Высшая математика (стр. 4 )

В задачах 136–140 найти наименьшее и наибольшее значения функции в заданной замкнутой области.

136. в прямоугольнике .

137. в треугольнике, ограниченном осями Ох и Оу и прямой .

138. в прямоугольнике .

139. в области, ограниченной параболой и осью Ох.

140. в квадрате .

В задачах 141–160 найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

141. а) ; б) ; в) .

142. а) ; б) ; в) .

143. а) ; б) ; в) .

144. а) ; б) ; в) .

145. а) ; б) ; в) .

146. а) ; б) ; в) .

147. а) ; б) ; в) .

148. а) ; б) ; в) .

149. а) ; б) ; в) .

150. а) ; б) ; в) .

151. а) ; б) ; в) .

152. а) ; б) ; в) .

153. а) ; б) ; в) .

154. а) ; б) ; в) .

155. а) ; б) ; в) .

156. а) ; б) ; в) .

157. а) ; б) ; в) .

158. а) ; б) ; в) .

159. а) ; б) ; в) .

160. а) ; б) ; в) .

В задачах 161–170 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

161. .

162. .

163. .

164. .

165. .

166. .

167. .

168. .

169. .

170. .

В задачах 171–175 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

171. .

172. .

173. (одна полуволна); .

174. .

175. .

В задачах 176–180 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

176. .

177. .

178.

179. .

180. .

Контрольная работа №3

В задачах 181–200 найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка.

181. . 182. .

183. . 184. .

185. . 186. .

187. . 188. .

189. . 190. .

191. . 192. .

193. . 194. .

195. . 196. .

197. . 198. .

199. . 200. .

В задачах 201–210 найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

201.

202.

203.

204.

205.

206.

207.

208.

209.

210.

В задачах 211–230 дан степенной ряд . При заданных значениях и написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

211. 212.

213. 214.

215. 216.

217. 218.

219. 220.

221. 222.

223. 224.

225. 226.

227. 228.

229. 230.

В задачах 231–250 вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

231. . 232. .

233. . 234. .

235. . 236. .

237. . 238. .

239. . 240. .

241. . 242. .

243. . 244. .

245. . 246. .

247. . 248. .

249. . 250. .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

Решение. а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

б)

в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение разрешить относительно :

Из последнего уравнения находим :

Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме:

1.  Найдем область определения функции.

2.  Исследуем функцию на непрерывность.

3.  Установим, является ли функция четной, нечетной.

4.  Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

5.  Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

6.  Найдем асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему:

1.  Функция определена при всех значениях аргумента х, кроме .

2.  Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т. е. на интервалах и . В точке функция терпит разрыв второго рода.

3.  Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств (тогда – четная функция) или (для нечетной функции) для любых х и –х из области определения функции:

.

Следовательно, и , то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

.

при и – не существует при . Тем самым имеем две критические точки: . Но точка не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 5): , .

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале – положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: . Значит, – точка минимума.

На рис. 5 знаками +, – указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелками – возрастание и убыва­ние исследуемой функции.

5. Для определения точек перегиба графика функции и ин­тервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

.

при и – не существует при . Разобьем числовую ось на три интервала (рис. 6): , . На первом интервале вторая производная отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах , тем самым график является вогнутым. При переходе через точку меняет свой знак, поэтому – абсцисса точки перегиба.

Следовательно, – точка перегиба графика функции.

6. – точка разрыва функции, причем . Поэтому прямая является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты воспользуемся формулами:

.

Тогда

При вычислении последнего предела использовалось правило Лопиталя. Значит прямая есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рис. 7.

ЗадачаИсследовать на экстремум функцию

.

Решение. Находим стационарные точки.

Решение последней системы дает 4 стационарные точки:

.

Находим частные производные второго порядка:

Исследуем каждую стационарную точку.

1) В точке Так как и , то в этой точке функция имеет минимум.

2) В точке Так как и , то в этой точке функция имеет максимум.

3) В точке Так как , то в этой точке нет экстремума.

4) В точке Так как , то в этой точке нет экстремума.

2) Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутом треугольнике АОВ, ограниченном осями координат и прямой (рис. 8).

Решение. Найдем стационарные точки.

Решая систему

находим стационарную точку . Эта точка лежит внутри области. Вычислим значение функции в этой точке.

Граница заданной области состоит из отрезка ОА оси Ох, отрезка ОВ оси Оу и отрезка АВ. Определим наибольшее и наименьшее значение функции на каждом из этих трех участков. На отрезке ОА а . При функция есть функция одной независимой переменной х. Находим наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке .

; – стационарная точка. .

Вычислим значения функции на концах отрезка ОА, то есть в точках О и А. .

На отрезке ОВ и . При имеем . Находим наибольшее и наименьшее значение этой функции от переменной у на отрезке . ; – стационарная точка. .

Вычислим значения функции на концах отрезка ОВ, то есть в точках О и В. . Исследуем теперь отрезок АВ. Уравнение прямой АВ: . Подставив это выражение для у в заданную функцию , получим или . Определим наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке . ; – стационарная точка. .

Значения функции в точках А и В найдены ранее. Сравнивая полученные результаты, заключаем, что наибольшее значение заданная функция в заданной замкнутой области достигает в точке , а наименьшее значение – в стационарной точке . Таким образом,

и .

Задача 4. а) Найти .

Решение. Применяя подстановку , приведем данный интеграл к табличному интегралу 2. Положим , тогда .

.

а1) Найти .

Применяя подстановку , приведем данный интеграл к формуле 10.

Положим , тогда .

.

в1) Найти .

Принимаем и ; тогда и , следовательно .

в2) Найти .

Принимаем и ; тогда и . Применяя формулу интегрирования по частям, будем иметь:

в3) Найти .

Принимаем и ; тогда и , следовательно,

б) Найти интеграл .

Преобразуем знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла, следующим образом:

.

Тогда после подстановки получаем

=