Рабочая программа по дисциплине «Математика» (стр. 4 )

1.  Упростить и вычислить определители , .

2.  Упростить и вычислить определители ,.

3.  Решить уравнения , .

4.  Найти решение уравнений:

(1 + i)x + (2 + i)y = 5 + 3i; (3 – y + x)(1 + i) + (x - y)(2 + i) = 6 - 3i.

5.  Решить квадратные уравнения:

x2 - 4x + 13 = 0; x2 + 3x + 4 = 0; x2 + 2x + 2 = 0; 2,5 x2 + x + 1 = 0.

6.  Найти суму, разность, произведение и частное комплексных чисел z1 и z2, изобразить геометрически данные числа и результаты операций:

z1 = -2 + i, z2 = 3 + (-1)i; z1 = 2 + (-1)i, z2 = 0 + 2i; z1 = 2 + (-2)i, z2 = -1 + i.

7.  Найти модуль и аргумент следующих комплексных чисел:

,
, z = 1 + i.

8.  Представить комплексные числа в тригонометрической форме: z = 3 - 3i,

, .

9.  9. Вычислить |z|, arg(z), если

и записать z в тригонометри­ческой форме.

10.  Доказать, что:

.

11.  Извлечь корень из комплексного числа: , , .

12.  Найти тригонометрическую и алгебраическую форму для чисел:

13.  ; ; .

14.  13. Доказать, что последовательность: - бесконечно большая; - бесконечно большая; - бесконечно малая.

15.  Найти пределы:

; ; ; ;.

16.  Найти пределы:

; ; ; ; .

17.  Используя определение доказать: ; ; ; .

18.  Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

; ; ; ; ;.

19.  Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

; ; ; ;.

20.  Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):

; ; ; ;.

21.  Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя): ;

; ; ;.

22.  Определить при порядки бесконечно малых функций относительно бесконечно малой функции x: ; ; ; ; ; .

23.  Найти производные функций:

; ; ; ; .

24.  Найти производные функций: ; ; ; ; ; .

25.  Найти дифференциалы функций:

; ; ; .

26.  Найти производные третьего порядка:

; ; .

27.  Найти производные n-го порядка:

; ; ; .

28.  Найти дифференциалы указанного порядка: , ; , ; , ; , .

29.  Найти производные первого и второго порядков для функций:

, ; , ; .

30.  Найти пределы по правилу Лопиталя:

; ; ; .

31.  Найти пределы по правилу Лопиталя:

; ; ; .

32.  Разложить многочлен

по степеням x – 1 по формуле Тейлора.

33.  Разложить по формуле Маклорена:

; ;

(до x3 включительно).

34.  Исследовать функции и построить графики:

; ; .

35.  Найти интегралы:

; ; ; .

36.  Найти интегралы:

; ; ; ; .

37.  Найти площадь фигуры, ограниченной линиями f(x) = 1 – x2 и y = 0.

38.  Найти площадь фигуры, ограниченной линиями f1(x) = 1 – x2, f2(x) = x2 + 2, x = 0, x = 1.

39.  Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды .

40.  Найти площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда r = аj, где а – положительное число.

41.  Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 – x2 и y = 0.

42.  Найти длину дуги полукубической параболы y = x3/2, x = 0, x = 5.

43.  Найти длину дуги одной арки .

44.  Найти длину первого витка спирали Архимеда r = аj, где а – положительное число.

45.  Найти длину дуги кривой y = x2 – 1, отсеченной осью 0Х.

46.  Найти длину дуги кривой y= x2 от x = 0 до x = 2.

47.  Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 0Х. эллипса

48.  Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y2= 2px, x = h, вокруг оси 0Х.

49.  Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 1, y = 3x – 1, вокруг оси 0Y.

50.  Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси 0X.

51.  Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = ex, x = 0, x = 1, y = 0, вокруг оси 0X.

52.  Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, вокруг оси 0X.

53.  Часть сферы, вырезаемая двумя параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии Н друг от друга, называется шаровым поясом высоты Н. Найти площадь поверхности шарового пояса, если радиус шара равен R, а высота пояса равна Н.

54.  Найти площадь S поверхности, полученной вращением циклоиды , вокруг оси 0X.

55.  Определить работу А, необходимую для запуска тела массой m с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h.

56.  Определить работу А, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из прямого кругового цилиндра. Радиус основания цилиндра R, высота h.

57.  Проверить на сходимость интегралы:

, , , .

58.  Проверить на сходимость интегралы

, , , .

59.  Вычислить , .

60.  Вычислить , .

61.  Вычислить , .

62.  Вычислить

G – четверть круга , расположенная в I квадранте.

63.  Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.

64.  Вычислить площадь области G, ограниченной линиями y2 = x + 1,

65.  x + y = 1.

66.  Определить массу квадратной пластинки со стороной 2а, если плотность r(x, y) в каждой точке M(x, y) пропорциональна квадрату расстояния от точки М до точки пересечения диагоналей, и коэффициент пропорциональности равен k.

67.  Вычислить криволинейный интеграл , где АВ – часть окружности x = acos(t), y = asin(t), 0 £ t £ p/2.

68.  Вычислить криволинейный интеграл , где АВ – дуга параболы

y2 = 2x от точки (0; 0) до точки (2; 2).

69.  Вычислить интеграл

где АВ – четверть окружности x = cos(t), y = sin(t), 0 £ t £ p/2, А соответствует t = 0, В соответствует t = p/2.

70.  Вычислить интеграл

где L – контур прямоугольника, образованного прямыми х = 0, y = 0, x = 1 и y = 1.

71.  Вычислить интеграл

где a) АВ – прямая y = x, соединяющая точки (0; 0) и (1; 1); b) АВ – парабола y = x2, соединяющая точки (0; 0) и (1; 1).

72.  Проверить сходятся ли ряды. , ; ;.

73.  Проверить выполняется ли необходимое условие сходимости ряда

, , , .

74.  Путем сравнения с гармоническим рядом или убывающей геометрической прогрессией исследовать сходимость рядов:

, , , , .

75.  С помощью признака Даламбера исследовать на сходимость ряды

,.

76.  С помощью интегрального признака исследовать на сходимость ряды

77.  , , , .

78.  Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды

79.  ,

80.  .

81.  Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

82.  Найти радиус и интервал сходимости рядов

, , , , , ,, , ,

и исследовать их сходимость на границах интервала.

83.  Разложить в ряд Маклорена , .

84.  Разложить в ряд Маклорена , .

85.  На отрезке [–p, p] разложить в ряд Фурье функции

f(x) = {1, если –p £ х < 0;–1, если 0 £ x < p} и f(x) = х.

86.  На отрезке [–p, p] разложить в ряд Фурье функции f(x) = sin(x), f(x) = х2.

87.  Решить однородное уравнение:

; ; .

88.  Решить линейное уравнение первого порядка:

; ; ;

; ; .

89.  Решить уравнение, проверив, является ли оно уравнением в полных дифференциалах, иначе найти каким-либо способом интегрирующий множитель или сделать замену переменных:

1.  ;

2.  ;

3.  ;

4.  ;

5.  ;

6.  ;

7.  ;

8.  ;

9.  .

90.  Решить линейное уравнение с постоянными коэффициентами:

1.  ;

2.  ;

3.  ;

4.  ;

5.  ;

6.  ;

7.  ;

8.  ;

91.  Решить систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами:

; ; .

92.  Решить уравнение, допускающее понижение порядка:

; ; .

93.  Решить линейное уравнение с переменными коэффициентами, найдя общее решение, зная его частное решение:

  , ; , .

94.  Рассчитать импульсную и переходную характерис­ти­ки цепи. Определить выходной сигнал при заданном входном воздействии. Рассмотреть случаи: a) ; б) ;в) .
95.  Рассчитать импульсную характеристику колебательного контура при условии (сопротивление мень­ше критического).
96.  Рассчитать сигнал u(t) на выходе цепи, если входное воздействие i(t) имеет вид:
97.  Рассчитать спектральным методом сигнал u2(t) на выходе цепи, если входное воздействие u1(t) имеет вид: а) ; б) .
98.  Рассчитать спектральным методом сигнал u2(t) на выходе цепи, если входное воздействие u1(t) имеет вид:
99.  Полубесконечная линия с погонными параметрами L, C, R, G в момент времени t = 0 подключается к источнику напряжения u = u(0, t) (заданная функция времени). Найти ток и напряжение в произвольном сечении линии в любой момент времени для случая:
а) R = 0, G = 0 – “линия без потерь”; б) – “линия без искажений”. Начальные условия: u(x, t) = 0, i(x, t) = 0 (при t<0).	100.
101.  Линия конечной длины l, разомкнутая на конце в момент времени t = 0, подключена к источнику постоянного напряжения u(0, t) = u1(t). Считая начальные условия ну­ле­вы­ми: u(x, t) = 0, i(x, t) = 0 (при t<0) и пренебрегая потерями (R = 0, G = 0), найти напряжение u(x, t): а) в конце линии x = l; б) в середине линииx = l/2.
102.  Линия конечной длины l, имеющая в качестве нагрузки активное сопротивление r, в момент времени t = 0 подключается к источнику постоянного напряжения u(0, t) = u1(t). Считая начальные условия нулевыми: u(x, t) = 0, i(x, t) = 0 (при t<0) и пренебрегая по­те­ря­ми (R = 0, G = 0), найти напряжение u(l, t) на нагрузке для случая: а) r = z; б) r = 3z; в) r = z/3. Здесь z – волновое сопротивление линии.

103.  В урне 5 белых и 7 черных шаров. Последовательно вытаскивают 2 шара. Найти вероятность того, что они окажутся разного цвета.

104.  В урне 14 белых и 6 черных шаров. Последовательно вытаскивают 3 шара. Найти вероятность того, что хотя бы один из них черного цвета.

105.  Имеется две урны. В первой урне 3 белых и 5 черных шаров, а во второй - 7 белых и 8 черных. Из каждой урны вытаскивают по одному шару. Найти вероятность того, что они окажутся одного цвета.

106.  По гладкому столу катится однородный шар. Вследствие сил трения шар останавливается. Какова вероятность того, что шар остановится, касаясь поверхности стола заранее заданной точкой?

107.  В урне имеется 7 черных и несколько белых шаров. Какова вероятность вытащить белый шар, если вероятность вынимания черного шара равна 1/6?

108.  Какова вероятность того, что при случайном сочетании цифр 1, 2 и 3 получится число 123? Не получится числа 123?

109.  В урне имеется 1 черный шар и 4 белых шара. Шары по одному вынимаются из урны и обратно не возвращаются. Укажите, чему равны вероятности вынуть черный шар а) последним; б) третьим.

110.  Слово ПОДПРОГРАММА составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Тщательно перемешанные карточки вынимают из ящика по одной без возврата. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

111.  В урне 4 шара. К ним добавляют 2 черных. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что вынутые шары черные. Все предположения о первоначальном содержании урны равновозможны.

112.  Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших чисел равна 5.

113.  Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших чисел не меньше 5.