Высшая математика (стр. 6 )

с постоянными коэффициентами

Корни характеристического уравнения k2+рk+q=0	у¢¢+ру¢+qy=0, (р, q – const.)
const	Общее решение у=С1 ×у1(х)+С2×у2(х)
D > 0 k1 ¹ k2	у1=еkх; у2=екх	у=С1 еkх+С2 еkх
D = 0 k1 = k2	у1=еkх; у2=х×еkх	у=С1 еk х+С2х×еk х
D < 0 k1 = i k2 = i i= ; > 0	у1=е хcosx y2=е хsinx	у= С1 е хcosx+ С2 е хsinx

у¢¢+ру¢+qy=f(x)

Общее решение неоднородного уравнения: у = уодн +

Вид f(х)	Корни уравнения k2+рk+q=0	Вид
f(x)=Pr(x)	ki¹0	=Qr(x)
k1 или k2=0	=x×Qr(x)
k1=k2=0	=x2×Qr(x)
f(x)=Pr(x)×emx	ki¹m	=Qr(x)×emx
k1 или k2=m	=x×Qr(x)×emx
k1=k2=m	=x2×Qr(x)×emx
F(x)=emx(Pr1(x)cosnx+ +Pr2(x)sinnx)	k1,2 ¹ min	=emx(Qr(x)cosnx+Sr(x)sinnx)
k1,2 = min	=emx(Qr(x)cosnx+Sr(x)sinnx)х
Qr(x) и Sr(x) –многочлены степени r с неопределенными коэффициентами, r – наибольшее из r1, r2.

Числовые ряды

Необходимый признак сходимости ряда	Достаточный признак расходимости ряда

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Предельный признак сравнения	Алгебраический признак Коши
	Оба ряда (u) и (v) ведут себя одинаково		l<, сходится l>1, расходится l=1, другой признак
Признак Даламбера	Интегральный признак Коши
	l<, сходится l>1, расходится l=1, другой признак		сход.Þ (u) – сход. расх.Þ(u) – расх.

Признак Лейбница – достаточный признак сходимости

знакочередующегося ряда

Ряд сходится

Ряды, используемые для сравнения

Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле)	Геометрическая прогрессия
		сходится расходится			сходится расходится

Степенные ряды

радиус сходимости	интервал сходимости	необходимо исследовать
Интервал сходимости можно найти из неравенства
Ряд Маклорена
	если
Ряд Тейлора

Функция	Степенной ряд	Область сходимости
		; концы иссл.

Вопросы и задачи для экзамена

по контрольной работе №2 и №3

Вопросы

1. Что называется производной функции одного переменного? Каков ее геометрический, физический и экономический смыслы?

2. Что называется дифференциалом функции одного переменного, каковы его основные свойства?

3. Какая функция называется возрастающей (убывающей)? Каковы необходимый, достаточный признаки возрастания (убывания) функции?

4. Каковы необходимый, достаточные признаки существования экстремума функции?

5. Какая кривая называется выпуклой (вогнутой)? Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой?

6. Каковы необходимый, достаточный признаки существования точки перегиба?

7. Что называется асимптотой кривой? Как найти вертикальные и наклонные асимптоты?

8. В каком случае и как применяется правило Лопиталя при вычислении пределов?

9. Что называется частным и полным приращением функции двух переменных и как определяются ее частные производные?

10.Что называется полным дифференциалом функции двух переменных?

11.Что является необходимым условием, достаточным признаком существования экстремума функций двух переменных?

12.Какая функция называется первообразной и что называется неопределенным интегралом от данной функции?

13.Что называется определенным интегралом от функции на отрезке [а;b] и каков его геометрический смысл?

14.Как записывается формула Ньютона-Лейбница?

15.Дайте определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования и от разрывной функции?

16.Что называется дифференциальным уравнением первого и второго порядка? Что называется общим, частным решением таких уравнений?

17.а) Какова структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

б) Каково характеристическое уравнение и как общее решение зависит от корней характеристического уравнения?

18.Какова структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами? Как находится по виду правой части уравнения?

19. Какой числовой ряд называется сходящимся, что является необходимым условием сходимости числового ряда?

20. В чем состоят достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов (признаки сравнения, признак Даламбера, интегральный признак Коши)?

21. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

22. Дайте определение степенного ряда и области его сходимости Х. Как найти Х?

23. Запишите ряды Маклорена и Тейлора. Как раскладывается в степенной ряд функция ?

Задачи

1.  Найти производные: а) ; б) ;

в) ; г) .

2.  Найти дифференциалы следующих функций: а) ; б) ; в) .

3.  Найти экстремум функции .

4.  Найти точки перегиба кривой .

5.  Найти асимптоты кривой .

6.  Найти по правилу Лопиталя

7.  Найти и , если .

8.  Найти , если .

9.  Исследовать функцию на экстремум .

10.  Найти неопределенные интегралы и результат проверить дифференцированием: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) .

11.  Вычислить определенные интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

12.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой, и сделать чертеж ; .

13.  Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.

1) ; 2) .

14.  Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) .

15.  Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие начальным условиям: 1) ; 2) ;

3); 4).

16.  Найти и записать вид (без нахождения коэффициентов):

1) 2) 3)

4) 5) .

17.  Найти область сходимости степенного ряда:

1) ; 2) ; 3) .

18.  Вычислить с точность до 0,001:

1) ; 2) ; 3) .