Кинематика точки и твердого тела (стр. 3 )

, приходим к тому же результату. Оба вектора āτ, ān и их сумма ā лежат в соприкасающейся плоскости.

Вывод. Итак, если задано движение точки естественным способом, то ускорение ее отыскиваем по проекциям на естественные оси координат:

aτ = dv/dt; но v = dS /dt = ; aτ = d2S /dt2 = .

Зная скорость и радиус кривизны (траектория и закон движения вам известны), находим an = v2/ρ и ; tg ψ = ½aτ½/an.

Теперь перейдем к векторному способу.

2.  Определение ускорения точки при векторном способе

Если известны , и ā = d/dt , то учитывая, что = d/ dt, получаем

ā = d2r/dt2 = .

Вывод. Вектор ускорения определяется второй производной от радиус-вектора по времени. Эту формулу мы будем применять при доказательстве теорем кинематики и динамики. Пользуясь ею, определим ускорение точки при координатном способе.

3.  Ускорение точки при координатном способе

Ускорение при координатном способе определяем по его проекциям на неподвижные оси координат.

Пусть движение точки задано координатным способом:

x = f1(t); y= f2(t); z= f3(t).

Запишем разложение вектора по неподвижным осям: и дважды продифференцируем это равенство:

; ;

. (7)

Это равенство есть ни что иное, как разложение вектора ускорения по неподвижным осям координат. Коэффициенты при ортах ; ; определяют проекции на неподвижные оси: ax = ; ay = ; az = .

Зная проекции вектора на оси, найдем его величину и направление:

; (8)

cos α = ax /a =/a; cos β =/a; cos γ =/a.

При плоском движении точки ; (9)

cos α =/a; cos β =/a.

При прямолинейном a = ax = . (10)

Вывод. При координатном способе движения точки ускорение ее отыскиваем по его проекциям на неподвижные оси координат. Эти проекции равны вторым производным от координат движущейся точки по времени.

Нахождение an и aτ с помощью уравнений движения

Пусть нам даны уравнения движения точки:

x = f1(t); y= f2(t); z= f3(t).

Нужно найти an и aτ этой точки: an = v2/ρ; aτ = dv / dt.

Это соответственно касательное и нормальное ускорения точки.

Возьмем скорость точки по проекциям на неподвижные оси:

;

тогда . (11)

Теперь определим полное ускорение этой точки: и, зная, что , найдем ,

. (12)

Теперь можно найти ρ = v2/an.

Частные случаи движения точки

1. Ускоренное движение. Это движение, при котором абсолютная величина скорости с течением времени возрастает.

Проекции на касательную ось (рис. 31) ускорения и скорости при этом движении имеют одинаковый знак: aτ > 0; vτ > 0; (или aτ < 0; vτ < 0); ā = āτ + ān; угол ψ откладывается по движению, aτ направлен в сторону вектора скорости .

2. Замедленное движение. Это движение, при котором абсолютная величина скорости с течением времени убывает.

Проекции на касательную скорости и ускорения имеют разные знаки:

aτ < 0; vτ > 0 (aτ > 0; vτ < 0); āτ направлен в сторону, противоположную скорости (рис. 32), ā = āτ + ān; угол ψ откладывается против движения.

3. Равномерное движение. Это движение, при котором абсолютная величина скорости не изменяется (рис. 33).

aτ = 0, ½½ = const; ā = ān; ψ = 0.

4. Прямолинейное движение точки.

ρ = ∞; an = 0; a = aτ = dv/dt; при v > 0:

а) a > 0 — ускоренное движение (или v < 0; a < 0) (рис. 34);

в) a < 0 — замедленное движение (или v < 0; a > 0) (рис. 35);

с) a = 0 — равномерное, = const (рис. 36).

Вывод. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по модулю, нормальное — по направлению.

5. Равнопеременное движение. Это движение, при котором aτ = const. Оно может быть равноускоренным, если aτ > 0 (при v > 0), и равнозамедленным, если

aτ < 0 (при v > 0).

Найдем закон этого движения. Так как aτ = dv / dt, то

; v = v0 + aτ t;

v = v0 ± aτ t (13)

— закон изменения скорости.

Но v= dS /dt; dS /dt = v0 ± aτ t, то ; S – S0 = v0 t ± ;

S = S0 + v0 t ± (14)

— закон равнопеременного движения точки, или при S0 = 0

S = v0 t ± = (2 v0 ± aτ t) = [v0 + (v0 ± aτ t)] = ;

S = (15)

— другой вид этого закона.

Контрольные вопросы

№21

Движение точки задано уравнениями: x = 10t ; y = 5t,

(x, y — в метрах, t — в секундах).

Определить расстояние, пройденное точкой за 5 с.

1.  S = a t2/ 2 = 25´3/2 = 37,5 м.

2.  S = vt = 15´5 = 75 м.

3.  Оба ответа не верны.

№22

Точка М движется по кривой по закону S = 6t2 м. Найти тот момент времени, когда v = 12 м/с составляет с ускорением угол α =30°, и ускорение ее в этот момент равно:

1) a = 12 м/с2; t = 1 с.

2)  a = 8 м/с2, t = 1 с.

3)  a = 8 м/с2; t = с.

№23

Точка М движется по окружности радиусом 4 м. Положение точки на окружности определяется углом φ = 10t рад (рис. 37).

Найти ускорение точки.

1.  a = aτ = d2S /dt2.

2.  .

3.  a = v2/R.

4.  .

Укажите неверный ответ.

№24

Точка М движется по окружности радиусом r. Положение точки определяется углом φ = 2t. На каком чертеже ускорение этой точки указано верно (рис. 38–40).

№25

Точка движется ускоренно по прямой. Чему равно ее ускорение?

1.  a = v2/ρ.

2.  a = dv/dt.

3.  a = d2S/dt2.

4.  ā = d/dt.

Укажите неверный ответ.

№26

Точка движется по криволинейной траектории ускоренно. Чему равно ее ускорение?

1. a = dv/dt.

2. ā = d/dt.

3. a = v2/ρ.

4. a = d2S/dt2.

№27

Точка движется по закону S = a sin2 t.

Каким будет движение точки в момент t = π/3 с?

1.  Ускоренным.

2.  Равномерным.

3.  Замедленным.

№28

Точка М движется по окружности радиусом 1 м по закону S = t2 + 1 м.

Чему равно ее ускорение в момент t1 = 0,5 с?

1.  a = 2 м/с2.

2.  a = 1 м/с2.

3.  a = м/с2.

№29

Точка движется из состояния покоя с aτ = d = const по окружности радиусом r. В какой момент ее нормальное ускорение будет равно касательному?

1.  t = .

2.  t = .

3.  t = d r.

№30

Как движется точка, если касательное ускорение ее всегда равно нулю, а нормальное по модулю постоянно (a ≠ 0)?

1.  По прямой.

2.  По окружности ускоренно.

3.  По окружности равномерно.

№31

Движение точки задано уравнениями: x = a cos t2 c; y = a sin t2 c; z = a t2 c.

Определить характер движения точки.

1.  Ускоренно.

2.  Равноускоренно.

3.  Замедленно.

4.  Равномерно.

№32

Движение точки задано уравнениями:

Как направлен ā? Чему равен он?

1.  a = dv /dt; где .

2.  ā || OX; где .

3.  ; где .

№33

Какой угол составляет вектор ускорения с вектором скорости при замедленном криволинейном движении?

1.  Тупой.

2.  Острый.

3.  Прямой.

№34

Точка М движется по кривой по закону S = 2t3 м. Найти ее ускорение в тот момент, когда угол между скоростью и ускорением равен 45°, а ρ = 24 м (кроме t = 0).

1.  a = 24 м/с2.

2.  a = 24 м/с2.

3.  a = 12t м/с2.

№35

Движение точки задано уравнениями: x = t + cos t (м); y = sin t (м).

Определить скорость точки в тот момент, когда радиус кривизны траектории достигает минимальной величины.

1.  v= м/с.

2.  v = 2 м/с.

3.  v = 0.

4.  Нет верного ответа.

Тема 4. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Простейшие виды движения твердого тела

Раздел «Простейшие виды движения твердого тела» рассчитан на 4 академических часа самостоятельной работы студентов.

После изучения раздела студент должен:

знать основную задачу кинематики твердого тела, простейшие виды движения твердого тела и свойства этих движений, кинематические характеристики тела и его отдельных точек;

уметь практически применять знания при решении задач, вычислять скорость и ускорение любой точки тела в любой момент времени, находить закон движения тела и кинематические характеристики всего тела;

помнить формулы для отыскания закона движения тела, кинематических характеристик тела и точек его.

Изучив кинематику точки, перейдем к изучению кинематики твердого тела.

Простейшими движениями твердого тела являются поступательное и вращательное.

Изучим свойства поступательного и вращательного движений твердого тела.

Предварительно сделаем несколько общих замечаний, относящихся ко всей теме «Кинематика твердого тела». В кинематике, как и в статике, все тела рассматривают как абсолютно твердые, т. е. такие, расстояние между двумя точками которых при всех условиях остаются неизменными.

Основные задачи кинематики твердого тела:

1)  определение положения самого тела и его кинематических характеристик в любой момент времени в выбранной системе отсчета;

2)  изучение движения и характеристик каждой точки тела.

Поступательное движение твердого тела

Определение. Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором всякая прямая, проведенная в теле, во все время движения остается параллельной самой себе.

Например, движение кузова автомобиля на прямолинейном участке пути, движение поршня двигателя.

Однако, неверно думать, что при поступательном движении все точки тела движутся только по прямым. Траекториями точек тела при его поступательном движении могут быть какие угодно кривые. Например, рассмотрим четырехзвенный механизм, состоящий из двух кривошипов АВ и СД, равной длины и спарника ВС, длина которого равна АД (рис. 41). При всех положениях механизма фигура АВСД остается параллелограммом, и, следовательно, ВС || АД. Значит движение ВС — поступательное, хотя точки В и С его (а следовательно, и все точки) движутся по окружностям.

Примечание. Термин «поступательное движение» неприменим к отдельной точке, понятие «движется, оставаясь параллельно само себе» не применимо к точке, не имеющей размеров.

Основные свойства поступательного движения выражаются теоремой о поступательном перемещении твердого тела. При поступательном движении твердого тела все точки его описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент равные скорости и ускорения.

Пусть мы имеем твердое тело, совершающее поступательное движение относительно системы отсчета OXYZ.

Возьмем в теле две произвольные точки A и B. Положение этих точек в выбранной системе отсчета определится и . Видно (рис. 42), что

= + АВ. (1)

При движении тела вектор АВ не изменяется ни по модулю, ни по направлению. По модулю он не изменится потому, что тело абсолютно твердое, а по направлению не изменяется потому, что тело движется поступательно и прямая АВ, по определению этого движения, перемещаясь, остается параллельной самой себе. Из равенства (1) видно, что вектор отличается в каждый момент от на постоянный вектор , следовательно, положение точки В в любой момент можно получить, сместив точку А на величину, равную постоянному вектору , и траектория точки В может быть получена путем параллельного переноса траектории точки А на вектор .

Таким образом, мы доказали, что траектории точек А и В одинаковы. Теперь докажем, что в каждый момент эти точки имеют равные скорости и ускорения. Для этого равенство (1) продифференцируем по времени:

d/ dt = d / dt + d()/dt, но = const и d()/dt = 0,

а d/dt = и d/dt = (из кинематики точки), следовательно,

= . (2)

Дифференцируя еще раз, получаем

d/dt = d/dt, но d/ dt = āB, а d/dt = āA (это известно из кинематики точки),

āB = āA. (3)

Теорема доказана. Так как точки A и B выбраны произвольно, то доказанная теорема будет справедлива для любых точек тела.

Следствие. Поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-либо одной его точки, например, точки A. Уравнение движения этой точки называются уравнениями поступательного движения тела:

xA = f1(t); yA = f2(t); zA = f3(t) или . (4)

Обычно за точку, определяющую поступательное движение тела, принимают его центр тяжести.

Вывод. Основная задача кинематики твердого тела при поступательном движении сводится к основной задаче кинематики точки. Траекторию, скорость и ускорение этой точки, отыскиваемых по уравнениям (4) и общих для всех точек тела, называют траекторией, скоростью и ускорением поступательного движения тела. Векторы скорости и ускорения тела можно изобразить приложенными в любой точке тела. Это свободные векторы.

Вращательное движение твердого тела и его кинематические

характеристики

Определение. Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором две его точки остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти две точки, тоже неподвижна и называется осью вращения. Примерами такого движения являются: вращение двери вокруг своей оси, вращение ротора динамо-машины.

Основная задача кинематики твердого тела прежде всего заключается в том, чтобы определить:

1)  положение тела в выбранной системе отсчета;

2)  кинематические характеристики тела.

1.  Определение положения тела

Итак, пусть мы имеем тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z (рис. 43), являющейся осью вращения. Проведем две плоскости через ось вращения: плоскость I — неподвижную и плоскость II — подвижную, связанную с телом и вращающуюся вместе с ним. Тогда положение плоскости II относительно неподвижной плоскости I (с ней и связана наша система отсчета) будет определено двухгранным углом между этими плоскостями — φ. Этот угол называется углом поворота, измеряется в радианах и отсчитывается от неподвижной плоскости против часовой стрелки. При вращении тела вокруг оси z этот угол будет меняться с течением времени по определенному закону в зависимости от характера вращательного движения, т. е.

φ = φ (t). (5)

Уравнение (5) выражает закон вращательного движения. Если это уравнение задано, можно вычислить угол φ для любого момента времени, а следовательно, определить положение подвижной плоскости относительно неподвижной в этот момент. Но так как подвижная плоскость связана с данным телом, то значением указанного угла будет определяться и положение самого вращающегося тела.

Вывод. Положение вращающегося твердого тела в любой момент времени вполне определится его углом поворота.

Примечание. Иногда угол поворота тела (особенно в технике) выражают числом оборотов — N, тогда угол φ в радианах, соответствующий N оборотам, равен

φ = 2πN. (6)

2. Кинематические характеристики вращающегося тела

Кинематическими характеристиками тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, являются угловая скорость и угловое ускорение.

Угловая скорость

Угол φ с течением времени, в зависимости от характера вращения, может изменяться быстро или медленно. Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ, и называется угловой скоростью. Пусть за некоторый промежуток времени ∆t тело повернулось на угол ∆φ. Отношение ∆φ и ∆t получило название средней угловой скорости:

ωср = ∆φ/∆t.

Угловой скоростью тела в данный момент времени t называется величина, к которой стремится значение ωср, когда промежуток времени ∆t стремится к нулю:

; . (7)

Вывод. Угловая скорость тела в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота по времени.

Знак угловой скорости

Угловая скорость может быть и положительной и отрицательной величиной. Знак ее зависит от знака ∆φ. Если тело вращается в сторону увеличения угла поворота φ (против часовой стрелки), то ∆φ > 0 и ω > 0, если в сторону уменьшения (по часовой стрелке) ∆φ < 0 и ω < 0.

Размерность угловой скорости

За единицу измерения угловой скорости принимается угловая скорость такого вращения, при котором тело за 1 с поворачивается на 1 рад; ω = 1 с–1.

В технической системе единиц угловая скорость определяется числом оборотов в минуту (n об/мин).

Равномерное вращение тела

Определение. Равномерным вращательным движением тела называется вращение с постоянной угловой скоростью ω = const.

Найдем закон такого вращения. Для этого воспользуемся определением угловой скорости:

ω = dφ / dt; dφ = ω dt; при ω = const; ;

φ = φ0 + ωt (8)

— закон равномерного вращения или, при φ0 =0,

φ = ωt. (9)

Воспользуемся этим законом и найдем зависимость между n об/мин и ω с–1 по уравнению (9): ω = φ / t, угол поворота φ за один оборот равен 2π рад; тело совершило n оборотов и φ = 2π n, этот поворот делается за 1 мин = 60 с. Следовательно, ω = 2πn/60 = πn/30,

ω = πn/

Формула (10) позволит перевести угловую скорость из оборотов в минуту в радианы в секунду.

Угловое ускорение

Вращение с постоянной угловой скоростью на практике встречается редко. В большинстве случаев угловая скорость с течением времени меняется. Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, и называется угловым ускорением.

Пусть за промежуток времени ∆t угловая скорость изменилась на ∆ω. Отношение ∆ω/∆t называется средним угловым ускорением тела за промежуток времени. Будем обозначать его через εср:

εср = ∆ω/∆t.

Уменьшим ∆t и перейдем к пределу. Предел этого отношения, когда ∆t → 0, называют угловым ускорением тела в данный момент времени или истинным ускорением — ε:

или, учитывая ω = , получим ε = .

Вывод. Угловое ускорение тела в данный момент равно первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота тела по времени:

ε = = . (11)

Размерность углового ускорения

Единицей углового ускорения является 1 с–2, размерность [ε] = [ω]/ [t], в технической системе 1 об/мин2.

Знак углового ускорения

Угловое ускорение тела, как и угловая скорость, является алгебраической величиной. Знак углового ускорения зависит как от направления вращения тела, так и от характера изменения угловой скорости (возрастание или уменьшение ее). Если тело вращается ускоренно в положительном направлении, то

dω > 0 и ε = dω/dt > 0,

в отрицательном направлении dω < 0, ε < 0,

при замедленном вращении тела в положительном направлении dω < 0 и ε < 0,

а в отрицательном dω > 0 и ε > 0.

Следовательно, при ускоренном вращении в любом направлении ω и ε имеют одинаковые знаки, при замедленном — разные.

Равнопеременное вращение тела

Равнопеременным называется такое вращение тела, при котором угловое ускорение остается постоянным:

ε= dω/dt = const.

Если ε > 0, то движение тела равноускоренное, ε < 0 — равнозамедленное (ω > 0).

Найдем уравнение этого движения, считая, что в момент

t = 0; φ = φ0; ω = ω0; ω > 0.

При ε = dω/dt = const ω = ω0 ± εt (12)

— закон изменения угловой скорости, т. е. при равнопеременном вращении угловая скорость тела за одинаковые промежутки времени изменяется на одну и ту же величину.

По определению ω = dφ/dt; dφ/dt = ω0 ± εt.

Интегрируя, находим φ – φ0 = ω0 t± εt2/2;

φ = φ0 + ω0 t± εt2/2 (13)

— закон равнопеременного вращения.

При ε > 0 — равноускоренное вращение.

При ε < 0 — равнозамедленное вращение, или же при φ0 = 0

φ = ω0 t± εt2/2 = t (2ω0 ± εt)/2 = t [ω0 + (ω0 ± εt)]/2 = (ω0 + ω)t/2

φ = (ω0 + ω)t/2 (14)

— второй вид этого закона.

Примечание. Все формулы, полученные в кинематике точки при равноускоренном движении точки, переходят в формулы для равномерного и равнопеременного вращения тела, если в них вместо S, v и aτ подставить соответственно φ, ω и ε.

Контрольные вопросы

№36

Чем определяется положение поступательно движущегося тела?

1.  Положением одной какой-либо его точки.

2.  Положением двух его точек.

3.  Углом поворота.

№37

Как пишется закон равномерного вращения тела?

1. φ = ω t + φ0.

2.  φ = εt2/2.

3.  φ = ω0 + εt.

4.  φ = ω0 t± εt2/2.

№38

Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило скорость с 400 до 200 об/мин за 30 с. Определить число оборотов, совершенное колесом за это время.

1.  N = 50 об.

2.  N = 150 об.

3.  N = 250 об.

№39

Маховик вращается со скоростью 600 об/мин. Вращаясь равнозамедленно, он остановился, сделав 50 оборотов. Найти время движения.

1.  t = 10 с.

2.  t = 5 с.

3.  t = 10/3 с.

№40

В период разгона из состояния покоя угловое ускорение ротора турбины за время t1 равномерно убывает от начального значения ε0 до нуля, после чего ротор вращается равномерно.

Определить максимальную угловую скорость ротора.

1. ωmах = ε0 t1.

2. ωmах = ε0 t1/2.

3. Нет верного ответа.

№41

В период разгона маховик вращается вокруг своей оси по закону φ = 8π t3. Определить угловую скорость и угловое ускорение маховика в тот момент, когда он сделает 4 оборота.

1.  ω = 24π с–1; ε = 0.

2.  ω = 4π/30 с–1; ε = 0.

3.  ω = 8π с–1; ε = 8π с–2.

4.  ω = 24π с–1; ε = 48π с–1.

№42

При пуске в ход гирокомпаса угловое ускорение его ротора возрастает от нуля пропорционально времени. По прошествии 5 мин ротор вращается со скоростьюоб/мин. Сколько оборотов сделал ротор за это время?

1. N =об.