 45o. Отсюда находим, что вся площадь  8-угольника равна  2 w2 корень(2)/(корень(2) + 1), то есть 58,6% от площади исходного квадрата.  В) Их пересечение является правильным 8-угольником, и длины всех отрезков, идущих от центра до вершин, равны 2w/(корень(2)+корень(3)). Отсюда легко находится его площадь.  Г) Отрезок, соединяющий центр с вершиной, имеет длину 0,1 корень(2), а отрезок, идущий по вертикали, равен 0,13. Отсюда легко находится площадь 8-угольника.