Кинематика точки и твердого тела (стр. 2 )

Итак, .

Направление вектора = известно, найдем его величину:

; ,

так как — хорда, стягивающая дугу ∆S, предполагая ∆S > 0,

; (3)

. (4)

Вывод. При естественном способе задания движения скорость точки определится первой производной от дуговой координаты по времени = . Направлен вектор скорости по касательной, проведенной в данной точке траектории в сторону движения точки.

Примечания.

1. Если производная положительна в данный момент времени, то скорость точки в этот момент времени направлена в сторону возрастания дуговой координаты, если отрицательна — в сторону убывания.

2. Так как движущаяся точка может изменять направление движения по траектории, то путь П, пройденный точкой за промежуток времени (0; t), определяется как сумма длин дуг отдельных участков, на каждом из которых скорость сохраняет свой знак.

Следовательно, П = êS1 – S0ê + êS2 – S1ê +…+ êS – Snê,

где S1, S2,…, Sn — значения дуговой координаты в моменты t1, t2,…, tn, в которые скорость v изменяет свой знак.

3. Точкой, поставленной над какой-либо величиной, будем обозначать производную по времени от этой величины, двумя точками — вторую производную от этой величины. Такое обозначение производных по времени ввел впервые Ньютон.

Пример. Точка движется по окружности радиусом 30 м по закону ОМ = S = 40π cos πt /3 (S — в метрах, t — в секундах). Определить скорость точки в момент t = 2 с. За начало отсчета взята точка О, положительный отсчет дуговых координат — против хода часовой стрелки.

Найдем значение дуговой координаты в момент t1 = 2 с:

ОМ1 = S1 = π 40 cos 2π/3 = 40 π (–1/2) = –20 π.

Определим угол φ1 (рис. 18), соответствующий данной дуге S = φ R: φ = S1/R = 20π/30 = 2π/3, так как S < 0, то отсчитаем ОМ1 по часовой стрелке.

Вычислим скорость. Ее величина в момент t:

; = – 40π sin t;

в момент t1 = 2 с: v1 = |t1 = – 40π sin2π/3 =

= – 40π/2 = – 20π м/с.

Знак минус говорит о том, что точка движется в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.

2. Определение скорости точки при векторном способе задания ее движения

Пусть движение точки М (рис. 19) задано векторным способом: , положение точки в момент t определено радиус-вектором , в момент t = t + ∆t радиус-вектором 1. Тогда — есть приращение радиус-вектора за промежуток времени ∆t. Построим вектор . Так как годографом радиус-вектора является траектория точки М, то производная будет (по определению производной от переменного вектора) новый вектор, направленный по касательной к годографу радиус-вектора , то есть к траектории точки. Теперь найдем модуль вектора :

где ∆S = .

Сравнивая вектор с вектором , определенным выше естественным способом, приходим к выводу о том, что скорость точки при векторном способе находят как производную от радиус-вектора по времени.

Итак, = = ;

= . (5)

3. Определение скорости точки при координатном способе задания ее движения

Пусть движение точки задано координатным способом:

.

Чтобы найти скорость с помощью этих уравнений, воспользуемся разложением радиус-вектора (рис. 20) по неподвижным осям координат и определением скорости при векторном способе задания = .

Так как x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t); = const;

= const; = const; то

.

Мы уже условились производные по времени обозначать точкой над этой величиной, поэтому ; ; , тогда

. (6)

Полученное равенство есть разложение вектора по неподвижным осям, следовательно, коэффициенты при ортах в нем будут не что иное, как проекции вектора на неподвижные оси:

{ vx; vy; vz}; vx = ; vy = ; vz = .

Зная проекции вектора на оси, нетрудно найти величину и направление его:

, (7)

cosα = vx/v =/v; cosβ =/v; cosγ =/v.

Частный случай

Плоские движения точки: ; (8)

cosα =/v; cosβ =/v.

Прямолинейное движение: . (9)

Переход от координатного способа задания движения точки

к естественному

Пусть движение точки задано координатным способом:

.

От координатного способа можно перейти к естественному, т. е. определить траекторию и закон движения точки.

Мы уже знаем, как найти траекторию: нужно из заданных уравнений движения исключить переменную t. Затем найти закон движения. Для этого воспользуемся определением скорости при естественном способе, как dS/dt, а скорость с помощью уравнения движения мы знаем как найти: = v(t).

Зная v, представим ее в виде v = dS/dt, разделим переменные и найдем S.

dS = v(t) dt; ; ;

(10)

— закон движения точки.

Так с помощью уравнений движения нашли траекторию и закон движения точки.

Равномерное движение

Определение. Равномерным движением точки называется такое движение, при котором точка за любых два равных промежутка времени проходит равные отрезки пути.

Так за промежуток времени ∆t1, точка прошла путь ∆S1, за ∆t2 = ∆t1 ® ∆S2 = ∆S1.

Тогда скорость vcр = ∆S1/∆t1 = ∆S2/∆t2 = const; v = vcр = const, но v = , тогда dS = v dt .

Можно найти закон равномерного движения:

(v = const);

S = S0 + v t (11)

— закон равномерного движения.

Построим график равномерного движения. Это прямая линия. Видно (рис. 21), что ∆t1 = ∆t2; ∆S1 = ∆S2.

Контрольные вопросы

№11

Точка движется вдоль траектории согласно закону S = 5 + 6 t + t3 м.

Определить дуговую координату точки, если скорость точки равна 9 м/с.

1.  S = (9+ 5) м.

2.  Нет верного ответа.

3.  S = 12 м.

4.  S = 7 м.

№12

Точка движется вдоль траектории S = t2/2 – 4 t + 6 м.

Вычислить скорость точки к моменту времени, когда она пройдет путь 10,5 м от начального положения.

1.  v = 5 м/с.

2.  v = м/с.

3.  v = – м/с.

4.  v = м/с.

№13

Точка движется вдоль траектории S = 3t – t2/2 – 3 м.

Определить положение и путь, пройденный точкой, когда модуль скорости точки достигает минимальной величины.

1.  S = 1,5 м; П = 4,5 м.

2.  Задача не имеет решения, так как нет такого положения точки на траектории, где бы скорость точки достигала минимальной величины.

3.  S = 1,5 м; П = –1,5 м.

4.  S = 1,5 м; П = 1,5 м.

№14

Oпределить закон движения точки вдоль траектории, если даны уравнения ее движения в декартовых координатах: x = et cos t ; y = et sin t; z = et.

1.  S = (et – 1).

2.  S = (et – 1).

3.  S = et .

4.  S = (et + 1).

№15

Найти на какую длину опускается стержень, опирающийся своим концом о круговой контур радиусом r = 0,3 м кулака, движущегося поступательно со скоростью v = 0,05 м/с (рис. 22). Время опускания стержня t = 3 с. В начальный момент стержень находится в наивысшем положении.

1.  h = 0,26 м.

2.  Нет верного ответа.

3.  h = 0,15 м.

4.  h = 0,04 м.

№16

Определить модуль скорости точки по заданному в векторной форме ее уравнению движения: = sin t3 + cos t3 .

1.  = 0.

2.  = 3t2 м/с.

3.  = 1 м/с.

№17

Начальное положение точки задано координатами x0 = 2 м, y0 = 0. Точка движется так, что проекция вектора скорости точки на ось ОХ постоянна и равна vx = 2 м/с, а проекция на ось ОY меняется по закону vy = (– 4πt/3) ´cos πt2/3.

Определить положение точки в момент времени t = t1 = 2 с.

1.  Нет правильного ответа.

2.  х = 4 м; y = 4 м.

3.  х = 6 м; y = – 4 м.

4.  х = 6 м; y = м.

№18

Движение точки задано уравнениями: x = t м; y = sin t2 м.

Определить величину скорости точки в ее наивысшем положении на траектории.

1.  v = 0.

2.  Задача не имеет решения.

3.  v = 1 м/с.

4.  Нет верного ответа.

№19

Точка М (рис. 23) движется по окружности радиусом 4 м. Положение точки на окружности определяется углом φ = 10t рад.

Найти скорость точки по модулю.

1.  v = 4 м/с.

2.  v = 40 м/с.

3.  v = 60 м/с.

№20

Вычислить расстояние П, пройденное точкой за 3 с, если скорость ее задана уравнением v = êt2 – 3t + 2ê м/с.

1. П = 6 м.

2. П = 1,5 м.

3. П = м.

Тема 3. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ

Движение точки с неизменной по величине и направлению скоростью (прямолинейное равномерное) встречается на практике сравнительно редко. В большинстве случаев скорость точки при движении изменяется.

Определение. Величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости как по модулю, так и по направлению, называется ускорением.

Выясним, что такое ускорение.

Пусть точка, движущаяся по некоторой криволинейной траектории АВ (рис. 24), занимает в момент времени t положение М, в момент t1 = t + ∆t — положение М1. Обозначим скорости точки в эти моменты через и 1.

Перенесем начало вектора 1 в точку М и соединив концы и 1, получим треугольник, достроим его до параллелограмма. Тогда представит собой вектор, равный разности 1 – = ∆.  = ∆ называется приращением вектора скорости за промежуток времени ∆t. Построим теперь новый вектор = ∆/∆t.Назовем его средним ускорением = ∆/∆t =. Вектор отличается от скалярным множителем 1/∆t. Следовательно, его направление совпадает с направлением . Будем уменьшать промежуток ∆t. При ∆t→0 будет стремиться к некоторому определенному пределу, который называется истинным ускорением точки или ускорением в данный момент времени — :

;

. (1)

Определение. Ускорение точки в данный момент времени есть вектор , равный производной от вектора скорости по времени. Вектор ускорения всегда направлен в сторону вогнутости траектории, что следует из геометрического построения его.

Действительно,

.

направлен в сторону вогнутости.

Построим годограф вектора скорости. Известно, что производная от переменного вектора по времени есть новый вектор, направленный по касательной к годографу дифференцируемого вектора. Следовательно, вектор определится в каждый момент как вектор, направленный по касательной к годографу вектора скорости (рис. 25), подобно тому, как вектор направлен по касательной к годографу . Но положение относительно траектории не находят так просто, как . Ни модуль, ни направление из формулы определить непосредственно нельзя. Способы определения теперь и рассмотрим.

В зависимости от того, каким способом задано движение точки, ускорение ее отыскивается по-разному.

Чтобы не нарушать принятого порядка, начнем снова с естественного способа задания движения точки.

1.  Определение ускорения точки при естественном способе

Ускорение точки при естественном способе отыскивается по его проекциям на естественные оси координат. Рассмотрим, что это за система координат, и чем она отличается от неподвижной системы координат.

Естественная система координат

Траектория точки, в общем случае, представляет собой кривую, не лежащую в одной плоскости.

Проведем через точку М (рис. 26), движение которой мы рассматриваем в данный момент, касательную к траектории Мτ и будем определять положительное направление касательной единичным вектором = 1, направленным по касательной в сторону возрастания дуговой координаты S. Вектор — единичный орт касательной. Возьмем на траектории вторую точку М′, близкую к точке М, и построим единичный вектор касательной . Перенесем вектор параллельно самому себе в точку М и проведем плоскость через два пересекающихся вектора и . Затем точку М′ будем неограниченно приближать к точке М.

Тогда плоскость, определяемая векторами и , будет поворачиваться около прямой τ0, стремясь к некоторому предельному положению. Это предельное положение плоскости М определяет соприкасающуюся плоскость траектории в точке М. Далее проведем через точку М плоскость, перпендикулярную касательной ; эта плоскость называется нормальной плоскостью траектории в точке М. Всякая прямая, проведенная через точку М в нормальной плоскости, будет перпендикулярна М и называется нормалью. Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью траектории в точке М. За положительное направление главной нормали принимается направление от точки М в сторону вогнутости траектории. Единичный вектор (орт) главной нормали обозначим .

Нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Единичный вектор бинормали (орт) , его направление выбирается так, чтобы ; ; образовали правую систему осей, т. е. = ´.

Плоскость, проходящая через и , называется спрямляющей плоскостью.

Полученные три плоскости — соприкасающаяся, нормальная, спрямляющая — образуют так называемый естественный трехгранник, а три оси, направленные по ребрам этого трехгранника, — касательная, нормальная, бинормальная, — имеющие начало в точке М, и называются естественными осями. Эта новая система координатных осей будет двигаться по траектории вместе с точкой М, поэтому положение этой системы в пространстве будет меняться с течением времени. Этим новая система отличается от прежней неподвижной системы отсчета.

Введем еще одно новое понятие — кривизна кривой, радиус кривизны.

Пусть мы имеем некоторую кривую. Возьмем на ней две близкие точки А и В (рис. 27), длину дуги обозначим через ∆S. Проведем в точках А и В касательные к данной кривой. Угол, обозначенный этими касательными, называется углом смежности, измеряется он в радианах, обозначается ∆φ. Отношение ∆φ/∆S называется средней кривизной кривой на участке АВ. Будем приближать В к А. Предел, к которому стремится средняя кривизна при ∆S → 0, называется кривизной данной кривой в точке A: ;

. (2)

Кривизна кривой не постоянна и меняется от точки к точке. Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны и обозначается через ρ:

ρ = 1/ k = dS/dj;

ρ = 1/k. (3)

Если отложить на главной нормали к траектории от точки в сторону вогнутости отрезок, равный радиусу кривизны траектории в данной точке, то можно определить центр кривизны траектории.

Например, если траекторией точки является окружность радиусом R (рис. 28), отложив на ней две точки M, M1 и проведя в них касательные, найдем угол смежности ∆φ, который будет равен углу MOM1, но = ∆S и ∆S = R ∆φ и, следовательно, ρ = R, т. к. . Таким образом, окружность — это кривая постоянной кривизны, радиус кривизны ее равен радиусу самой окружности, и если от точки M отложить в сторону вогнутости отрезок, равный ρ (MO = ρ), то найдем центр кривизны этой кривой, т. е. центр окружности — точку O.

Для прямой линии ∆φ = 0 и k = 0;
ρ = 1/ k = ∞.

Теперь найдем ускорение. Для этого рассмотрим движение точки M. Проведем с началом в точке M (рис. 29) оси естественного трехгранника. Нужно найти проекции ускорения точки на эти оси. Представим вектор скорости в виде произведения его модуля v и единичного вектора : = v´.

Вектор ā есть d/dt, поэтому возьмем от производную по времени:

.

Найдем d/dt по определению производной от единичного вектора, это будет вектор, перпендикулярный вектору и равный dφ/dt, где dφ — угол, образованный и ′, т. е. угол смежности. Он же будет углом поворота единичного вектора за время ∆t. Следовательно,

,

где dS = . Этот вектор будет направлен по главной нормали, потому что он должен быть перпендикулярным и лежать в соприкасающейся плоскости. О том, что d/dt находится в соприкасающейся плоскости видно из уравнения

по определению производной от переменного вектора, но приращение за ∆t: ∆ = ′ – лежит в пределе в соприкасающейся плоскости, значит d/dt лежит в ней же.

Подставив значение d/dt, получим

. (4)

Это есть разложение вектора ускорения по подвижным осям и, следовательно, коэффициенты при ортах — ; ; определяют проекции ускорения на эти оси: aτ = dv/dt; an = v2/ρ; ab = 0.

Зная проекции вектора на оси, найдем величину и направление его:

; (5)

tg ψ = ½aτ½/an. (6)

Вектор ā можно представить как сумму двух векторов: (d/dt) = āτ; (v2/ρ) = ān, называемых касательным и нормальным ускорениями (рис. 30): āτ направлен по касательной, об этом говорит и равен dv/dt; ān направлен по нормали, об этом говорит и равен v2/ρ, так как āτ перпендикулярен ān, ā = āτ + ān. По модулю