, (стр. 5 )

AВС

Пример: Если утюг исправный, то, включенный в сеть, он будет

нагреваться.

Если утюг исправный и включен в сеть, то будет

нагреваться.

д) Экспортация: AВС

A(ВС)

Пример: Если человек честный и дал обещание, то постарается его выполнить.

Если человек честный, то, дав обещание, постарается его выполнить.

Кроме умозаключений логики высказываний, существуют формы мышления, в которых выводы основываются не только на связях между высказываниями, но и на внутренней структуре простых высказываний. В традиционной логике основными видами таких умозаключений считаются непосредственные умозаключения и простой категорический силлогизм.

5.3. Непосредственное умозаключение.

Непосредственным называется умозаключение, в котором вывод производится из единственной посылки, являющейся категорическим суждением.

а) Вывод по логическому квадрату. Так как отношение подчинения предполагает логическое следование частного суждения из соответствующего ему общего, то, если последнее истинно, истинным окажется и первое.

Пример: Всякий студент есть учащийся.

Некоторые студенты суть учащиеся.

б) Превращение. Это такое преобразование исходного суждения, при котором меняется его качество, а предикат берется с отрицанием.

Пример: Некоторые люди добрые.

Некоторые люди не суть недобрые.

б) Обращение. При обращении суждения его субъект и предикат меняются местами. Эта операция имеет ограничения: для частноотрицательных суждений она не проводится, а общеутвердительное суждение должно перейти в частноутвердительное.

Пример: Все киты ‑ млекопитающие.

Некоторые млекопитающие ‑ киты.

Как видно, чтобы получить истину, исходное общее суждение пришлось преобразовать в частное. А вот частноотрицательное суждение вообще лучше не трогать: его обращение лишь случайно может привести к истине. Например, "Некоторые спортсмены не являются штангистами" обратится в "Некоторые штангисты не являются спортсменами", т. е. в очевидную ложь.

5.4. Простой категорический силлогизм.

В простом категорическом силлогизме выделяют три дескриптивных термина, являющихся общими или единичными именами. Их должно быть только три ‑ не больше и не меньше. Термины, входящие в заключение, называются крайними (S и P ‑ субъект и предикат заключения), а термин, входящий в обе посылки, но не входящий в заключение, ‑ средним (М). Посылка, содержащая предикат заключения, ‑ это большая посылка, а содержащая субъект заключения ‑ меньшая. Исследуя структуру силлогизма, большую посылку ставят на первое место, меньшую ‑ на второе.

Силлогизмы бывают правильные и неправильные. Установить правильность конкретного силлогизма можно, проверив, соблюдены ли в нем общие правила силлогизмов:

1) хотя бы одна из посылок должна быть общим суждением;

2) хотя бы одна из посылок должна быть утвердительной;

3) при частной посылке заключение должно быть частным;

4) при отрицательной посылке заключение должно быть отрицательным;

5) при двух утвердительных посылках заключение должно быть утвердительным;

6) средний термин должен быть распределен хотя бы в одной посылке;

7) термин, не распределенный в посылке, не должен быть распределен в заключении.

Рассмотрим конкретный пример:

Древние греки изобрели "греческий огонь".

Спартанцы ‑ древние греки.

Спартанцы изобрели "греческий огонь".

Строгость вывода сразу вызывает сомнения. Докажем, что силлогизм неправильный. Для этого с учетом смысла суждений расставим кванторные слова и выясним распределенность терминов в посылках и заключении:

Некоторые древние греки (М-) изобрели "греческий огонь" (Р+).

Все спартанцы (S+) ‑ древние греки (М-).

Некоторые спартанцы (S-) изобрели "греческий огонь" (Р+).

Теперь осталось проверить, соблюдены ли в этом рассуждении общие правила силлогизма. Соблюдены, но не все. Шестое правило нарушено: средний термин в обеих посылках не распределен.

5.5. Фигуры и модусы силлогизма.

Неправильность силлогистических умозаключений можно устанавливать и по-другому. Для этого нужно уметь определять их фигуры и модусы. Начинают с определения фигуры. Здесь возможны только четыре варианта:

Табл. 5.3. Фигуры простого категорического силлогизма.

Фигура I	Фигура II	Фигура III	Фигура IV
М P S М S P	P M S M S P	М Р М S S P	Р М M S S P

Выяснив фигуру силлогизма, определяют его модус. У приведенного выше неправильного силлогизма первой фигуры модус IАI, т. е. большая посылка и заключение ‑ частноутвердительные суждения, а меньшая посылка ‑ общеутвердительное суждение.

Для каждой из фигур выявлен соответствующий ей набор правильных модусов, имеющих особые имена. В этих именах гласные буквы указывают на виды суждений, из которых состоит силлогизм. Правильные модусы таковы:

Фигура I: Barbara (AAA), Celarent (EAE),Darii (AII), Ferio (EIО).

Фигура II: Camestres (AEE), Baroco (AOO),Cesare (EAE), Festino (EIO).

Фигура III: Darapti (AAI), Felapton (EAO),Disamis (IAI), Bocardo (OAO),

Datisi (AII), Ferison (EIO).

Фигура IV: Bramantip (AAI), Camenes (AEE),Dimaris (IAI), Fesapo (EAO), Fresison (EIO).

Как видно, среди правильных модусов первой фигуры нет модуса IAI, следовательно рассуждение о древних греках неправильное. А вот классический пример правильного силлогизма:

Все люди смертны.

Сократ ‑ человек.

Сократ смертен.

Начиная с заключения, обозначим термины S, P и M:

Все люди (M) смертны (P).

Сократ (S) ‑ человек (M).

Сократ (S) смертен (P).

Это самый ходовой модус Barbara.

5.6. Энтимема.

В реальном процессе рассуждения силлогизм часто высказывается сокращенно, превращаясь в энтимему. Как при необходимости восстановить пропущенное? Возьмем известную фразу "Учение Маркса всесильно, потому что оно верно". Это энтимема. Чтобы развернуть ее в полный силлогизм, выясним, что же пропущено. В наличии, как показывает первичный анализ, ‑ лишь меньшая посылка и заключение:

? | ............................................

А | Учение Маркса (S) верно (M).

 

А | Учение Маркса (S) всесильно (P).

На пустое место надо подобрать суждение, делающее силлогизм правильным. Это может быть только суждение вида А, потому что из всех правильных модусов только модус Barbara имеет общеутвердительное заключение. И вот результат:

А | Всякое верное учение всесильно.

А | Учение Маркса верно.

 

А | Учение Маркса всесильно.

5.7. Система натурального вывода.

Дедуктивные умозаключения иногда бывают очень сложными, представляя собой длинную цепочку вывода. Формализовать процесс рассуждения, придать ему строгий характер исчисления позволяет система натурального вывода (СНВ). Посмотрим, как применяют ее в логике высказываний.

В СНВ имеются правила двух родов. Правила первого рода, или непосредственного вывода, можно представить в виде таблицы:

Табл. 5.4.

Правила первого рода системы натурального вывода.

	Конъюнкция (К)	Дизъюнкция (Д)	Импликация (И)	Эквивалентность (Э)	Отрицание (О)
Введение (В)	А, В АВ	ВД1: А АВ		АВ, ВА АВ	А А
		ВД2: В АВ
Удаление (У)	УК1: АВ А	УД1: АВ,А В	УИ1: АВ, А В	УЭ1: АВ АВ	А А
	УК2: АВ В	УД2: АВ, В А	УИ2: АВ,В А	УЭ2: АВ ВА
Отрица-ние (О)	(АВ) АВ	(АВ) АВ	(АВ) АВ

Правила второго рода обеспечивают доказательство выводимости. Их три:

Табл. 5.5.

Правила второго рода при наличии множества гипотез Г.

Правило дедукции (ПД)	Правило доказательства от противного (ДОП)	Правило сведения к абсурду (СА)
Г, АВ ГАВ	Г, АВВ ГА	Г, АВВ ГА

Если множество гипотез (допущений) Г пусто и имеется единственная гипотеза А или А, правила упрощаются:

Табл. 5.6.

Правила второго рода при отсутствии множества Г.

ПД	ДОП	СА
АВ АВ	АВВ А	АВВ А

5.8. Рекомендации для работы в системе натурального вывода.

При построении вывода очень важно правильно подбирать вспомогательные гипотезы (допущения). Здесь стоит учитывать следующие рекомендации:

1) если главным (самым слабым) знаком формулы, которую нужно обосновать, не является знак конъюнкции или эквивалентности, в качестве допущения можно взять отрицание этой формулы.

Пример:

Пусть требуется обосновать выводимость (pq)(qp), т. е. доказать теорему. Здесь главный знак ‑ вторая связка формулы, знак импликации. Раз так, возьмем в качестве единственной гипотезы допущение истинности отрицания всей формулы. Гипотезы при записи вывода помечаются плюсом:

+1) ((pq)(qp))

Далее применяем правила первого рода:

2) (pq)(qp)) ‑ из 1) по ОИ

3) pq ‑ из 2) по УК1

4) (qp) ‑ из 2) по УК2

5) qp ‑ из 4) по ОИ

6) q ‑ из 5) по УК1

7) p ‑ из 3), 6) по УИ2

8) p ‑ из 5) по УК2

9) pp ‑ из 7), 8) по ВК

Получив противоречие, запишем отдельной строкой доказанность его выводимости из нашего допущения:

1. ((pq)(qp))pp ‑ из 1) ‑ 9) по определению непосредственного вывода.

Осталось закончить доказательство теоремы, применив правило ДОП:

2. (pq)(qp) ‑ из 1 по ДОП.

2) В тех случаях, когда, как в рассмотренном только что примере, главный знак доказываемой формулы ‑ знак импликации, можно действовать и по-другому. Возьмем в качестве гипотезы антецедент (первый член импликации). Если консеквент (второй член импликации) в свою очередь имеет главным знаком знак импликации, в качестве второй гипотезы возьмем антецедент консеквента и т. д. Из полученных гипотез требуется вывести консеквент последнего консеквента. Если это не удается, то в качестве еще одного допущения нужно взять отрицание последнего консеквента и вывести противоречие.

Докажем новым способом уже знакомую нам теорему.

Обосновать: (pq)(qp).

+1) pq

+2) q

3) p ‑ из 1), 2) по УИ2

1. pq, qp ‑ из 1) ‑ 3) по определению вывода.

2. pqqp ‑ из 1 по ПД.

3. (pq)(qp) ‑ из 2 по ПД.

3) Если главным знаком формулы является знак конъюнкции, то сначала доказываются в качестве теорем члены конъюнкции.

4) Когда главный знак формулы ‑ знак эквивалентности, т. е. формула имеет вид АВ, сначала доказывают теоремы АВ и ВА.