Примерный перечень тем (стр. 5 )

ТЕСТ 54. Как построить на одном чертеже правильный 5-угольник с периметром 1 и окружность с тем же центром и с такой же площадью? (См. рис. 5).

  Рис. 5. Две фигуры равной площади.

ОТВЕТЫ:  (следует учесть,  что в каждом из ответов – и в правильном, и в неправи­ль­ном, можно найти информацию, полезную для решения данной задачи; в связи с этим ответ может содержать более одного утверждения, и ответ считается НЕПРАВИЛЬНЫМ, если хотя бы одно из этих утверждений неверно)  А) Боковые вершины 5-угольника лежат на высоте 0,05 и –0,14 (что позволяет легко построить его). Квадрат радиуса окружности равен S/р,  где S= площади правиль­ного 5-угольника. Обозначая через R, r радиус описанной и вписанной окружности 5-угольника, можно разбить его на 10 равных прямоугольных треугольников с катетами  r и 0,1 и гипотенузой  R  и углом  р/5. Площадь каждого из этих треугольников равна Ѕ * 0,12/tg(р/5),  а площадь всего 5-угольника в 10 раз больше, то есть S = 0,06882. Значит, радиус окружности, изображённой на рис. 5, должен равняться 0,14800.  Б) Эта задача не имеет реше­ния, так как она равносильна квадратуре круга (прочитать в интернете, что это такое).  В) Так как периметр 5-угольника равен 1, то и длина окружности тоже равна 1 (поскольку площади этих фигур равны). Отсюда легко найти радиус окружности. Так как верхняя вершина находится на высоте 0,17, а прочие вершины лежат на высоте 0,05 и –0,14 , то легко построить 5-угольник.  Г) Так как радиус окружности на рис. 5 равен 0,15 , то окружность легко построить, опираясь на  её уравнение: x2 + y2 = 0,152. Пятиугольник же строим так: сначала заносим координаты первой вершины (верхней): (0, R), где R = 0,17013 (см. ответ А). Затем нес­колько раз делаем поворот на  угол 2р/5 против часовой стрелки, что сводится к умножению первой и второй координаты исходной вершины на выражения  B1*COS(2*ПИ()/5) – C1*SIN(2*ПИ()/5) и  B1*SIN(2*ПИ()/5) + C1*COS(2*ПИ()/5) соответственно (где в В1 находится 0, а в С1 находится R). Получаем коор­динаты второй вершины в ячейках В2 и С2. Копируем форму­лы в этих соседних ячейках вниз до тех пор, пока снова появятся координаты 0 и R (в ячейках В6 и С6).  По этим точкам строим контур 5-угольника.  Д) Так как радиус окружности на рис. 5 равен корень(0,6882/р) = 0,14800, то окружность легко построить в полярной системе координат.  Пятиугольник же строим так, как объяснено в ответе  Г.

ТЕСТ 55. Построить правильный 6-угольник периметра 1 с центром в точке (0, 0) и с двумя вершинами на оси игреков. Начиная с верхней вершины и двигаясь против часовой стрелки, на каждой стороне 6-угольника отсекают одну треть этой стороны и соединяют точки отсечения между собой. Убедиться, что снова получается правильный 6-угольник. Как построить его? Как найти его периметр?  (См. рис. 6).

  Рис. 6. Шестиугольник в шестиугольнике.

ОТВЕТЫ: (изучите ВСЕ ответы; даже в неправильных  может встретиться правильная и нужная для решения теста информация!)  А)  У внешнего 6-угольника все стороны равны 1/6. Внутренний 6-угольник окаймлён треугольниками, которые равны по двум сторонам и углу между ними. Все стороны внутреннего 6-угольника равны 1/7. Следовательно, его периметр равен 6/7.  Б) Шестиугольник строится так, как и 5-угольник в предыд. тесте, только поворачивать надо не на угол  2*ПИ()/5, а на угол  2*ПИ()/6. Отсекание одной третьей части стороны делается по форму­лам деления отрезка в данном отношении; в нашем случае они имеют вид  (2*x1+x2)/3 и (2*y1+ y2)/3.  Эти формулы позволяют найти самую верхнюю вершину внутреннего 6-угольника, а дальше он, как и внешний, строится путём копирования двух формул, указанных в тесте 55. Квадрат большей стороны каждого из окаймляющих 6-угольников равен (по теореме косинусов) (1/18)2 + (2/18)2 – 2*(1/18)*(2/18)*cos(120o) = 0,021605. Извлекая из этого числа корень и деля на (1/6), получим, что длина стороны внутреннего 6-угольника составляет 0,881917 от длины стороны внешнего.  В) Площадь внутреннего 6-угольника составляет 0,881917 от площади внешнего.  Г)  Сумма периметров внутреннего и внешнего 6-угольника является целым числом.  Д)  Сумма периметров внутреннего и внешнего 6-угольника меньше, чем 1,88.

ТЕСТ 56. Построить правильный 7-угольник периметра 1 с центром в точке (0, 0) и с вершиной на оси игреков. (См. рис.7). Какое из утверждений о нём неверно?

ОТВЕТЫ: (указать, какой из ответов НЕВЕРНЫЙ!)  А)  Взяв две вершины и добавив точку, лежащую на границе, можно получить вершины правильного треугольника.  Б)  Выбирая вершины по три, можно получить ровно 21 несовпадающих равнобедренных треугольников.  В) Вы­бирая вершины по четыре, можно получить ровно 21 несовпадающих равнобочных трапеций.  Г)  Выбирая вершины по 4, никогда не удастся получить параллелограмм.  Д)  Ответ В  верен.

ТЕСТ 57. Как построить невыпуклый правильный семиугольник периметра 1? (См. для наглядного представления рис. 8).

ОТВЕТЫ:  А) Так же, как и выпуклый в тесте 56, но исходную вершину поворачивать не на угол 2р/7, а на угол  6р/7.  Б) На рис. 8 изображена фигура, которую нельзя называть правиль­ным многоугольником, так как на этой фигуре стороны могут пересекаться во внутренних точках. Значит, поставленная задача не имеет решения.  В) Так же, как и выпуклый в тесте 56, но исход­ную вершину поворачивать не на угол 2р/7, а на угол  4р/7.  Г) Воспользоваться тем, что одна из сторон на рис. 8 горизонтальна и лежит на высоте (-0,04). Длина этой стороны равна 1/7, так как периметр равен 1. Значит, координаты вершин горизонтальной стороны таковы: А(-1/14; -0,04) и В(1/14; -0,04). Далее надо проводить стороны такой же длины под углом 30о к предыдущей стороне.  Д) И ответ А неверный, и ответ Г неверный. А именно: в ответе А должен быть угол поворота 8р/7. А ответ Г неверен потому, что сумма всех семи сторон на рис. 8 (то есть периметр 7-угольника) явно больше, чем 1.

  Рис. 7. Правильный 7-угольник.

  Рис. 8. Правильный невыпуклый 7-угольник.

ТЕСТ 58. Построен ещё один невыпуклый правильный семиугольник. (См. для наглядного представления рис. 9). Какое утверждение о нём верно?

А) Это не семиугольник, потому что он невыпуклый.  Б) Если приглядеться к рис. 8, то на нём можно увидеть (в изменённом масштабе, но той же самой формы) и фигуру на рис. 7, и фигуру на рис.9.  В) Длина каждой стороны на рис. 7 равна 1/7.  Г) Длина каждой стороны на рис. 9  в точности равна 0,24.  Д) Угол при каждой внешней вершине на рис. 9 равен 70o.

 

  Рис. 9. Ещё один правильный невыпуклый 7-угольник.

ТЕСТ 59. На надгробии математика  изображён правильный (выпуклый) 17-угольник. Почему число 17 удостоилось такой чести, можно посмотреть в интернете <необязательное задание>. Построить правильный 17-угольник (см. рис. 10) и ответить на вопрос: на сколько процентов его площадь отличается от площади описанного вокруг него круга?

<обязательное задание>.

ОТВЕТЫ:  А) 17-угольник строится так же, как и выпуклый правильный 7-угольник; а радиус описанного круга равен  cos(2*пи()/7). Далее задача легко решается.  Б) 17-угольник строится так же, как и любой выпуклый правильный N-угольник; а радиус описанного круга равен 1. Его площадь составляет 98,7% от площади описанного круга.  В)  В отличие от 7-угольника, правильный 17-угольник может быть только выпуклым. Отличие его площади от площади круга радиуса 1 (в процентах) такое же, как и отличие его периметра от длины окружности радиуса 1. Далее задача легко решается.  Г) Длина периметра многоугольника на рис. 10 в точности равна длине описанной около него окружности, так как если разбить окружность на 17 равных дуг, а затем повернуть каждую из дуг выпуклостью внутрь многоугольника, то мы и

 

  Рис. 10. Правильный 17-угольник.

получим рис. 10. Значит, и величина площади круга равна площади фигуры на рис. 10.  Д) Все предыдущие ответы неверны (например, в ответе Б вместо 98,7% должно быть 97,7%). 

ТЕСТ 60. Некий студент решил построить невыпуклый правильный 16-угольник, и у него получилось то, что представлено на рис. 11. Верно ли он его строил, и верный ли получился ответ?

  Рис. 11. Как студент построил 16-угольник.

ОТВЕТЫ:  А) Строил правильно, то есть по обычным формулам вида A63*COS(10*ПИ()/16)-B63*SIN(10*ПИ()/16) и  A63*SIN(10*ПИ()/16) +B63 *COS(10*ПИ()/16). И получил то, что хотел.  Б) Строил правильно, но вместо замкнутого 16-угольника получил четыре отдельных квадрата.  В)  Строил неправильно, но случайно получил правильный ответ.  Г) И строил неправильно, и ответ неправильный: получилось два отдельных невыпуклых 8-угольника!  Д)  Строил правильно, но по рассеянности он построил невыпуклый правильный 17-угольник.

Тема 5. Графики поверхностей

ТЕСТ 61. На рис.12 представлены графики четырёх поверхностей, отвечающим четырём уравнениям: 

1 .  z = x3 – 16/(|x|y2+1) ,

2 .  z = sin (1,5x) sin(2,5y), 

3 .  z = 2x4y + x3y2 – 2x2y3 – x5 – xy4 + 2x, 

4 .  z = 3x4y + x3y2 – 2x2y3 – x5  + 2x, 

построенных в квадратной замкну­той области {-3 <= x <= 3, -3 <= y <= 3} (порядок следования уравнений не совпадает с порядком следования графиков). Графики пронумерованы так: верхние два 1. и 2. , нижние два 3. и 4. Выбрать ответ, устанавливающий правильное соответствие между номерами уравнений и номерами графиков.