Кинематика точки и твердого тела (стр. 4 )

2.  N =об.

3.  N =об.

№43

По заданному уравнению вращения тела φ = t2 – 3t определить угловую скорость, угловое ускорение и характер вращения тела в момент t1 = 1 с.

1.  ω = 1 с–1; ε = – 2 с–2 — замедленное.

2.  ω = – 1 с–1; ε = – 2 с–2 — ускоренное.

3.  ω = 1 с–1; ε = + 2 с–2 — равноускоренное.

4.  ω = – 1 с–1; ε = + 2 с–2 — равнозамедленное.

№44

Основная задача кинематики твердого тела:

1)  определить положение тела в выбранной системе отсчета;

2)  вычислить кинематические характеристики тела;

3)  определить положение тела в выбранной системе отсчета, кинематические характеристики всего тела, а затем каждой его точки.

№45

Простейшими видами движения твердого тела являются:

1)  поступательное и вращательное движения;

2)  плоскопараллельное движение.

Тема 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА И ИХ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Изучив движение всего тела в целом и установив кинематические характеристики его, перейдем к изучению движения и кинематических характеристик каждой точки тела.

Рассмотрим движение какой-либо точки М вращающегося тела (рис. 44). Эта точка при вращении тела будет описывать окружность в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и с центром О, лежащим на оси вращения. Расстояние от точки до оси вращения называется радиусом вращения. Обозначим его через R (OM = R). Выберем за начало отсчета дуговых координат точку O1, лежащую в плоскости I, а за положительное направление — направление вращения тела. Тогда

S = = R φ.

Найдем скорость точки

vM = = R = R ω.

Называется эта скорость линейной скоростью точки. Изобразим траекторию точки М в плоскости нашего листа. Получим такое изображение (рис. 45), где вектор направлен по касательной к траектории точки М.

Вывод. Линейная скорость точки пропорциональна радиусу вращения и направлена перпендикулярно ему. Для различных точек тела при вращательном движении скорости будут различны. Распределение скоростей таких точек можно увидеть на рис. 46 (для точек прямой MM1).

Определим ускорение точки М (линейное). Так как точка М движется по кривой, то ускорение ее будет складываться из касательного и нормального:

ā = āτ + ān.

Изобразим траекторию точки М и расставим эти векторы (рис. 47). Вектор āτ направлен, как и , перпендикулярно радиусу вращения, а ān — по радиусу к оси вращения. ā cоставляет с радиусом угол α, tg α = |aτ|/an. Найдем величину этих векторов (из кинематики точки):

an = v2/ρ; aτ = dv/dt; .

Подставив в эти формулы v = R ω, получим aτ = d(R ω)/dt = R (dω/dt) = R ε;

an = v2/R = R2ω2/R = R ω2; ;

tg α = |ε|/ω2;

aτ = R ε; (12)

an = R ω2; (13)

. (14)

Вывод. Линейное ускорение точки пропорционально радиусу вращения и составляет с ним угол α, tg α = |ε|/ω2.

Для различных точек вращающегося тела ускорения различны. Распределение ускорений показано на рис. 48 (для точек прямой MM1).

Угловая скорость и угловое ускорение тела как векторные величины

Доказательство некоторых теорем кинематики и динамики, если рассматривать угловую скорость и угловое ускорение как векторные величины, можно упростить. Вектор (рис. 49), изображающий угловую скорость, строят на оси вращения, направляя его вдоль оси в ту сторону, чтобы, глядя с его конца, видеть вращение происходящим против часовой стрелки. Начало его можно поместить в любой точке оси, — вектор скользящий. Модуль || = |dφ/dt| = | | равен абсолютной величине угловой скорости.

Вектор = d/dt.

Если взять орт оси z — , то ω = φ и = (d/ dt) или = , т. е. вектор углового ускорения направлен, как и , по оси z и равен по модулю | |. Точку приложения можно поместить в любую точку оси вращения, — скользящий вектор.

Вектор может совпадать по направлению с , может не совпадать. Если вращение ускоренное, то оба вектора направлены в одну сторону (рис. 50), если замедленное — в разные (рис. 51).

Пользуясь векторными понятиями угловой скорости и углового ускорения, выразим линейную скорость и линейное ускорение в виде векторных произведений.

Выражение линейной скорости и ускорения в виде векторных

произведений

Пусть мы имеем тело, вращающееся около неподвижной оси. Изобразим его угловую скорость и угловое ускорение в виде векторов и . Начало их поместим в точку О оси вращения. Возьмем в теле любую точки М. Проведем из точки О радиус-вектор точки М — . Угол между осью z и обозначим через α. Покажем, что вектор линейной скорости точки М .

В этом нетрудно убедиться, вспомнив определение векторного произведения двух векторов. Векторное произведение двух векторов есть новый вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат два данных вектора, и равен по модулю произведению их модулей на синус угла между ними. Вектор (рис. 52) перпендикулярен плоскости ΔOMO1 и равен ωr sin α = ωR (R = r sin α из ΔOMO1).

Вектор линейной скорости v = ω R, и направлен перпендикулярно R, т. е. плоскости ΔOMO1 в ту сторону, чтобы поворот и происходил против часовой стрелки. Следовательно, векторы и равны, что и требовалось доказать.

(15)

— основная формула кинематики или формула Эйлера.

Вектор линейного ускорения получим как производную от вектора скорости по времени:

ā = dv/dt = d()/dt = (d/dt)´ + ´ (d/dt) = =´ + ´,

так как d/dt = ; d/dt = .

Вектор ā равен сумме двух векторов. Покажем, что ´ — есть āτ, ´ — ān — векторы касательного и нормального ускорений. Вектор ´ равен по модулю εr sin α = εR и направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат и , т. е. плоскости ΔOMO1, следовательно, ´ есть вектор, перпендикулярный радиусу вращения и равный произведению углового ускорения на радиус вращения, т. е. этот вектор равен āτ.

Вектор ´ по модулю равен ωv sin β, нo β = 90° и ωv sin β = ωv = ω2R, так как v = ω R.

Направлен он перпендикулярно плоскости, в которой лежат и , т. е. по радиусу к центру (рис. 53).

Итак, ´ = ān; ´= āτ; ā = āτ + ān;

āτ = ´; (16)

ān = ´. (17)

Пример. На шкив радиусом R = 0,5 м навернут торс, к свободному концу которого подвешен груз А (рис. 54). Груз опускается из состояния покоя равноускоренно с ускорением aA = 2 м/с2 и приводит во вращение шкив. Найти закон вращательного движения шкива, угловую скорость, угловое ускорение его в произвольный момент времени t, а также скорость и ускорение āM точки М, лежащей на ободе шкива. Груз движется равноускоренно, значит, можно найти его скорость vA = aAt = 2t м/с. Скорость груза равна скорости точек обода, т. е. vM = vA = 2t, тогда ω = vM /R = 4t c–1, угловое ускорение ε = dω/dt = 4 c–1, т. е. ε = const и вращение шкива равноускоренное. ω0 = 0 и потому закон вращения:

φ = ε t2 /2 = 2 t2.

Ускорение āМ = āτM + ānM, но aτM = R ε = 2 м/с, anM = R ω2 = 0,5∙16 t2 = 8 t2 м/с2, тогда = м/с2.

Рядовая зубчатая передача

Вращательное движение широко распространено в различных машинах и механизмах. Вращение может передаваться на расстояние посредством гибких связей (ременные передачи) или непосредственным соприкосновением (фрикционные или зубчатые передачи). В ременных и фрикционных передачах используются силы трения, а в зубчатых — механическое зацепление. В каждом из этих видов передач имеется ведущее звено, которое сообщает движение, и ведомые звенья, которые получают движение от ведущего звена. Рассмотрим рядовую зубчатую передачу или рядовое соединение зубчатых колес.

Соединение зубчатых колес, у которых все валы вращаются в неподвижных подшипниках, называется рядовым соединением или рядовой зубчатой передачей (рис. 55).

Расстояние между двумя соседними зубьями называют шагом зубчатой передачи h:

; ,

где R1, z1 — радиус и число зубьев I колеса; R2, z2 — радиус и число зубьев II колеса.

Рядовая передача характеризуется передаточным числом. Передаточное число i1,2 зубчатой передачи равно отношению угловой скорости ведущего колеса ω1 к угловой скорости ведомого ω2. i1,2 = ω1/ω2.

Передаточное число может быть выражено отношением радиусов колеса, т. к. vA = ω1 R1 и
vA = ω2 R2, тогда ω1 R1 = ω2 R2 или

, но и .

Если в зацеплении находится n колес, то передаточное число такой передачи равно произведению передаточных чисел сцепленных пар:

i1n = i12 i23 … i(n–1)n; или ,

где m — число внешних зацеплений.

При внутреннем зацеплении (рис. 56) передаточное число положительно, при внешнем — отрицательно.

Контрольные вопросы

№46

Зубчатый редуктор состоит из трех зубчатых колес (рис. 57). Первое колесо имеет диаметр 0,2 м и делает 7 200 об/мин. Второе колесо — 4 000 об/мин, а третье — 600 об/мин. Определить диаметры второго и третьего колеса.

1.  d2 = 0,36 м; d3 = 2,4 м.

2.  d2 = 0,18 м; d3 = 1,2 м.

3.  Нет верного ответа.

№47

Колесо радиусом 0,8 м, вращающееся в период разгона равноускоренно из состояния покоя, совершило за некоторое время 750 оборотов. Определить время разгона, если скорости точек на ободе достигли при этом 200 м/с.

1. t = 6 с.

2. t = 3 с.

3. t = 18,8 с.

4. t = 37,7 с.

№48

Колесо радиусом 0,5 м, вращаясь равноускоренно, имеет через 10 с угловую скорость n = 120 об/мин (n0 = 0). Определить ускорение точки А обода колеса в момент t = 1 мин.

1.  аА = 0,6 м/с2.

2.  аА = 80 м/с2.

3.  аА = 2 880 м/с2.

№49

Рукоятка ОА (рис. 58) вращается по закону φ = 5t. Определить, за какое время груз поднимается на высоту 5 м, если r1 = 0,2 м; r2 = 0,3 м; r3 = 0,15 м.

1.  t = 0,1 с.

2.  t = 10 с.

3.  t = 4,4 с.

№50

Вращение тела вокруг неподвижной оси задано уравнением φ = 1,5t2 – 4t. Определить скорость и ускорение точки тела, отстоящей от оси вращения на 0,2 м в момент t1 = 2 с.

1.  v = 2 м/с; а = 1,4 м/с2.

2.  v = 0,4 м/с; а = 0,8 м/с2.

3.  v = 2 м/с; а = 0,6 м/с2.

4.  v = 0,4 м/с; а = 1 м/с2.

№51

Чему равно линейное ускорение точки вращающегося тела?

1.  а = R ε.

2.  а = R ω2.

3.  .

4.  а = R ε + R ω2.

№52

Маховик радиусом R = 1,2 м вращается равномерно, делая n = 90 об/мин. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика.

1.  v = const = 3,6π м/с; a = 0.

2.  v = const = 3,6π м/с; a = const = 10,8π2 м/с2.

3.  v ≠ const; a = const = 10,8π2 м/с2; v = at = 10,8π2 м/с/

№53

Груз B приводит во вращение вал радиусом r и сидящую на одной оси с валом шестерню 1 радиусом r1 (рис. 59). Движение груза начинается из состояния покоя и происходит с постоянным ускорением a. Определить закон вращения шестерни 2 радиусом r2.

1.  .

2.  .

3.  .

№54

Как распределятся ускорения точек вращающегося тела при его равномерном вращении (рис. 60–62)?

№55

Диск вращается вокруг неподвижной оси в течение некоторого промежутка так, что ускорения всех точек составляют с их скоростями одинаковые углы, равные 45˚. Определить угловую скорость диска как функцию времени, если в момент t = 0 она была равна ω0.

1. ω = ω0/(1 – ω0 t).

2. ω = ω0/(ω0 t –1).

3. ω = ω0/(1 + ω0 t).

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

Способы задания движения точки

№1

Движение точки при координатном способе задается ее координатами, которые выражаются функциями времени. В выбранной системе отсчета точка М будет иметь координаты

,

где φ = 2t. Подставив значение φ, получим

.

Верен ответ 1.

Ответ 2 задает движение этой точки естественным способом, ответ 3 — векторным. Следовательно, они здесь не являются верными.

№2

При естественном способе движение точки задается дуговой координатой S = О1М, которая выражается функцией времени. В данной задаче известен угол φ = 2t, через него и выразим дугу О1М. S = R φ = 2tR; S = О1М = 2Rt — закон движения данной точки М.

Ответ 3 верен, 1 и 2 неверны, они задают движение векторным и координатным способами, а не естественным.

№3

1.  Верно.

2.  Неверно.

3.  Неверно найдены уравнения движения точки Д. Их просто определить, если найти , тогда

, но .

№4

1.  Неверный. Вы перепутали название координатных осей.

2.  Неверный. Ответ неполный. Вы не указали область изменения координат.

3.  Неверный. Неверно указана область изменения координаты z. Так как z = t, а всегда t ≥ 0, то условие – ∞ ≤ z <∞ невыполнимо.

4.  Верный. Действительно, так как t ≥ 0, а по условию координата z зависит линейно от t, то обязательно z ≥ 0.

№5

Верен ответ 1.

Чтобы найти уравнение траектории точки, нужно из уравнений ее движения исключить переменную t — время. В данном случае достаточно сложить левые и правые части данных уравнений: x = a cos2t; y = a sin2 t; x + y = a — траектория — прямая линия (рис. 63, отрезок ее, т. к. x ≤ a; y ≤ a; |cos t| ≤ 1; |sin t| ≤ 1).

Ответ 2 получен неверно, возводить в квадрат x и y не следует. Ответ 3 такой же, как и ответ 2.

, т. е. x2 + y2 = a2 — неверно.

№6

Исключим переменную из первого уравнения t = x/2, подставим во второе y = 12 x2/4 = 3 x2, это уравнение параболы (рис. 64). Так как t > 0, то x и y должны быть больше нуля. Траектория — правая часть параболы. Верен ответ 2. Остальные неверны. Вы ошиблись в расчетах, проверьте их снова.

№7

Чтобы задать движение точки естественным способом, нужно дуговую координату S = выразить функцией времени. Учитывая, что S = Rφ, имеем S =  = 10t 4 = 40t (м).

Верен ответ 2. Ответ 1 задает движение координатным способом, ответ 3 — векторным. Они для данного случая неверны.

№8

Чтобы найти уравнение движения ползунов А и В, нужно их координаты xA и yA выразить функциями времени: xA = ОА = 2l cos φ = 2l cos 3t (из ΔОАС), а yB = OB = 2l sin φ = 2l sin 3t (из ΔОАВ) (см. рис. 11).

Это и будут уравнения движения ползунов А и В.

Верен ответ 4.

Остальные ответы неверны. Ответ 1 — координаты перепутаны, а 2 и 3 будут верны только в момент, когда φ = 45˚.

№9

Чтобы задать движение точки М координатным способом, нужно ее координаты выразить функциями времени. Это можно сделать, учитывая, что φ = 10 t.

Рассмотрим ΔОМК, ОК = xM = r cos φ = 4 cos 10t (м),

МК = yM = r sin φ = 4 sin 10t (м).

Это и будут уравнения движения точки М. Верен ответ 2. Ответы 1 и 3 неверны. Ответ 1 задает движение точки естественным способом, а 3 — векторным.

№10

Верен ответ 3. Стержень движется так же, как точка А его. Ее закон движения будет и законом движения стержня. Найдем этот закон. Точка А движется только по оси x, и ее положение определяется одной координатой

x = OA = OC cos φ + = a cos kt + .

Ответ 2 определяет движение точки С. В ответе 1 sin и cos переставлены. Эти ответы неверны.

Скорость точки

№11

1.  Неверно. Вы, видимо, находили ответ, используя неверную формулу

v = (S – S0)/t = (5 + 6t + t3 – 5)/t = 6 + t2 для v = const, затем = 9, 6 + t2 =9,

t = t1 = с; S1 =5 + 6 + 3 = (5 + 9) м.

Скорость равна производной по времени от дуговой координаты:

v = dS/dt = 6 + 3t2.

2. Неверно. Вы, видимо не знаете, чему равна скорость точки при естественном способе движения в данный момент времени: = , либо неверен был сам ход решения задачи. Либо вообще не знаете, как решать эту задачу. Надо было найти, используя приведенную выше формулу скорости точки, момент времени t1, когда скорость достигает 9 м/с, а затем для найденного момента дуговую координату: 6 + 3 t2 = 9, t1 = 1 с, St1 = 5 + 6 + 1 = 12 м.

3. Верно, St1 = 12 м.

4. Вы нашли путь, который прошла точка к моменту времени, когда скорость равна 9 м/с, П = |S – S0| = 7 м; но П ≠ S.

№12

1.  Неверно. Вы неверно определяете момент времени, соответствующий пройденному пути. Здесь надо было воспользоваться формулой пути П:

П = |S1 – S0| + |S2 – S1|; S0 = 6 м;

S1 = – 2 м — значение дуговой координаты в момент времени t1 = 4 c, в который скорость изменяет свой знак, а S2 = 0,5 м — значение дуговой координаты в тот момент времени (t1), когда точка пройдет путь, который задан. Положить П = 10,5 м, а не S =10,5 м. 10,5 = |– 2 – 6| + | S2+ 2|; S2 = 0,5 м.

t2 – 8t + 12 – 1 = 0; t2,3 = 4 ±= 4 ± c/

2. Верно v = = (t – 4)|t1 = 4 + – 4 = м/с. Вас могло смутить, что при прохождении момента времени, соответствующего пройденному точкой пути, получается два значения t2 = 4 + с, t3 = 4 – с. Надо брать t2 = 4 + с, так как t3 < t1, где t1 = 4 с момент времени, когда точка меняет знак на противоположный и скорость после t1 = 4 с стала больше нуля, т. е. движение точки идет в сторону возрастания S.

3. Неверно. Смотрите объяснение к ответу 1. t3 < t1 не учли.

4. Неверно. Смотрите объяснение к ответу 1. П ≠ |S – S0|.

№13

1.  Верно. Действительно, v = 3 – t. Очевидно, минимальная величина v = 0, что соответствует t = t1 = 3 с. Тогда

S1 = St=3c = 1,5 м, П = |S1 – S0|, где S0 = St=0 = – 3 м, П = 4,5 м.

2.  Неверно. Вас могло смутить, как найти минимальный модуль скорости v = 3 – t. Используя производную от скорости по времени и приравняв ее 0, вы ничего не добьетесь, так как dv/dt = – 1 = const. Здесь, очевидно, что |v| = 0, это соответствует t = t1 = 3 с.

3.  Неверно. Вы, наверное, нашли путь, пройденный точкой. Смотрите пояснения к ответу 1.

4.  Неверно. Путь, пройденный точкой вдоль траектории, равен значению дуговой координаты S только тогда, когда начальное положение точки совпадает с началом отсчета, и точка движется за данный промежуток времени в одном направлении.

№14

1.  Верно. Действительно, и вы его верно решили, так как

= et (cos t – sin t); = et (sin t + cos t); = et.

2.  Неверно. К такому ответу вы пришли, если находили S по неверной формуле .

Чтобы найти верный ответ, надо было воспользоваться формулой перехода от координатного способа задания движения к естественному:

3.  Неверно. Ответ совершенно неверен. Вы забыли о пределах

4.  Вы допустили ошибку в решении определенного интеграла.

№15

Верен ответ 4. xc , где S = vt — путь, пройденный кулаком за 3 с, S = 3∙0,05 = 0,15 м;

xc = = 0,2598 » 0,26 м и h = r – xc = 0,3 – 0,26 = 0,04 м.

Остальные ответы не верны.

№16

1.  Неверно. Модуль || = = 1 = const; || ≠ d||/dt = 0;