Высшая математика (стр. 3 )

Векторы на плоскости и в пространстве.

Линейные операции над векторами

1. Вектором называется направленный отрезок прямой и обозначается или , где А – начальная, а В – конечная точки.

2. Длиной (или модулем) (или ) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Виды векторов	Определение	Обозначение
Нулевой	, если А = В
Коллинеарные	Векторы, параллельные одной прямой	||
Одинаково направленные	и коллинеарные и имеют одно и то же направление
Противоположно направленные	и коллинеарны и направлены в противоположные стороны
Компланарные	Векторы , , , параллельные одной плоскости (или лежащие в одной плоскости)	||П (П) ||П (П) ||П (П)
Единичный вектор-орт	Вектор длины, равной 1	, = 1, = 1
Равные	Два вектора называются равными, если они совмещаются параллель-ным переносом
Свободный	Вектор, заданный в пространстве с точностью до параллельного переноса

Линейные операции над векторами

1. Произведением вектора на число l называется вектор = l·, имеющий длину l · , сонаправленный с , если l > 0, и противоположно направленный век-тору , если l < 0.

Противоположный вектор – = (–1)·.

2. Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора , при условии, что начало совмещено с концом (правило треугольника).

= +

 

Построив на векторах и , выходящих из одной точки, параллелограмм, видим, что вектор = + совпадает с диагональю параллелограмма (правило параллелограмма).

Суммой n векторов называется вектор , идущий из начала в конец при условии, что начало последующего вектора совпадает с концом предыдущего (правило многоугольника).

=

Если три вектора не лежат в одной плоскости, то = представляет диагональ параллелепипеда, построенного на векторах .

Разностью двух векторов и называется сумма векторов и (–), противоположного вектору , т. е. –= + (–).

Легко убедиться в том, что в параллелограмме, построенном на векторах = и

=, одна диагональ – вектор ==+, а другая диагональ – вектор ==–.

D С

А В

+ = (а1 + b1; а2 + b2);

– = (а1 – b1; а2 – b2);

l × = (lа1, lа2).

Скалярное произведение векторов

1. Скалярным произведением двух векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними.

Свойства:

1)  (переместительный закон)

2)  распределительный

3) 

закон

4)

5)  .

 

Выражение скалярного произведения через координаты

перемножаемых векторов

Пусть даны векторы .

Вопросы и задачи для зачета

По контрольной работе №1

Вопросы.

1.  Как выглядит 1) общее уравнение прямой; 2) уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой, проходящей через данную точку; 4) уравнение прямой, проходящей через две точки?

2.  Как находится угол между прямыми, как записываются условия параллельности и перпендикулярности прямых?

3.  Как записываются канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы; каков смысл параметров и как изменяется эксцентриситет для каждого вида кривой второго порядка?

4.  Что такое вектор, как находятся его координаты и длина, если даны координаты начала и конца?

5.  Как определяется скалярное произведение векторов и как оно записывается через координаты перемножаемых векторов; как записывается условие параллельности и перпендикулярности векторов?

6.  Что называется матрицей; какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице; что называется рангом матрицы?

7.  Как формулируется теорема Кронекера-Капелли; как записываются формулы Крамера решения невырожденной системы линейных уравнений?

8.  Что называется пределом числовой последовательности; пределом функции? Какая функция называется непрерывной в точке, на интервале?

Для сдачи зачета надо уметь решать следующие задачи:

1.  Для прямой найти угловой коэффициент и построить ее график.

2.  Найти уравнение прямой, проходящей через точку а) перпендикулярно, б) параллельно прямой .

3.  Найти уравнение прямой, проходящей через две точки и .

4.  Построить эллипс и найти координаты фокусов.

5.  Для гиперболы найти эксцентриситет .

6.  Построить параболу и найти координаты ее фокуса.

7.  Построить параболу и найти координаты ее фокуса.

8.  Найти длину вектора , если и .

9.  Найти угол между векторами и .

10.  При каком значении т векторы и перпендикулярны?

11.  Вычислить определитель .

12.  Найти для элемента матрицы .

13.  Решить систему уравнений методом Гаусса

14.Найти: а) ,

б) ,

в) .

Контрольная работа №2

В задачах 81–100 найти производные функций.

81. а) ; б) ;

в) .

82. а) ; б) ;

в) .

83. а) ; б) ;

в) .

84. а) ; б) ;

в) .

85. а) ; б) ;

в) .

86. а) ; б) ;

в) .

87. а) ; б) ;

в) .

88. а) ; б) ;

в) .

89. а) ; б) ;

в) .

90. а) ; б) ;

в) .

91. а) ; б) ;

в) .

92. а) ; б) ;

в) .

93. а) ; б) ;

в) .

94. а) ; б) ;

в) .

95. а) ; б) ;

в) .

96. а) ; б) ;

в) .

97. а) ; б) ;

в) .

98. а) ; б) ;

в) .

99. а) ; б) ;

в) .

100. а) ; б) ;

в) .

В задачах 101–120 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; 3) определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума; 5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) найти асимптоты графика функции.

101. . 102. . 103. .

104. . 105. . 106. .

107. . 108. . 109. .

110. . 111. . 112. .

113. . 114. . 115. .

116. . 117. . 118. .

119. . 120. .

В задачах 131–135 исследовать на экстремум функцию .

131. .

132. .

133. .

134. .

135. .