Кинематика точки и твердого тела (стр. 5 )

|| = ; = || = .

2.  Верно. Действительно, || = ; || = = = 3t2;

= 3t2 cos t3; = –3 t2 sin t3; = 0.

3.  Неверно. || ≠ = 1; || = или вы неверно взяли производные от координат.

№17

1.  Неверно. Вы либо пользуетесь неверной формулой y = vy t, либо допускаете ошибку в расчетах, либо вообще не знаете, как решать задачу, тогда смотрите пояснение к ответу 2.

2.  Неверно. Во-первых, x = x0 + vx t, во-вторых, y ≠ vy t, а , так как vy = dy/dt; x = 6 м, y = м.

3.  Неверно. Смотрите пояснение к ответу 2 и сделайте верный расчет.

4.  Верно. x = 2 + 2∙2 = 6 м.

м.

№18

1.  Неверно.

2.  Неверно. Задача имеет решение. Точка достигает наивысшего положения на траектории, когда t = t1 = с. Это следует из того, что уравнение траекториии: y = sin x2 и ymax = 1, при этом x2= , t1= x = с.

3.  Верно. v = |t1 = 1 м/с; = 1; = 2t cost2.

4.  Неверно. Вы допустили ошибки в расчете. Ошибки могли быть допущены при вычислении траектории точки, либо при определении момента времени, соответствующего наивысшему положению точки на траектории, либо неверно нашли скорость точки.

№19

Чтобы найти скорость точки M, нужно знать ее движение. Зададим его дуговой координатой: S == r φ = 40 t м, тогда v = dS/dt = 40 м/c.

Верен ответ 2. Остальные неверные. Вы, видимо, задали движение этой точки координатным способом верно: ,

но скорость нашли неверно, v =≠(в ответе 1), или же ошиблись в расчете (ответ 3).

№20

Найдем закон движения точки: S == t3/3 – 3t2/2 + 2t (м).

Найдем скорость с моменты t1 = 1 с, t2 = 2 с, t3 = 3 с, чтобы выявить те моменты, где скорость меняет знак:

vt1 = 1 – 3 + 2 = 0, vt2 = 4 – 6 + 2 = 0, vt3 = 9 – 9 + 2 = 2.

В моменты t1 и t2 точка меняет направление движения.

Найдем значения дуговой координаты в моменты t0, t1, t2, t3. St0 = 0, St1 = 5/6 м, St2 = 2/3 м, St3 = 1,5 м.

Путь П = |St1 – St0| + |St2 – St1| + |St3 – St2| = 5/6 + 1/6 + 5/6 = 11/6 м.

Верен ответ 3. Ответ 2 дает другое значение дуговой координаты St3, а не путь. Ответ 1. Неверно использован закон движения S ¹ vt = 3´2 = 6 м/с, так как v ¹ const.

Ускорение точки

№21

Найдем скорость точки: vx = = 10; vy = = 5; v == 15 м/с.

Точка движется с постоянной скоростью S = vt = 15´5 = 75 м.

Верен ответ 2.

S ≠ aτ t2/2 = 37,5 м, так как aτ = dv/dt = 0; a = aτ ≠ v/t = 3.

Ответ 1 неверен.

Утверждение 3 высказано неверно, так как среди приведенных ответов есть верный ответ — 2.

№22

Зная закон движения точки S = 6t2,найдем ее скорость v == 12t, в данный момент 12t = 12; t = 1 с, тогда ā = āτ + ān или a = ; aτ =  = 12 м/с. an = aτ tg 30˚ (из векторного треугольника (рис. 65) аn = 12/3 = 4 м/с2; a = 2 an = 8 м/с2.

Верен ответ 2.

Ответ 1. Время найдено верно, а ускорение — нет: a ≠ dv/dt = 12 м/с2.

Ответ 3. Верно найдено ускорение, а время нет, ошибка в расчете.

№23

Здесь неверным будет ответ 1, так как точка движется по окружности и a ≠ aτ. Остальные ответы верны a = an = v2/R.

Здесь S = φ r = 40t; v = = 40 = const; aτ = 0 или

a = = an = v2/R. = 1600/4 = 400 м/с2.

Ответ 2 получим, если зададим движение точки координатным способом:

тогда v == 40 м/с; a == 400 м/с2.

№24

На рис. 38 показан вектор āτ, на рис. 39 — ā полное, но при ускоренном движении, а здесь оно равномерное.

Ответы 1 и 2 неверны.

Верным будет ответ 3 (рис. 40), так как S == 2tr; v = = const = 2r; aτ = 0; an = a = v2/ R = 4r2/r = 4r и направлено по радиусу к центру окружности.

№25

Так как точка движется по прямой, то an = 0; a = at = dv/dt или ā = āτ = d/dt; a = aτ ==, но a ≠ an= v2/ρ, неверен ответ 1, его следует указать, остальные означают одно и то же касательное, в данном случае, и полное ускорение.

№26

Точка движется по кривой ускоренно, следовательно, ее ускорение

ā = āτ + ān= d/dt.

Верен ответ 2, a = dv/dt = = d2S/dt2 только в прямолинейном движении, a = v2/ R в криволинейном, но равномерном движении. Здесь остальные ответы неверны.

№27

Движение точки задано естественным способом S = a sin2 t. Чтобы выяснить, каким оно будет в момент t1 = π/3 с, найдем v и aτ в этот момент.

v == 2a sin t cos t = a sin 2t; v|t1 = a sin 2π/3 = a/2

и aτ == 2a cos 2t|t1 = 2a cos 2π/3 = 2a cos (π – π/3) = 2a cos π/3 = 2a/2 = a.

v и aτ имеют равные знаки, движение точки ускоренное. Верен ответ 1. Чтобы были верны ответы 2 и 3, нужно, чтобы aτ было меньше 0 или aτ = 0, чего здесь не наблюдается к моменту t1 = π/3 с, следовательно, эти ответы неверны.

№28

При движении точки по окружности ее ускорение ā = āτ + ān.

aτ ==2 м/с2; an = v2/R; v == 2t; vt1 = 1 м/с; an = 1 м/с2; āτān;

a = = м/с2.

Верен ответ 3. Ответы 2 и 1 неполные. Ответ 1 определяет только касательное ускорение, 2 — нормальное.

№29

Точка движется по окружности равноускоренно. Следовательно, v = dt — ее скорость, тогда an=; aτ == d.

В искомый момент aτ = an; d = ; t2 = ; t = с.

Верен ответ 1. Остальные неверны. Ошибка в счете.

№30

Верен здесь ответ 3. Чтобы aτ = dv/dt = 0, нужно, чтобы v была const, а a = an = v2/ρ и не было равно нулю, точка должна перемещаться по кривой с постоянной скоростью. Для того, чтобы an было еще и постоянно, ρ должно быть const. Кривая, у которой ρ = const, — окружность, для нее ρ есть радиус самой окружности.

Ответ 1 будет верен при условии, что an = 0 (прямолинейное движение), а ответ 2 — только в случае, когда aτ ≠ 0.

Здесь они оба места не имеют.

№31

1.  Неверно. Ответ нужно уточнить. Так как точка движется с постоянным aτ = 2a > 0, то движение равноускоренное.

aτ = , где

v = 2at> 0

2.  Верно. aτ = 2a= const, aτ > 0, v > 0.

3.  Неверно. aτ > 0, aτ = const, смотрите пояснения к первому ответу.

4.  Неверно. aτ ≠ 0.

№32

По заданным уравнениям движения найдем a == 6 м/с2; a = const; , так как ay = 0, то ║OX.

Верен ответ 2.

Ответ 3. Величина a найдена верно, а направление — нет.

Ответ 1. Величина a и направление находятся неверно. Если найти траекторию точки, исключив t, то видим, что x = 12 y2 — парабола, точка движется по кривой и a ≠ aτ = dv/dt, так ускорение здесь искать нельзя, нужно пользоваться формулами a = ; aτ = dv/dt; v =; an= v2/ρ, но ρ неизвестен. Этим способом ускорение не найти.

№33

Движение по кривой замедленно, āτ и имеют разные знаки, направлены они по касательной к траектории в противоположные стороны (рис. 66). ā = āτ + ān и составляет тупой угол с вектором .

Верен ответ 1, ответ 2 верен для ускоренного движения по кривой, а ответ 3 — для равномерного движения по кривой.

№34

При естественном способе задания движения ускорение точки ā = āτ + ān; aτ == 12 t м/с2; an = v2/ρ; v == 6t2; an = 36t4/24 (м/с).

Если угол между скоростью и ускорением равен 45˚ (рис. 67), то aτ = an, в этот момент 36t4/24 = 12t; t3 = 8t; t1 = 0; t2 = 2 с, тогда aτ = 24 м/с2; an = 24 м/с2 (t1 = 0 исключено условием задачи). a = 24 м/с2.

Верен ответ 2. Ответ 1 определяет только величину составляющих aτ и an, а ответ 3 неверен, так как a ≠ dv/dt.

№35

1.  Неверно. Путь решения задачи верен, но неверно найдено ρmin.

ρ = 2, ρmin = 0 и при t = (π/2 + 2πn) c v = 0. По ρmin ≠ 2 и при t = π n v ≠

2.  Неверно. Ответ соответствует ρmax:

ρ = 2 и ρmax = 4 м, при t = –π/2 + 2π n с.

3.  Верно. v = 0.

4.  Неверно. Вы, очевидно, запутались в расчетах, либо неверен ход решения задачи. Он имеет следующий вид: v ==;

где

a == 1 м/с2, где

aτ =, aτ2 =

an = ,

ρ = , ρmin = 0, при t = + 2π n, что соответствует v = 0.

Поступательное и вращательное движение тела

№36

Верен ответ 1.

При поступательном движении твердого тела все точки его движутся в любой момент времени по одинаковым траекториям и имеют равные скорости и ускорения. Поэтому, зная положение одной какой-либо точки этого тела в выбранной системе отсчета, мы сможем определить положение остальных точек его и их кинематические характеристики.

Остальные ответы неверные. Углом поворота задается вращательное движение, а отрезок, соединяющий две заданные точки, определит положение плоской фигуры, движущейся в своей плоскости.

№37

Равенство 1 выражает закон равномерного вращения. Равномерное вращение — это вращение с постоянной угловой скоростью. Учитывая это, имеем

ω = const; ω = dφ/dt; ω .

При φ0 = 0, φ = ωt; при φ0 ≠ 0; φ = φ0 + ωt. 2 и 4 равенства представляют равнопеременное вращение (при ε = const), а равенство 3 записано неверно.

φ ≠ ω0 + εt, но ω = ω0 + εt — закон изменения угловой скорости в равнопеременном вращении, а не угла поворота.

№38

Запишем закон равнозамедленного движения:

N =; N = = 150 об., t = 30 с = мин.

Ответ 2 верен.

Ответ 1 неверен. Вы неверно записали закон данного вращения.

N = = = 50 об.

Ответ 3 тоже неверен. Вы верно перевели угловую скорость в радианы в секунду ω0 = π n0/30 = 40π/3 c–1 и ωt = πnt/30 = 20π/3 c–1.

Верно и дальше ωt = ω0 – εt; t = 30 с; ε = (ω0 – ωt)/t = 20π/(3 ´ 30) = 2π/9 c–1;

φ = ω0 t + εt2/2 = 400π + 100π = 500π; N = φ/2π = 250 об.

Здесь неверно записан закон вращения (вместо равнозамедленного — равноускоренное вращение).

Ответ 3 неверен.

№39

Закон вращения нам известен ε = const, ε < 0, N = 50 об.

Следовательно, φ = 2π N = 100π рад. Известно, что

ωt = 0, ω0 = πn0 /30 = π 600/30 = 20 π c–1.

Чтобы найти t, воспользуемся законом равнопеременного вращения:

φ= (ω0 + ωt)t/2; t = 2φ/ω0 = 200π /20π = 10 с.

Верен ответ 1. Остальные неверны. Вы ошиблись, записав не тот закон движения φ = ωt; t = φ/ω = 100π /20π = 5 с. Здесь φ ≠ ωt, так как ω ≠ const.

Ответ 2 неверен. Ответ 3 неверен. Вы записали закон равноускоренного, а не равнозамедленного движения:

φ = ω0 t + εt2/ 2; но ω0 = εt; φ = ω0 t + ω0t/ 2 = 3ω0t/ 2; t = 2φ/300 = 10/3 с.

Нужно было записать ωt = ω0 – εt = 0; φ = ω0t – εt2/ 2 = ω0t/ 2;

t = 2φ/ω0 = 200π /20π = 10 с.

Можно было решить так.

№40

Верен ответ 2. Действительно, ε = ε0 – kt (по условию), где k = const. В момент t1 ε = 0, найдем k из этого условия: ε0 – kt1 = 0, k = ε0 /t1. Тогда ε = dω/dt = ε0 – ε0t/t1, откуда ω = ε0 t – ε0 t2/ 2t1;. В момент t1 ε = dω/dt = 0, следовательно,

ω = ωmax = ε0 t1 – ε0 t21/ 2t1 = ε0 t1/2.

Ответ 1. Неверно считается ω ≠ ε0 t1, так как ε ≠ ε0; ε = ε0 – kt; ε ≠ const.

№41

Верен ответ 4. По заданному закону движения находим угловую скорость и угловое ускорение в любой момент времени: ω = dφ/dt = 24π t2; ε = dω/dt = 48π t.

Найдем тот момент времени t1, к которому маховик сделал четыре оборота. Для этого вычислим угол поворота φ = 2π N; N = 4 об.; φ = 2π 4 = 8π рад.

Для любого момента φ = 8π t3 в некоторый момент t1 φ = 8π t31 = 8π; t1 = 1 с; ωt1 = 24π c–1; εt1 = 48 π c–2.

Остальные три ответа неверны. В первом ответе

ω = dφ/dt = 24π t2; ωt1 = 24π c–1; εt1 = dωt1/dt = 0

— ошибка в вычислении углового ускорения ε = dωt /dt, а не dωt1 /dt, где ωt — в любой момент времени вычисляется и берется от нее производная.

Во втором ответе вместо N = 4 об. берем n, определяющее число оборотов в минуту, и считаем по формуле ω = πn /30. Неверно применяется формула.

В третьем ответе ω считается как φ/t и ε = ω/t, т. е. применяются формулы для равномерного и равнопеременного вращения, хотя ни то ни другое места здесь не имеют.

№42

Верен ответ 3. По условию ε2 = kt = dω/dt; = ω; ; c–1, при t1 = 5 мин60 = 300 c, n =об/мин; = ;

; 30 000 об.

В ответах 1 и 2 неверно использованы законы равномерного и равнопеременного вращений: φ ¹ ω t , так как ω ¹ const, φ ¹18 0005 = 90 000 об.;

φ ¹ (ω0 + ωt)t/2 = 18 000´5/2 = 45 000 об., так как ε ¹ const.

№43

Верен ответ 4. Остальные ответы неверны. Действительно, ;

ωt1=1 = 2 – 3 = – 1 с–1; ε = = 2 с–2. ω < 0; ε > 0.

Вращение тела равнозамедленное.

№44

Верным является ответ 3. Первых два ответа — неполные.

№45

Верным является ответ 1. Поступательное и вращательное движения являются основными и простейшими видами движений твердого тела. Плоскопараллельное движение является сложным движением и в любой момент рассматривается как совокупность двух простейших видов движения твердого тела — поступательного и вращательного.

Скорость и ускорение точки вращающегося тела

№46

Используя передаточное число данного зацепления, определим радиусы второго и третьего колеса:

2,4 м; ;

м.

Верен ответ 1. В ответе 2 вместо диаметров указаны радиусы. Заключение 3 неверно, так как верный ответ есть — 1.

№47

Верен ответ 4. Зная скорость точек на ободе в момент разгона, найдем

ωt = v/r =200 / 0,8 = 250 с–1, ω0 = 0.

Выразив угол поворота в радианах: φ = 2π N = 2π ´ 750 = 1500π, найдем t, зная закон равноускоренного вращения: φ= (ω0 + ωt)t/2,

t = 2 φ/ω = 2 ´ 1500π /250 = 12π c =37,7 с.

Верен ответ 4. В ответе 3 неверно записан закон вращения

φ ≠ ωt; t ≠ φ/ω = 12π c = 18,8 с.

В ответах 1, 2 угол φ считается в оборотах, а ω — в радианах в секунду

t = 2φ /ω ≠ 2 750 / 250 = 6 с (ответ 1);

t ≠ φ/ω = 750 / 250 = 3 с (ответ 2).

Эти ответы неверны.

№48

ε = const; ω0 = 0; ωt = = πn /30 = = π 120/30 = 4π c–1; t = 10 c; ωt = ω0 – εt;

ε = 4π/10 = 2π/5 c–2; ωt = εt1 = 2π/5 60 = 24π c–1; t1 = 10 c;

» 24´12 π2 » 2880 м/с2.

Верен ответ 3. В ответе 1 найдено касательное ускорение

м/с–2.

В ответе 2 — нормальное ускорение в момент t =10 с:

an = R ω2 = 0,5´16π2 » 80 м/с2.

№49

Зная φ, можно найти угловую скорость рукоятки: ω = ω1 = =5 c–2;

ω2 = = с–1; ω3 = ω2 = с–1; vM = ω3 r3 = = 0,5 м/с.

Так как v = const, то путь SM = vM t, тогда время подъема t = S/v = 5/0,5 = 10 с.

Верен ответ 2. В ответе 1 v = 50 см/с не перевели в 0,5 м/с и

t = S/v ≠ 5/50 = 1/10 с. Этот ответ неверен. Ответ 3 неверен. Неверно взято отношение

ω2 ≠ ; v ≠ ´ 0,15 = ; t ≠ 4,4 с.

№50

Зная закон вращательного движения: φ = 1,5 t2 – 4t, можно найти ω = = 3t – 4 и ε = = 3 с–2, = 3 ´ 2 – 4 = 2 с–1.

Теперь найдем vt = r= 0,2 ´ 2 = 0,4 м/с и at1 = 1 м/с.

Верен ответ 4. В ответах 2 и 3 вместо полного ускорения вычислено нормальное an = rω2 = 0,2´4 = 0,8 м/с2 и касательное aτ = rε = 0,2´3 = 0,6 м/с2 ускорения.

В ответе 1 вместо геометрической суммы an и aτ найдена их арифметическая сумма 0,8 + 0,6 = 1,4 м/с2.

Скорость определена верно в ответах 2, 4, а в ответах 1 и 3 вместо линейной скорости точки найдена угловая скорость тела.

№51

Линейное ускорение точки вращающегося твердого тела равно геометрической сумме двух ускорений: касательного āτ (рис. 68), нормального ān; çaτç = Rε; çanç = Rω2; ā = āτ + ān — полное ускорение, а по величине , т. е. верен ответ 3. Ответ 1 определяет только aτ, второй — an. Эти оба ответа неточны. Ответ 4 неверен, так как āτān, то , но a ≠ aτ + an, т. е. a ≠ Rε+ Rω2.

№52

Маховик вращается с постоянной скоростью ω = πn /30 = 3π c–1. Скорость точек обода v = ωR = 1,2 м ´ 3π c–1 = 3,6π м/с.

Ускорение точек обода будет только нормальное

an = ω2R = 9π2 1,2 = 10,8π2 м/с2.

Верен ответ 2. Ответ 1 неверен, так как при v = 3,6π = const ускорение точек обода равно an = 10,8π2 и не равно нулю, а aτ = 0, но a = an ≠ 0.

В ответе 3 ускорение найдено верно: an = Rω2 = 10,8π2 м/с2, но вы забыли, что ускорение нормальное, а не касательное и ищете v = at по формуле, где a = aτ , а не an. Скорость найдена неверно. Ответ 3 неверен.

№53

Здесь известен закон движения груза B: SB = at2/2, так как он движется по прямой с постоянным ускорением. Перемещение груза B — SB будет равно перемещению точек, лежащих на ободе вала, а они перемещаются по дуге окружности радиусом r, следовательно, угол, соответствующий этой дуге, φ = S/r = at2/2r — это будет закон вращения вала, угол φ представлен функцией времени. Но вал с шестерней сидят на одной оси и их закон вращения одинаков φ1 = φ = at2/2r.

Соответственно найдем

ω1 = 1 = at/r, но ; ; .

Верен ответ 3. Ответ 1 определяет ω2, 2 — ε2 — кинематические характеристики шестерни 2, а не закон вращения ее. Поэтому их нельзя считать верными.

№54

Верен ответ 2, так как ω = const; ε = 0; aAt = aBt = aCt = aДt = 0;

aAп = aBп = aCп = aД = Rω2; aE = aA/2= Rω2/2.

Ускорения всех точек, кроме точки Е, одинаковы; направлены по радиусам к центру вращения.

Остальные ответы неверны.

№55

Верен ответ 1, так как tg α = |aτ|/an = 1 (α = 45° по условию), то |aτ| = an, значит, Rε = Rω2; ε = ω2,но ε = dω/dt = ω2, откуда ; = t; ω =

(для t < 1/ω; ω > 0 — вращение ускоренное).

Остальные ответы неверны.

Ошибки допущены при интегрировании и подстановке пределов.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Тарг курс теоретической механики: Учебник для втузов. — М.: Высшая школа, 2001.

2.  Яблонский теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1977.

3.  Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие для вузов / , , . — М.: Высшая школа, 1974.

4.  Мещерский задач по теоретической механике: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 1981.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ……………………………………………………………………………3
Тема 1. Предмет кинематики и ее значение в технике …………………………3
Краткий исторический очерк …………………………………………………….4
Философия курса ………………………………………………………………….4
Система отсчета …………………………………………………………………5
Кинематика точки ………………………………………………………………….6
Способы задания движения точки ………………………………………………..6
Переход от координатного к векторному способу задания движения точки

и обратно ………………………………………………………………...…………9
Контрольные вопросы ……………………………………………………………11
Тема 2. Дифференцирование переменного вектора. Скорость точки ………...13
Скорость точки …………………………………………………………………15
Переход от координатного способа задания движения точки

к естественному…………………………………………………………………...18
Равномерное движение …………………………………………………………19
Контрольные вопросы…………………………………………………………20
Тема 3. Ускорение точки ……….……………………………………………..…22
Определение ускорения точки при естественном способе ………..…………..23
Определение ускорения точки при векторном способе ………………..27
Определение ускорения точки при координатном способе ……………….27
Нахождение an и aτ с помощью уравнений движения ………………………28
Контрольные вопросы ……………………………………………………………30
Тема 4. Кинематика твердого тела

Простейшие виды движения твердого тела..…………………………………33
Поступательное движение твердого тела ………………………………33
Вращательное движение твердого тела и его кинематические

характеристики …………………………………………………………………...35
Контрольные вопросы …….……………………………………………………39
Тема 5. Определение движения точек вращающегося твердого тела

и его кинематические характеристики …………………………………..……40
Угловая скорость и угловое ускорение тела как векторные величины …….42
Выражение линейной скорости и ускорения в виде векторных

произведений ………………………………………………………………….….43
Рядовая зубчатая передача ………………………………………………………44
Контрольные вопросы……….……………………………………………………45
Ответы и решения

Способы задания движения точки ………………………………………………47
Скорость точки ………………………………………..…………………………50
Ускорение точки …………………………………………………………………53
Поступательное и вращательное движения тела ……………………………57
Скорость и ускорение точки вращающегося тела ……………….…………..…59
Литература ………………………………………………………………………..62