Примерный перечень тем (стр. 6 )

ОТВЕТЫ:  А) 1 → 1. , 2 → 4. , 3 → 3. , 4 → 2. 

  Б) 1 → 4. , 2 → 3. , 3 → 1. , 4 → 2. 

В) 1 → 4. , 2 → 3. , 3 → 2. , 4 → 1. 

Г) 1 → 1. , 2 → 4. , 3 → 2. , 4 → 3.

  Д) 1 → 1. , 2 → 3. , 3 → 2. , 4 → 4. 

  (график 3.)

  (график 4.)

  Рисунок 12. Четыре графика поверхностей.

ТЕСТ 62. На рис.13 (см. ниже) представлены графики четырёх поверхностей, отвечающим четырём уравнениям: 

1 .  z = 1/(|tg(xy/600)| + 1)

2 .  z = 1/(|ctg(xy/600)| + 1)

3 .  z = 1/(|2 sin(xy/60)| + 1)

4 .  z = 1/(|cos(xy/60)| + 1),

построенных в квадратной замкну­той области {-10 <= x <= 10, -10  <= y <= 10 } (порядок следования уравнений не совпадает с порядком следования графиков). Графики пронумерованы так: верхние два 1. и 2. , нижние два 3. и 4. Выбрать ответ, устанавливающий правильное соответствие между номерами уравнений и номерами графиков.

ОТВЕТЫ:  А) 1 → 1. , 2 → 2. , 3 → 3. , 4 → 4. 

  Б) 1 → 4. , 2 → 3. , 3 → 1. , 4 → 2. 

В) 1 → 4. , 2 → 3. , 3 → 2. , 4 → 1. 

Г) 1 → 3. , 2 → 4. , 3 → 2. , 4 → 1.

Д) 1 → 1. , 2 → 3. , 3 → 2. , 4 → 4. 

  (чертеж 1.)

  (чертеж 2.)

  (чертеж 3.)

  (чертеж 4.)

  Рис. 13. Чертежи к ТЕСТУ 62.

ТЕСТ 63. Даны 5 уравнений:

1..  z= arcsin(sin(у)) + 0,5*x

2..  z= arcsin(sin(x))+arccos(cos(y))

3..  z= arctg(tg(x))*y

4..  z= arctg(ctg(x)+tg(y))

5..  z= arctg(tg(x)+arcctg(ctg(y)).  Ниже (рис. 14) приведены графики 1., 2., 3., 4. , изобра­жающие четыре из этих пяти уравнений в квадратной области {-3 <= x <= 3; -3 <= y <= 3}.  Какие именно и в каком порядке?

ОТВЕТЫ:  А) чертеж 1. это 4.. , 2. это 2.. , 3. это 5.. , 4. это 1..

  Б) 1. это 5.. , 2. это 4.. , 3. это 3.. , 4. это 2..

  В) 1. это 4.. , 2. это 3.. , 3. это 5.. , 4. это 1.. 

Г) 1. это 4.. , 2. это 3.. , 3. это 2.. , 4. это 1..

  (чертеж 1.)

  (чертеж 2.)

  (чертеж 3.)

  (чертеж 4.)

  Рис. 14. Состоит из чертежей  (1.  2.  3.  4.)

ТЕСТ 64. На рис. 15 представлен график функции двух переменных. Какая из перечисленных ниже шести функций ему соответствует? <из приведённых ниже четырёх ответов указать  НЕПРАВИЛЬНЫЙ>  : 

1..  arcsin(cos(р/2 – x)) + arccos(cos(y + 2р))  ;  2..  arctg(tg(x)) + р/2 – arctg(1/tg(x)) 

3..  z= xy – (xy)3 ;  4..  z=  arcsin(sin(x)) + arccos(cos(y)) ;  5..  z= xy – yx  6..  arccos(tg(x)) 

ОТВЕТЫ:  А) Рисунку 15 соответствует либо первая, либо 4-я функция.

Б) График 1-й функции совпадает с графиком 4-й.  В) Рис. 15 является кусочно-плоскостным.  Г)  Рис. 15 только кажется кусочно-плоскостным, а на самом деле в нём не изломы, а плавные закругления.

  Рис. 15. Что-то вроде пюпитра.

ТЕСТ 65. На рис. 16 изображена часть поверхности  z = ecos x + esin y (вид сверху). Как уточнить расположение точки максимума и величину максимума?

ОТВЕТЫ:  А) Из чертежа видно, что максимум находится в точке (0; 1,5). Он равен е + е3/2.  Б) Из чертежа видно, что в пределах квадрата  {-3 <= x <= 3; -3 <= y <= 3} имеется шесть точек экстремума. В точке (0; 4р/9) находится максимум (легко вычислить, чему он равен), а в прочих точках находятся минимумы.  В) Максимум  находится на левой границе. Он равен 6.  Г)  Максимум находится на верхней и нижней границе. Оба они равны 6.

Д) В точке, подозрительной по экстремуму, обязательно  х=0 и обязательно  у=р/2  либо  у= - р/2, так как остальные подозрительные точки лежат за пределами квадрата {-3 <= x <= 3; -3 <= y <= 3}.

В точке (0; - р/2) находится «седло», то есть нет экстремума. В точке  (0; р/2) находится максимум, равный 2е. 

  Рис. 16. Вид сверху на поверхность  z = ecos x + esin y.

ТЕСТ 66. Каким уравнением описывается поверхность, изображённая в пределах квадрата {-3 <= x <= 3; -3 <= y <= 3} на рис. 17 ?

ОТВЕТЫ:  А)  z = x4 – y4 + 3xy  Б)  z = xy – (xy)3  В)  z = x*cos y – y*cos x

Г)  Ни одним из вышеуказанных уравнений  Д)  z = |xy| – |x| – |y|

  Рис. 17. «Летящая птица».

ТЕСТ 67. Каким уравнением описывается поверхность, изображённая в пределах квадрата {-3 <= x <= 3; -3 <= y <= 3} на рис. 18 ? Найти верный и самый информативный ответ.

ОТВЕТЫ:  А)  z = x4 – y4 + 3(sin x)-cos y  Б)  z = xy – xy3  В)  z = x*cos y – cos x

Г)  Ни одним из  уравнений  пунктов А и Б  Д)  z = arccos(tg(x/y))

Рис. 18. «Готический храм в строительных лесах»

ТЕСТ 68. Какие из поверхностей, описываемых нижеидущими четырьмя уравнениями, лежат внутри какой-нибудь из трёх оставшихся поверхностей:

1) 3x + 4y + 5z = 60  2) x2 + z2 = 1  3) x2 + y2 + z2 = 1000  4)  x2 + y2 + (z–7)2 = 16

ОТВЕТЫ:  А) Все более поздние уравнения дают поверхность, лежащую внутри всех предыдущих  Б) Никакая не лежит внутри другой поверхности  В) 4-я поверхность лежит внутри 3-й  Г)  2-я лежит внутри 3-й и 4-й  Д)  Если заменить 1000 на 10000, то 3-я поверхность будет содержать внутри себя каждую из остальных.

ТЕСТ 69. На рис. 19 представлена поверхность  z = xyyx,  где  0 <= x <= 2, 0 <= y <= 2.

Какое из 4-х утверждений  А, Б, В, Г  неверно?

  Рис. 19. «Памятник героям космоса»

УТВЕРЖДЕНИЯ:  А) Правый край этого куска поверхности является степенной функцией, а задний край – показательной функцией.  Б) Кривая, образующая верхний край синей области, не является четвертью окружности.  В) z(1, 2) = z(2, 1) = 2  Г)  Линия уровня  z(x, y) = 0 состоит из двух прямолинейных отрезков.

ТЕСТ 70. Как построена поверхность, представленная на рис. 20? Указать правильный ответ. (Область определения: 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 2).

ОТВЕТЫ: А) По формуле  z = arcsin(|sin 7x|) + arccos(|cos 7x|).  Б) По формуле  z = max (x+2y, 3).  В) Сначала была построена поверхность  z = x + 2y, а затем вручную были занесены точки на высоте 3 вдоль спиралевидной траектории.  Г)  Все точки были занесены вручную.

  Рис. 20. «Лабиринт».

  Тема 10. Задачи на максимум функций: y=f(x) на отрезке или z = f(x, y) в области

ТЕСТ 71. Планируется изготовить из дерева цилиндр радиуса R и высоты Н, а также два одинаковых конуса с теми же радиусом и высотой. Конусы затем будут приклеены основаниями к верхнему и нижнему основанию цилиндра. Полученное тело должно иметь полную поверхность  S0 кв. метров. При каких  R, H  это тело будет иметь наибольший объём?

ОТВЕТЫ: (если несколько ответов кажутся правильными, надо выбрать «самый правильный», то есть либо несущий самую полную информацию, либо самый точный).  А) При R = H.  Б) При R = 0,5 H.  В) Ни при каких. Объём может быть как угодно большим.  Г)  Если взять S0=р, то максимальный объём будет достигаться при R = 20–0,25.  Он равен  20–0,25 *р/3. Он близок к объёму сферы, поверхность которой равна р, но всё же немного больше объёма сферы.  Д)  При R = 5–0,25 КОРЕНЬ(S0/(2р)). Максима­льный объём Vmax  равен  (5р/6)*(RS0/(2р) – R5/( S0/(2р) )).

Примечание. Ниже приведён рис. 21, поясняющий, чему равны объёмы всех возможных тел указанной в тесте формы, если у каждого из них поверхность одинакова и равна S0. Но ничего не сказано о том, чему равно S0, к какому ответу относится рисунок, и правилен ли этот ответ.

  Рис. 21. Общий вид изменения объёма тела по мере нарастания R. (К тесту 71).

ТЕСТ 72. В полукруг радиуса 1 вписан квадрат. В криволинейные треугольники слева и справа от этого квадрата вписаны окружности. Сколько процентов составляет суммарная площадь квадрата и двух окружностей по отношению к площади полукруга радиуса 1 ?