Методический аппарат оптимизации программ защиты населения и территорий в чрезвычайных ситуациях (стр. 5 )

M[WЧС, Dt] = аЧС(Dt) WЧС ,

где WЧС – средний ущерб от ЧС, аЧС(Dt) - математическое ожидание их числа в год.

Доля материального ущерба от ЧС в бюджете соответствующей территории вычисляется по формуле

aЧСj

где Wчсj и Cj - материальный ущерб от ЧС в год и бюджет j-й территории соответственно.

Так, в 2000 г. материальный ущерб от ЧС природного и техногенного характера составил 24,7 млрд. руб. или 167 руб. на человека. Учитывая, что всего произошло 888 ЧС, то средний ущерб от одной ЧС составил 27,8 млн. руб.

Доля потенциально опасной части территории, на которой возможно действие поражающих и вредных факторов ЧС, вычисляется по формуле

aпsj ,

где Sпj и Sj - площадь потенциально опасной части j-й территории и ее общая площадь соответственно.

Доля населения территории, проживающего в зонах возможного действия поражающих и вредных факторов, вычисляется по формуле

где Mпj и Mj - численность населения, проживающего в зонах действия поражающих и вредных факторов ЧС, и численность всего населения j-й территории.

Используются также такие показатели, как количество ЧС природного и техногенного характера в расчете на определенную численность населения, например, 100 тыс. чел., количество ЧС в расчете на единицу площади рассматриваемой территории, среднегодовая численность населения, пострадавшего при ЧС, показатель экологической обстановки (балл антропогенной нагрузки на природную среду) и др.

К использованию в качестве показателя опасности числа потенциально опасных объектов следует относится осторожно, так как многое зависит от состояния их безопасности. Эти обстоятельства, а также частота природных ЧС (землетрясения, наводнения и др.) могут быть учтены при использовании вероятностных и экспертных методов.

Комплексный показатель оценки. Определение результирующего показателя потенциальной опасности по ряду источников опасности (техногенных и природных) связано со значительными трудностями, так как эти источники имеют различную частоту проявления (причем для техногенных источников частота зависит от состояния безопасности соответствующих объектов) и последствия. Поэтому для сравнительной оценки регионов по опасности вместо ряда показателей необходим один комплексный показатель опасности. В качестве такого показателя предлагается использовать линейную комбинацию показателей, характеризующих регионы по различным параметрам опасности:

(k=1,…,r),

где Yk - k-й показатель опасности, bk - взвешивающий коэффициент ().

В первом приближении можно принять bk =1/r " k.

В качестве показателей опасности Yk могут быть использованы нормированные на максимум значения, например, Q0j(Dt)/Q0max(Dt), где Q0max(Dt) - максимальное значение индивидуального риска смерти по сравниваемым территориям.

2.1.2 Экспертные методы определения

относительной опасности территорий

Определение абсолютных показателей опасности сопряжено со значительными трудностями, связанными с неопределенностью исходных данных, адекватностью расчетных моделей и др. Эти трудности многократно возрастают в случае необходимости определения интегральных рисков от многих опасностей. В этом отношении значительным преимуществом обладают методы определения относительных характеристик, в частности, экспертные методы. Проведем их анализ.

Интуитивные оценки. Количественную оценку качественного признака, характеризующего опасность территории, можно получить на основе сравнения территорий друг с другом. Получаемые при этом оценки являются относительными, поскольку зависят от того, какие территории сравниваются. Относительные веса по опасности территорий при их небольшом числе (m£10) могут быть установлены экспертом интуитивно - такими, какими они ему представляются. При этом его суждения опираются на профессиональную подготовку и не являются результатом каких-либо рассуждений или вычислений. При большом (m>10) числе территорий определение относительных весов должно опираться на формализованную процедуру.

Метод фон Неймана-Моргенштерна. Для того чтобы оценить степень предпочтения одной территории другой вводятся количественные оценки предпочтительности территорий . Наименее предпочтительной по сравниваемому признаку (m-й) территории присваивается оценка . Затем эксперт выбирает такие значения величин , , при которых будут справедливы соотношения , откуда . После этого эксперт должен определить значения , удовлетворяющие условию . Оценки предпочтительности территорий, выставленные экспертом, считаются согласованными, если имеет место равенство . В противном случае нужно установить новые значения . Общее число оценок, которые должен установить эксперт, составляет . Квадратичная зависимость числа оценок от количества сравниваемых территорий делает этот метод трудоемким. Эксперт сравнивает попарно все территории и дает количественную оценку каждому такому сравнению, после чего возникает необходимость в многочисленных корректировках.

Оценки относительных весов территорий по рассматриваемому признаку вычисляют по формуле . Рассматриваемый метод трудоемок, причем основные усилия затрачиваются на этапе экспертного оценивания, а не на этапе обработки его результатов.

Метод попарных сравнений. Эксперту поочередно предъявляются все пары территорий, и он каждый раз устанавливает, какой из элементов предпочтительнее по рассматриваемому признаку. При этом он заполняет матрицу попарных сравнений W с элементами

где qi и qj – сравниваемые территории.

Элементы матрицы обладают свойствами: 1) при ;

2) . В качестве относительных весов территорий принимаются компоненты нормированного собственного вектора матрицы W на -ом шаге итераций:

(13)

Требуемую точность вычислений компонент собственного вектора устанавливают заранее, останавливая расчеты при выполнении m условий . Достоинствами метода являются достаточно простая процедура выставления оценок и формализованное вычисление весов территорий. Однако преимущество одной территории над другой может быть сколь угодно большим, а оценка для этого случая всего одна – 2.

Метод попарных сравнений с количественной оценкой предпочтения. Эксперт в процессе попарных сравнений не только выбирает в каждой паре предпочтительную территорию, но и указывает, во сколько раз эта территория предпочтительнее по рассматриваемому признаку, чем другая территория пары. Заполняя матрицу попарных сравнений W, эксперт, как правило, пользуется шкалой попарных сравнений. Этот метод не требует обязательной транзитивности предпочтений эксперта, а обработка матриц попарных сравнений легко реализуема на ЭВМ.

2.1.3 Модель экспертного оценивания

с использованием нечетких множеств

Проанализированные выше методы не имеют четкой физической интерпретации и не обладают возможностью трактовки получаемых оценок как субъективных вероятностей, что затрудняет возможность использования для обработки получаемых результатов хорошо разработанного в теории вероятностей понятийного и математического аппарата. Поэтому разработаем модель для получения количественной информации об относительной опасности территорий на основе теории нечетких множеств.

Для получения относительной информации выберем нечеткую переменную, которая описывала бы опасность территорий (стран, регионов, областей, районов), и построим функцию принадлежности территорий нечеткому множеству, смысл которого формализован выбранной нечеткой переменной.

Для определения количественных оценок интегральной степени опасности территорий для жизнедеятельности населения введем нечеткую переменную “опасная территория”, определенную на дискретном множестве из m территорий. Нечеткое множество на множестве представляет собой совокупность пар , где - степень принадлежности территории множеству , которая может трактоваться как субъективная вероятность. Большие значения соответствуют территориям, в большей степени отвечающим смыслу выбранной нечеткой переменной.

При наличии информации о структуре риска степени опасности территории может определяться раздельно по видам опасности, например, природной и техногенной, а затем производится объединение получаемых оценок.

Для вычисления степеней принадлежности территорий нечеткому множеству воспользуемся методом попарных сравнений по качественному признаку с количественной оценкой предпочтения. Для получения матриц попарных сравнений проводят опрос экспертов относительно того, насколько, по их мнению, территория более соответствует смыслу нечеткой переменной “опасная территория”, чем территория . Для выставления оценок wij эксперт с помощью шкалы Т. Саати (табл. 8), сравнивает предполагаемые им опасности пары территорий.

Для повышения достоверности вычисляемых относительных весов территорий могут быть использованы следующие способы:

1) для снижения субъективности оценок, полученных одним экспертом, привлечение к выставлению оценок группы из z экспертов. При этом в качестве относительных весов территорий по рассматриваемому признаку принимаются усредненные или вычисленные с учетом компетентности экспертов относительные веса территорий, полученные каждым из членов группы;

Таблица 8

Шкала попарных сравнений Саати

Значение wij	Определение	Пояснение
1	Территории одинаково опасные (безопасные)	Территории обладают примерно одинаковой опасностью
2	Промежуточное значение
3	Слабое превосходство	Эксперт считает, что опасность первой территории пары несколько выше, чем второй
4	Промежуточное значение
5	Сильное превосходство	Эксперт считает, что опасность первой территории пары определенно выше, чем второй
6	Промежуточное значение
7	Явное превосходство	Эксперт считает, что опасность первой территории пары явно выше, чем второй и статистика это подтверждает
8	Промежуточное значение
9	Абсолютное превосходство	У эксперта нет никаких сомнений относительно того, что опасность первой территории пары значительно выше, чем второй

2) оценка согласованности мнений экспертов с целью определения возможности использования полученных результатов. Для этого вычисляют коэффициенты вариации

где wij(l) - элементы матрицы W(l), полученной от l-го из z экспертов; - их усредненные значения. Согласованность считают удовлетворительной при " ij и хорошей при " ij. В случае неудовлетворительной согласованности экспертам предлагается критически оценить результаты сравнений территорий и, при необходимости, внести коррективы. После этого повторяется обработка вновь заполненных матриц попарных сравнений и оценивается согласованность.

В результате экспертного оценивания получим z матриц попарных сравнений, которые в общем случае не являются транзитивными.

Обработка матриц попарных сравнений. В качестве весов, полученных в результате экспертного оценивания, принимают компоненты максимального собственного вектора матрицы попарных сравнений W, для вычисления которых используют точный и приближенный способы.

Точный способ. Пусть - максимальный собственный вектор матрицы W. С целью вычисления его компонент решим уравнение

, (14)

где - собственное число матрицы W.

Перепишем (14) в координатной форме:

. (15)

С учетом того, что при , представим (15) в виде системы однородных уравнений:

, (16)

или, в матричной форме, , где - единичная матрица -го порядка. Известно, что система однородных линейных уравнений имеет ненулевое решение только в случае, когда определитель соответствующей матрицы равен нулю:

(17)

Разложив этот определитель, получим характеристическое уравнение -й степени относительно . Решение этого уравнения даст значений . Затем необходимо найти компоненты собственного вектора матрицы , соответствующего , для чего требуется решение системы однородных уравнений .

Пример 1. Пусть имеется матрица

попарных сравнений трех территорий. Определим компоненты максимального собственного вектора матрицы.

Решим уравнение (14) для в общем виде, для чего в соответствии с (5.16) представим его в виде системы однородных уравнений

(18)

Далее из уравнения (17) определим . Раскрывая определитель, получим:

(19)

Пусть . Тогда уравнение (19) принимает вид неполного кубичного уравнения

.

Его корни определяются по формулам

, (20)

где .

Анализ (19) показывает, что при невыполнении условия транзитивности матрицы и , а при выполнении этого условия и . Это соответствует утверждению о том, что для идеальной матрицы имеет место равенство , а для нетранзитивной матрицы .

Уравнение (19) при имеет один действительный корень и два сопряженных комплексных корня или при три действительных корня, по крайней мере два из которых будут равны.

Подставляя в (18) элементы матрицы , получим неполное кубичное уравнение . Обозначив , по (20) найдем: ; . Следовательно, . Подставив значение максимального собственного числа матрицы в (19), найдем компоненты максимального собственного вектора, нормированные значения которых и есть значения степеней принадлежности территорий выбранному нечеткому множеству: .

Необходимо отметить, что при попарных сравнениях четырех и более территорий приведенный способ вычисления максимального собственного вектора матрицы становится сложным для практической реализации.

Приближенный способ. Введем вектор

, (21)

компоненты которого характеризуют вес территорий, где - номер шага алгоритма. Тогда нормированный вектор определяется по формуле

, (22)

где - сумма компонент вектора .

Если - неразложимая матрица, то процедура (22) сходится, так как при , а . Вычисление компонент максимального собственного вектора осуществляют до достижения заданной точности .

Пример 2. Решим задачу примера 1 приближенным способом при . Результаты представлены в табл. 9.

Таблица 9

Значения компонент нормированного собственного вектора

qi	k
1	2	3	4
q1
q2
q3

Каждая клетка этой таблицы содержит два числа: в числителе - , в знаменателе - . Требуемая точность вычислений достигается на четвертом шаге итераций. Следовательно, с точностью компоненты собственного вектора матрицы принимают следующие значения: ;;. Приведенный алгоритм приближенных вычислений сравнительно легко реализуем на ЭВМ и позволяет путем увеличения числа итераций достичь любой заданной точности вычислений относительных весов территорий.

При удовлетворительной согласованности мнений экспертов определяются степени принадлежности территорий нечеткому множеству , значения которых равны усредненным (или вычисленным с учетом компетентности экспертов) значениям компонент максимального собственного вектора матриц попарных сравнений, нормированных на единицу: mA(qj)=qj/q1.

Методика получения информации об относительной опасности территорий, основанная на рассмотренной нечеткой модели, состоит в следующем:

выбор сравниваемых территорий;

выбор экспертов;

выбор нечеткой переменной, наилучшим образом описывающей опасность территорий;

вычисление степеней принадлежности территорий нечеткому множеству, смысл которого формализован выбранной нечеткой переменной.

Последовательность операций при этом состоит в следующем:

вычисление относительных весов территорий на основе метода попарных сравнений с количественной оценкой предпочтения;

вычисление степеней принадлежности территорий нечеткому множеству.

Вычисление относительных весов территорий производится в следующей последовательности:

выставление оценок парам территорий членами экспертной группы (заполнение матриц попарных сравнений);

обработка матриц попарных сравнений;

объединение относительных весов территорий, полученных экспертами;

оценка согласованности мнений экспертов группы.

2.1.4 Экспертная система для определения

относительной опасности территорий

Для определения относительной опасности территорий разработана экспертная система, основанная на использовании метода попарных сравнений по качественному признаку с количественной оценкой предпочтения в сочетании с нечеткой моделью. Этот метод позволяет снизить субъективность выставляемых оценок и не требует от экспертов последовательности в своих суждениях.

Для получения относительной информации выбирается нечеткая переменная, описывающая опасность территорий, и строится функция принадлежности территорий нечеткому множеству, смысл которого формализован выбранной нечеткой переменной. Для определения относительных весов территорий использована нечеткая переменная “опасная территория”.