Высшая математика (стр. 5 )

=

При этом при вычислении интеграла мы воспользовались заменой переменной . Тогда , откуда

ЗадачаВычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , (рис. 8).

Решение. Площадь фигуры, ограниченной сверху и снизу непрерывными линиями и , пересекающимися в точках с абсциссами и , определяется по формуле

. (1)

Рис. 8

Для нахождения точек пересечения данных линий решаем систему уравнений

откуда . Применяя формулу (1), получим:

ЗадачаНайти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой , прямой и осью Ох.

Решение. Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого решим уравнение или . Легко убедиться, что , . Первому квадранту соответствует корень .

Найдем теперь абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох, решив уравнение , откуда .

Таким образом, можно считать, что тело вращения ограничено при поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси Ох, а при – вращением прямой .

Искомый объем ищем по формуле

.

Для вычисления второго интеграла используем подстановку . Тогда и

.

Отсюда

.

ЗадачаНайти объем тела, образованного вращением фигуры , вокруг оси Ох.

Решение. По формуле (1), учитывая, что получим

(куб. ед.).

Рис. 9

ЗадачаВычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой и прямыми (рис.10).

Решение. По формуле (2), учитывая, что , , получим

(куб. ед.).

ЗадачаВычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, заключенной между линиями , (рис.11).

Решение. Искомый объем определяется разностью , где есть объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу треугольника АОВ, а – объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции ОтАВ. Чтобы найти пределы интегрирования, найдем ординаты точек пересечения данных линий.

(куб. ед.).

Задача 6. Решить уравнения:

а) , б) .

Решение. а) Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем , тогда и данное уравнение преобразуется к виду:

или

.

Так как искомая функция у представлена в виде произведения двух вспомогательных функций и и , то одну из них можно выбрать произвольно. выберем в качестве какой-либо частный интеграл уравнения . Тогда для отыскания функции и получим уравнение .

Решая первое из этих уравнений, найдем ; разделяя переменные и интегрируя, найдем его простейший интеграл:

(положим ).

Потенцируя, находим .

Подставляя во второе уравнение, получим

.

Находим общее решение этого уравнения: . Зная и и , находим искомую функцию у:

.

б) Разделив обе части уравнения на :

,

убеждаемся, что оно линейное. Заменяя функцию у по формуле , имеем ,

или

.

Отсюда, как и в предыдущей задаче, получаем два уравнения с разделяющимися переменными:

1) и 2) .

Решая первое уравнение, находим как простейший частный интеграл этого уравнения:

.

Отсюда, потенцируя, находим

.

Подставляя во второе уравнение и решая его, находим функцию и как общий интеграл этого уравнения:

Следовательно, искомое общее решение данного уравнения

.

Задача 7. а) Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения, то есть

.

Для нахождения составим характеристическое уравнение , имеющее комплексные корни и . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

, (4)

где – комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4) , имеем:

.

Для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция и числа не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение . Если же числа являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение .

Применяя эту теорему при , имеем:

.

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим :

.

Подставив в данное уравнение и , получим:

,

откуда .

Следовательно, и

.

Найдем :

.

Используя начальные условия, получим систему

откуда .

Следовательно, есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

Задача 7. б) Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Находим общее решение однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет два корня: и ; .

В правой части заданного уравнения имеется показательная функция. Так как в данном случае совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде функции .

Таким образом, ; дифференцируя дважды это равенство, получим: ; . Подставим , и в левую часть заданного уравнения и определим коэффициент А:

.

Следовательно, частное решение , общее решение

. (*)

Используя начальные условия, определим значения произвольных постоянных и . Дифференцируя общее решение (*), получим:

. (**)

Подставив в общее решение (*) и , будем иметь .

Подставив в (**) и , будем иметь:

.

Решая совместно систему

Находим: и .

Таким образом, есть то частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям.

Задача 8. Написать первые три члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение. Беря последовательно , запишем данный ряд в виде:

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера

.

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях х, которые удовлетворяют неравенству

, или , или .

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала. При данный ряд принимает вид . Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит, принадлежит области сходимости данного ряда.

При данный ряд принимает вид . Исследуем сходимость этого ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл .

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при исходный ряд сходится. Таким образом, – область сходимости данного ряда.

Задача 9. Вычислить мс точность до 0,001.

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив х в разложении функции на , имеем:

Тогда

.

	Таблица производных
	Производные от функции у=f(x)	Основные правила дифференцирования
1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Таблица основных интегралов
1*.
1.  ; (n¹ –1);
2.
3.
4.  ; (a>0; a¹1)
5.
6.
7.  ; (-a<x<a,a>0);
8.  ; (a¹0)
9.
10.
11.  ; (a¹0)
12.

Основные правила интегрирования

, где

Вычисление площадей плоских фигур

Если криволинейная трапеция ограничена осью Ох, прямыми х=а, х=b (a<b) и непрерывной кривой y=f(x), то ее площадь

или

Если криволинейная трапеция ограничена кривыми и прямыми х=а, х=b

.

Вычисление объемов тел вращения

Объем тела, полученного от вращения вокруг оси Ох фигуры, ограниченной непрерывной кривой y=f(x), прямыми х=а, х=b и осью абсцисс, вычисляется по формуле

.

Объем тела, полученного от вращения вокруг оси Оу фигуры, ограниченной непрерывной кривой х=j(у), прямыми у=с, у=d и осью ординат, вычисляется по формуле

.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Вид записи	Общее решение	Начальные условия
Название	Вид записи	Метод решения
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка,

допускающие понижение порядка

Тип	Уравнение	Решение
I		Интегрируем 2 раза
II	(отсутствует у)	Подстановка
III	(отсутствует х)	Подстановка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка