Примерный перечень тем (стр. 7 )

ОТВЕТЫ:  А)  Полусторона квадрата равна корень(0,2) = 0,4472. Радиус окружности равен 0,2541. Ответ: 76,76%.  Б)  Полусторона квадрата равна корень(0,3) = 0,5477. Радиус окружности равен 0,2541. Ответ: 76,56%.  В)  Полусторона квадрата равна корень(0,2) = 0,4472. Радиус окружности равен 0,2514. Ответ: 75%.  Г)  Полусторона квадрата равна  0,4444. Радиус окружности равен 0,2444. Ответ: 67,67%.  Д)  Полусторона квадрата равна  0,4472. Радиус окружности равен 0,25. Ответ: 75%. 

ТЕСТ 73. В полукруг радиуса 1 вписан прямоугольник. В криволинейные треугольники слева и справа от этого прямоугольника вписаны окружности. Известно, что для этого прямоу­гольника сумма его площади и площадей обеих окружностей максимальна. Верно ли, что прямо­угольник является квадратом?

ОТВЕТЫ:  А) Верно, так как квадрат – более симметричная фигура, чем прямоугольник.  Б)  Для полукруга радиуса 1 это верно, а для других радиусов – нет.  В) Это неверно, так как максимальная сумма получается тогда, когда прямоугольник сложен из ДВУХ квадратов.  Г) Неверно.

ТЕСТ 74. В полукруг радиуса 1 вписан прямоугольник. В криволинейные треугольники слева и справа от этого прямоугольника вписаны окружности. Известно, что для этого прямоу­гольника сумма его площади и площадей обеих окружностей максимальна. Сколько процентов составляет суммарная площадь прямоугольника и двух окружностей по отношению к площади полукруга радиуса 1?

ОТВЕТЫ: <обозначим основание прямоугольника через  2а, высоту его через b, радиус окружности –  через r>  А) Прямоугольник должен быть квадратом со стороной  0,20,5, максимальная площадь равна 1,25.  Б)  a=  0,461 ,  b=  0,887 ,  r=  0,248 , максимум суммы площадей равен 1,2058.  В) Прямоугольник должен быть составлен из двух одинаковых квадратов (один лежит слева от оси игреков, второй – справа). Максимальная площадь равна 80% от площади полукруга.  Г) В ответе А неточно указана сторона квадрата. На самом деле a=  0,461 ,  b=  0,922 ,  r=  0,25 , максимум равен 1,3 (то есть ответ равен 1,3/1,5708*100%).

  Рис. 22. Схема конфигурации, описанной в тесте 74.

ТЕСТ 75. В полукруг радиуса 1 вписан равнобедренный треугольник, симметричный относительно оси игреков и с вершиной, лежащей в центре основания полукруга. В криволи­нейные треугольники слева и справа от этого треугольника вписаны окружности. Известно, что для этого равнобедренного треугольника сумма его площади и площадей обоих кругов, ограни­ченных окружностями, максимальна. Верно ли, что треугольник обязан быть правильным?

ОТВЕТЫ:  А) Да, он обязан быть правильным.  Б) Нет, он не обязан быть правильным. Но его периметр обязан быть вдвое меньше, чем периметр полукруга.  В)  Нет, он не обязан быть правильным. Но он обязан состоять из двух равнобедренных прямоугольных треугольников.  Г) Либо ответ В, либо ответ Б верен.  Д)  Для решения этого вопроса обозначим через 2д угол при вершине вписанного треугольника и выразим через него радиус каждой из вписанных окружно­стей. Для этого обозначим через 2b угол при вершине правого (и левого) сектора, в которые вписаны окружности. Очевидно, что b = р/4 –. Обозначим через r радиус вписанного в сектор круга. Тогда r = sin(b)/(1+sin(b)). Обозначим через F сумму площадей треугольника и двух вписанных кругов, тогда F = 0,5*sin(2 д) + 2р*r^2. Находя максимум этой функции с помощью ПОИСКА РЕШЕНИЯ, получаем, что Fmax = 1,1562 (и достигается он при д= 20,30o и b= 34,85o).

<Напоминаем, что ответ  Д, несмотря на свой «научный» вид, может быть и неверным!>

ТЕСТ 76. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 разбит на три треугольника лучами, выходя­щими из прямого угла этого тр-ка.  При этом оказалось, что произведение площадей этих новых треугольников максимально. На части какой длины разбита сторона длины 5? Указать верный и наиболее полный ответ.

ОТВЕТЫ:  А) Ну конечно, это части равной длины.  Б) Эти части образуют арифмети­ческую прогрессию (убывающую).  В) Эти части образуют арифметическую прогрессию (возрастающую).  Г)  Ответ А верен.  Д) Все предыдущие ответы неверны.

ТЕСТ 77. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 разбит на три треугольника лучами, выходя­щими из прямого угла этого тр-ка.  При этом оказалось, что сумма кубов площадей трёх треугольников приняла минимально возможное значение. На части какой длины разбита сторона, равная 5?

ОТВЕТЫ:  А)  На части длины  2, 1, 2 (1=длина средней части).  Б)  Минимум  равен 24.  В)  На части длины  1, 2, 2 (1=длина части, отложенной от конца катета, равного 3).  Г)  Мини­мум  равен  42.  Д)  Минимум равен 125, и достигается он в точке  (5/2, 5/2, 0).

ТЕСТ 78. В правильном треугольнике единичной площади в углы вписаны три одинаковых круга радиуса r. Затем в середину треугольника вписан круг с центром в центре треугольника, касающийся каждого из трёх кругов радиуса r. При каком  r  сумма площадей всех четырёх кругов будет минимальна? (Центральному кругу запрещается пересекать контур треугольника).

ОТВЕТЫ:  А) Во-первых, a = 2/3^0,25 (где а – сторона треугольника). Так как 2/3^0,25 = (2/3)^0,25, то  а = 0,9036. Во-вторых, R=2r (где r – радиус трёх первых кругов, R – радиус четвёртого круга).  Б) Максимально возможное значение r равно 1/(корень(корень(3))*(1+корень(3))). Максимально возможное значение R равно 1/(корень(корень(3))*корень(3)). Целевая функция F =  3р r2 + р R2 . Минимум достигается при R = r = 0,25 a/корень(3).  В) Целевая функция F =  3р r2 + р R2 . Минимум достигается при R = r = a/корень(3).  Г) Целевая функция F =  3р r2 + р R2 . Максимум  достигается при R = r, а минимум – при r=0.  Д)  Минимум равен максимуму, так как целевая функция  F постоянна.

ТЕСТ 79. В правильном треугольнике единичной площади в углы вписаны три одинаковых круга радиуса r. Затем в середину треугольника вписан круг с центром в центре треугольника, касающийся каждого из трёх кругов радиуса r.  При каком  r  сумма площадей всех четырёх кругов будет максимальна? (Центральному кругу запрещается пересекать контур треугольника).

ОТВЕТЫ:  А) Так как радиус среднего круга равен R = a/корень(3) – 3r,  то легко взять производную по переменной «r» от целевой функции F (см. предыд. тест) и приравнять её нулю. Получим  r = 0,25 a/корень(3).  Это и будет точка максимума.  Б) Так как целевая функция F является постоянной, то в той же точке, что указана в ответе А, находится и минимум.  В) Так как производная от функции  F  по переменной r обращается в нуль в двух точках, то в одной из них (равной 0,27) получается минимум, а в другой (равной 0,72) получается максимум.  Г) Все предыдущие ответы неверны.

ТЕСТ 80. В правильном треугольнике единичной площади в углы вписаны три одинаковых круга радиуса r. Затем в середину треугольника вписан круг с центром в центре треугольника, касающийся каждого из трёх кругов радиуса r.  (Центральному кругу запрещается пересекать контур треугольника).  В каком случае суммарная площадь четырёх кругов больше: когда r принимает максимально большое значение, то есть все три равных круга соприкасаются (а четвёртый круг вписывается в узкий зазор между ними), – или когда центральный круг максимально велик и касается сторон треугольника (а первые три круга его касаются)?

ОТВЕТЫ:  А)  В обоих случаях суммарные площади четырёх кругов равны.  Б)  Во втором случае суммарная площадь четырёх кругов в 2 раза больше.  В) Когда три равных круга соприка­са­­ются,  r = 1/(корень(корень(3))*(1+корень(3))). Поскольку радиус 4-го круга R = a/корень(3) – 3r,  где «а» - сторона тр-ка, то минимальное значение R равно 0,043026.  Г) Число 0,043026, указанное в ответе В, должно быть заменено на число 0,026043. В остальном ответ В верен. Д) Нет, в ответе В число 0,043026 надо заменить на  рациональную дробь  14342/333333.