Высшая математика (стр. 2 )

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А(–4; 8), В(5; –4), С(10; 6).

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр.

Решение. 1. Расстояние между точками и определяется по формуле:

. (1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

.

2. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид:

. (2)

Подставив в (2) координаты точек:

Для нахождение углового коэффициента прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у: . Отсюда . Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, получим уравнение прямой АС.

Отсюда .

3. Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны и , определяется по формуле:

. (3)

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее , .

,

рад.

4. Так как высота перпендикулярна стороне , то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном угловым коэффициентом направлении, имеет вид:

. (4)

Подставив в (4) координаты точки С и , получим уравнение высоты :

. (5)

Для нахождения длины определим координаты точки , решив систему уравнений (АВ) и ():

откуда , то есть .

Подставив в формулу (1) координаты точек С и , находим:

.

5. Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид:

. (6)

Так как является диметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка . Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

Следовательно, и . Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности:

.

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат изображен треугольник , высота , окружность с центром в точке Е.

Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки и до прямой равно числу . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. Пусть – текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр на прямую (рис. 2). Тогда . По условию задачи . По формуле (1) из предыдущей задачи

.

Тогда

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида , где .

Определим фокусы эллипса и . Для эллипса справедливо равенство , откуда и . То есть и – фокусы эллипса (точки и А совпадают).

Эксцентриситет эллипса .

у

М В

F1 А

 

–х

Рис. 2

Задача 3. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до точки и до прямой равно числу .

Решение. Пусть – произвольная точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр на прямую и определим координаты точки В (рис. 3). Очевидно, что абсцисса точки равна (так как точка В лежит на прямой ), а ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, имеем: .

у

4 В М

–А 6 х

–2

Рис. 3

По условию задачи ; так как

, то получаем:

Полученное уравнение представляет собой гиперболу вида , где .

Задача 4. Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки равно расстоянию до прямой . Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. – текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на прямую (рис. 4). Тогда . Так как , то

или

у У’

2 В

0 3 х

Х’

–4 А

Рис. 4

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке . Для приведения уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду положим , . Тогда в системе координат уравнение параболы принимает следующий вид: . В системе координат строим параболу.

Задача 5. Даны координаты трех точек: А(3; 0; –5), В(6; 2; 1), С(12; –12; 3).

Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .

Решение. 1) Если даны точки и , то вектор через орты выражается следующим образом:

.

Подставляя в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

.

Аналогично

.

Модуль вектора вычисляется по формуле

.

Подставляя в формулу найденные ранее координаты векторов и , находим их модули:

,

.

2) Косинус угла , образованного векторами и , равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

.

Так как скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме попарных произведений одноименных координат, то

.

Тогда

.

3) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

.

По условию задачи искомая плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору . Подставляя , получим:

– искомое уравнение плоскости.

Задача 6. Данную систему уравнений записать в матричной форму и решить ее с помощью обратной матрицы:

Решение. Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; Х – матрицу-столбец неизвестных ; Н – матрицу-столбец свободных членов:

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

. (1)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу . Умножив обе части уравнения (1) на , получим:

. (2)

Но (Е – единичная матрица), а , поэтому

.

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу .

Пусть имеем невырожденную матрицу

. Тогда ,

где – алгебраическое дополнение элемента в определителе матрицы А, которое является произведением на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием -ой строки и -го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения элементов матрицы А.

– следовательно матрица А имеет обратную матрицу .

Тогда .

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Отсюда

Задача 7. Вычислить пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение. а) Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенному выражению вида .

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель . Такое сокращение возможно, так как множитель отличен от нуля при :

б) При выражение дает неопределенность вида . Для ее устранения умножим и разделим это выражение на :

в) Обозначим . Тогда и при . Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела , имеем:

г) При выражение является неопределенностью вида . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при величины и применим формулу второго замечательного предела:

.

Тогда имеем:

.

Пусть . Тогда и при . Переходя к переменной у, получим:

.

СПРАВОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ

Определители

1. Определителем 2-го порядка называется число, вычисляемое по формуле , где аij называется элементом определителя; первый индекс i указывает номер строки, а второй индекс j – номер столбца.

2. Определителем 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле (правило треугольников)

а11 а12 а13

а21 а22 а23 = а11 а22 а33 + а21 а32 а13 + а12 а23 а31 – а31 а22 а13 – а21 а12 а33 –

а31 а32 а33

-а32 а23 а11 .

3. Минором Мij элемента аij определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания элементов i-ой строки и j-го столбца (на пересечении которых находится элемент аij).

4. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij данного определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком (–1) i+j, т. е. Аij = (–1) i+j· Мij.

ê= аi1 Аi1+ аi2 Аi2 + …+ аin Аin = (разложение по элементам i-й строки, i = 1, 2,…, n);

ê= а1j А1 j + а2 j А2 j + …+ аnj Аnj = (разложение по элементам j-го столбца, j= 1,2,..,n).

Свойства определителей

1.  Замена всех строк соответствующими столбцами (транспонирование) не меняет значение определителя.

В дальнейшем строку или столбец будем называть рядом определителя.

2.  Перестановка двух параллельных рядов меняет знак определителя.

3.  Общий множитель всех элементов какого-нибудь ряда можно выносить за знак определителя.

4.  Если все элементы какого-нибудь ряда равны нулю, то определитель равен нулю.

5.  Определитель с двумя пропорциональными (равными) параллельными рядами равен нулю.

6.  Сумма произведений элементов какого-нибудь ряда на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю.

7.  Определитель не изменится, если к элементам какого-нибудь ряда прибавить элементы параллельного ряда, предварительно умноженные на одно и то же число.

Матрицы, операции над ними

1. Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, будем называть элементами матрицы аij, где i – номер строки, j – номер столбца или, в сокращенной записи, А=(аij); i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n.

Виды матриц

1)  Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой (вектором-строкой), а из одного столбца – матрицей-столбцом (вектором-столбцом):

А = (а11; а12, …, а1n) – матрица-строка;

1´ n

b11

В = b21 – матрица-столбец

mx1 …

bm1

2)  Матрица называется квадратной, если число ее строк равно числу столбцов.

3)  Квадратная матрица А называется невырожденной, если 0.

4)  Квадратная матрица называется диагональной, если все ее недиагональные элементы равны нулю.

5)  Диагональная матрица называется единичной, если все диагональные элементы равны единице, и обозначается Е.

6)  Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю, и обозначается (0).

7)  Матрица А называется треугольной (ступенчатой, если m n), если ниже ее главной диагонали все элементы равны нулю.

Операции над матрицами

В = l·Аbij = lаij

1. Произведением матрицы А на число l называется матрица В, все элементы которой умножаются на l, т. е.

где i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n.

С = А+В cij = аij+ bij

2. Суммой двух матриц А и В одинакового размера mxn называется матрица С, элементы которой cij = аij+ bij, т. е.

где i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n;

причем А+В = В+А; (А+В)+С = А+(В+С); l(А+В) = lА+lВ.

3.Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А – В = А + (–1)·В

4.Произведением матрицы А размера (mxk) на матрицу В размера (kxn) называется матрица С размера (mxn), элемент которой

сij = аisbsj , для i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n; т. е.

А·В = С cij = аi1b1j + аi2b2j+…+ аiкbкj m´k k´n m´n

 

Свойства умножения матриц

1)  А·ВВ·А – (в общем случае)

2)  (А·В)·С = А·(В·С) – сочетательный закон.

3)  l(А·В) = (lА) В = А·(lВ)

4)  А·(В+С) = А·В + А·С

А·Е = Е·А = А

5)

где Е – единичная матрица того же размера, что и матрица А.

6) Если С = А·В, то С = А· В , где А и В квадратные матрицы.

5. Целой положительной степенью Аm (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т. е. Аm = А·А·…·А

m раз

6. Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице АТ, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица АТ называется транспонированной относительно матрицы А.

Матрица А -1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица, т. е.

А-1·А = А·А-1 = Е