Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 11 )

Тема 1. Аксиоматика теории вероятностей. Алгебра событий. Подсчёт вероятностей

1.  Введение в предмет. История развития понятия вероятности и случайного события.

2.  Элементы комбинаторики. Правило суммы и произведения. Формула включений и исключений. Перестановки с повторениями и без повторений. Размещения с повторениями и без повторений. Сочетания с повторениями и без повторений. Раскладка элементов по ящикам. Раздел элементов на две группы. Распределение одинаковых элементов на несколько групп. Перестановки с ограничениями. Задача о смещении.

3.  Дискретное пространство элементарных событий. Испытание и его исходы. Полная группа событий. Случайное и достоверное событие. Элементарные и равновероятные события. Классическое, статистическое, геометрическое и аксиоматическое определение вероятности. Относительная частота события, ее устойчивость. Задача о сигнализаторе. Преимущества и недостатки определений. Измеримое множество и его свойства. Сигма-алгебра и вероятностное пространство. Общие свойства вероятности.

4.  Противоположные, независимые события, попарно независимые и независимые в совокупности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, следствия. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий. Вероятность объединения двух и более зависимых событий, следствия.

5.  Полная группа событий. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Априорная и апостериорная условная вероятности. Формула Байеса.

Тема 2. Случайные величины и их распределения. Числовые характеристики распределений

6.  Дискретная случайная величина (дсв) и ряд распределения. Повторение испытаний. Формула бернулли. Биномиальный закон распределения вероятностей. Распределение Пуассона. Поток случайных событий. Простейший поток и его свойства, интенсивность и вероятность.

7.  Геометрическое и гипергеометрическое распределение и числовые характеристики.

8.  Интегральная и дифференциальная формула Муавра-Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

9.  Числовые характеристики дсв: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, их свойства. Вероятностный и механический смысл математического ожидания и дисперсии. Числовые характеристики распределений вероятностей: биномиального, пуассоновского и геометрического. Наивероятнейшее число появлений события.

10.  Среднее арифметическое системы независимых одинаково распределенных случайных величин и ее числовые характеристики.

Тема 3. Предельные теоремы теории вероятностей

11.  Закон больших чисел: неравенство Чебышева, теорема Чебышева и Бернулли, следствие.

12.  Непрерывная случайная величина (нсв) и функция распределения. Плотность распределения, ее свойства и вероятностный смысл. Числовые характеристики нсв, их свойства.

13.  Нормальный закон распределения. Центральная предельная теорема Ляпунова. Нормальная кривая, ее свойства. Функция Лапласа, ее свойства.

14.  Вероятность попадания нормально распределенной св в заданный интервал и вероятность заданного отклонения. Правило 3-х сигм.

15.  Начальные и центральные моменты. Мода и медиана, асимметрия и эксцесс случайной величины.

16.  Функция одного случайного аргумента и ее распределение. Математическое ожидание.

17.  Функция двух случайных аргументов и ее распределение. Устойчивость нормального распределения.

18.  Распределение «хи-квадрат», Стьюдента, Фишера.

19.  Показательное распределение. Вероятность попадания в заданный интервал. Функция надежности. Характеристическое свойство показательного закона надежности.

20.  Двумерная дискретная случайная величина, ее числовые характеристики. Условные законы распределения составляющих. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Зависимые и независимые случайные величины.

21.  Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник. Плотность совместного распределения вероятностей и ее вероятностный смысл. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область. Условная плотность распределения и условное математическое ожидание. Функция регрессии.

22.  Нормальный закон распределения на плоскости. Линейная регрессия и корреляция. Нормальная корреляция.

Тема 4. Случайные процессы

23.  Случайная функция. Корреляционная теория случайных функций. Математическое ожидание и дисперсия случайных функций. Свойства

24.  Корреляционная функция случайной функции. Свойства. Взаимная корреляционная функция. Свойства.

25.  Стационарная случайная функция. Корреляционная функция стационарной случайной функции. Свойства. Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции.

26.  Спектральная теория стационарной случайной функции. Дискретный и непрерывный спектр. Спектральная плотность.

27.  Стохастические модели управления запасами. Основные факторы, учитываемые в модели. Модели с выпуклой или линейной функцией затрат. Теорема об оптимальной стратегии пополнения запасов. Случай единовременного штрафа.

Тема 5. Точечное и интервальное оценивание параметров распределений

28.  Задача математической статистики. Краткая историческая справка.

29.  Простая выборка. Метод сбора и группировки данных. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Кумулята. Полигон и гистограмма частот.

30.  Несмещенная, эффективная и состоятельная оценки. Статистические оценки параметров распределения: выборочная средняя и исправленная дисперсия, их свойства и расчет методом произведений. Построение нормальной кривой по опытным данным. Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.

31.  Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты. Условные эмпирические моменты. Метод произведений для вычисления сводных характеристик выборки.

32.  Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормальной случайной величины при известном s. Достоверность и точность оценки. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестном s.

Тема 6. Проверка статистических гипотез

33.  Основная и альтернативная гипотеза. Виды гипотез. Статистический критерий значимости, критическая область, ошибки 1-го и 2-го рода, уровень значимости и мощность критерия.

34.  Отклонение выборочной средней от заданного значения с известной и неизвестной дисперсией. Исключение выбросов. Отклонение выборочной дисперсии от заданного значения.

35.  Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. Критерий Фишера. Критическое значение в зависимости от альтернативной гипотезы.

36.  Сравнение нескольких дисперсий нормальных распределений. Критерий Бартлетта.

37.  Сравнение двух выборочных средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны и равны; не равны; неизвестны, но предполагаются равными. Практический смысл задачи.

38.  Сравнение более двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы.

39.  Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции двумерной нормальной генеральной совокупности.

40.  Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона. Методика расчета теоретических частот для показательного, равномерного распределения, биномиального и пуассоновского распределения.

41.  Проверка вероятностей, задающих полиномиальное распределение. Проверка независимости двух признаков по таблице сопряженности.

42.  Методы проверки гипотез, свободные от распределения. Критерии, основанные на знаках. Критерий Вальда-Вольфовица. Серии знаков для проверки гипотезы о случайности выборки. Критерии Вилкоксона, Манна-Уитни, Тьюки, Колмогорова-Смирнова.

Тема 7. Линейные статистические модели. Основы корреляционного и регрессионного анализа

43.  Функциональная, статистическая и корреляционная зависимость между двумя случайными величинами. Выборочное уравнение прямой линии регрессии. Выборочный коэффициент корреляции. Свойства. Методика расчета выборочного коэффициента корреляции.

44.  Выборочное корреляционное отношение. Свойства. Выборочное корреляционное отношение как мера корреляционной связи. Достоинства и недостатки этой меры.

45.  Ранговая корреляция Спирмена для двух выборок. Коэффициент конкордации Кендалла для нескольких выборок. Ранговая корреляция Кендалла.

46.  Криволинейная корреляция. Простейший случай. Понятие о множественной корреляции. Исследование множественной и нелинейной корреляции с помощью пакета программ «Статистика» .

47.  Метод выравнивания нелинейной корреляционной зависимости.

Дополнительная часть УМК

1 Краткая характеристика базового методичесКого пособия для изучения дисциплины

1.1 Аннотация методического пособия «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и прикладные задачи математической статистики»

В работе даны разработки четырнадцати практических занятий с подробным решением демонстрационных примеров и статистическими таблицами в приложении, подборка задач для самостоятельного решения с ответами и задания семестровых работ.

Методическое пособие предназначено для студентов 2 курса специальности 080801 - «Прикладная информатика в экономике» дневной формы обучения.

1.2 Структура пособия

Введение............................................................................................................. 4

Тема 1. Элементы комбинаторики......................................................................... 6

Тема 2. Случайное событие и его вероятность...................................................... 12

Тема 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей........................................ 14

Тема 4. Формула полной вероятности и формула Байеса.................................... 18

Тема 5. Дискретная случайная величина............................................................... 20

Тема 6. Числовые характеристики дискретной случайной величины.................. 23

Тема 7. Непрерывная случайная величина и числовые характеристики.............................................................................................. 26

Тема 8. Статистическая выборка и числовые характеристики случайной величины......................................................................................................... 29

Тема 9. Элементы теории корреляции................................................................... 33

Тема 10. Элементы теории статистических гипотез.............................................. 37

Тема 11. Непараметрические критерии проверки гипотез................................... 44

Тема 12. Двумерные непараметрические методы................................................. 50

Тема 13. Элементы кластерного анализа............................................................... 55

Тема 14. Деревья классификации........................................................................... 59

Список литературы...................................................................................... 64

приложение А Таблица значений функции j(х)................................................... 65

приложение Б Таблица значений функции Лапласа F(х)................................... 66

приложение В Критические точки распределения c2.......................................... 67

приложение Г Критические точки распределения стьюдента............................ 68

приложение Д Критические точки F - распределения Фишера–Снедекора при уровне значимости a = 0,05................................................................................................ 68

приложение Е Границы значимости для критерия Вальда–Вольфовица при уровне значимости a = 0,05.......................................................................................... 69

приложение Ж Границы значимости для критерия Вилкоксона при уровне значимости a = 0,01....................................................................................................... 70

приложение И Критические точки распределения Колмогорова–

Смирнова...................................................................................... 71

приложение К Критические значения коэффициента ранговой корреляции Спирмена................................................................................................ 71

приложение Л Координаты и класс 37 циклонов............................................... 72

приложение М Семестровая работа по предмету «теория вероятностей»...................................................................................... 73

приложение Н Семестровая работа по предмету «Математическая

статистика».................................................................................

2 ГЛОССАРИЙ

для изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами специальности 080801 «Прикладная информатика в экономике»

Аббревиатура - слово, образованное сокращением словосочетаний и читаемое по названию начальных букв (ПК, ИВЦ, ФИТ).

Аксиома - предложение, принимаемое без доказательства в силу его убедительности.

Аксиоматический метод – способ построения научной теории в виде системы аксиом и правил вывода (аксиоматика).

Алгебра – часть математики, развивающаяся в связи с задачами о решении алгебраических уравнений от 1-й до 4-й степени.

Алгоритм – способ решения задачи, точно определяющий, как и в какой последовательности получить требуемый результат.

Анализ математический – совокупность разделов математики, исследующий функции методами дифференциального и интегрального исчисления.

Аппроксимация – замена одних математических функций другими, более простыми, но близкими к исходным.

Асимптота – прямая, к которой ветвь функции бесконечно приближается, но ее не пересекает.

Бернулли формула (схема) – схема и формула, описывающие вероятностные результаты появления k событий в n испытаниях при их вероятности p в каждом испытании.

Больших чисел закон – общий принцип, в силу которого совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, не зависящему от отдельных случаев.

Вариация – малое смещение переменного.

Вектор – отрезок заданной длины и направления на плоскости или в пространстве.

Гаусса метод – метод последовательного исключения неизвестных для нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений.

Геометрия – раздел математики, в котором изучаются пространственные отношения (взаиморасположение), формы (тела) и их обобщения.

Гиперболоид – центральная поверхность второго порядка; гиперболоиды бывают однополостные и двуполостные.

Гистограмма – столбчатая диаграмма; один из видов графического представления эмпирического распределения.

Глоссарий – собрание непонятных слов или выражений с их толкованием.

Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и их применение к исследованию функций.

Доверительный интервал – статистическая оценка параметра распределения, границами которого служат функции от результатов наблюдений и который с высокой вероятностью «накрывает» его неизвестные значения.

Дисперсионный анализ - проверка статистической гипотезы о равенстве дисперсий двух выборок.

Закон Ципфа-Парето – закон, устанавливающий вид статистической связи между значением анализируемой величины и ее рангом в условиях свободной конкуренции. Интеграл вероятности - интеграл, используемый для табулирования функции нормального распределения.

Интегральное исчисление – раздел математики, в котором изучаются свойства интегралов и связанных с ними процессов интегрирования функций.

Интегрирование по частям – метод интегрирования произведения функций.

Исследование операций – научный метод выработки количественно обоснованных рекомендаций по принятию решения (теория принятия оптимальных решений).

Интерполяция – приближенное нахождение величины по некоторым известным значениям (восстановление функций).

Квадрант – любая из 4 - х областей прямоугольной системы координат ( 1 –ый, ..., 4 – ый квадранты).

Квантиль – одна из числовых характеристик распределения вероятностей.

Кибернетика – наука об управлении, связи и переработке информации.

Классификация многомерных наблюдений – группировка объектов в отдельные совокупности, являющиеся однородными по некоторым признакам.

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Компланарные векторы – векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Комбинаторика – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположению элементов конечного множества.

Корреляции коэффициент – числовая характеристика взаимосвязи двух случайных величин.

Крамера правило – правило решения системы n линейных уравнений с n неизвестными при помощи определителей.

Критерий – признак на основе которого производится оценка чего – либо.

Критерий оптимальности – показатель, выражающий предельную меру эффекта принимаемого решения.

Критерий Пирсона – критерий проверки статистической гипотезы о виде закона распределения случайной величины.

Критерий Стьюдента – критерий проверки статистической гипотезы о равенстве средних значений для двух выборок.

Критерий Фишера – критерий проверки статистической гипотезы о равенстве дисперсий двух выборок. Легенда – расшифровка буквенных значений, входящих в предшествующую формулу.

Линеаризация – приближенная замена (на некотором интервале) криволинейной функции ее линейной частью.

Линейное программирование – раздел математического программирования, посвященный теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных равенств и неравенств.

Маклорена ряд – приближенное представления функций f(x) путем их разложения в окрестности точки х=0.

Математическая модель – приближенное описание какого – либо класса явлений, выраженное с помощью математической символики.

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел (элементов), которая состоит из n строк и m столбцов.

Моделирование математическое – изучение практических явлений с помощью их математических моделей (символики).

Минор матрицы – определитель, полученный после вычеркивания из матрицы одной строки и одного столбца.

Множественная корреляция - статистическая связь между значениями функции и вероятностными переменными, от которых она зависит.

Муавра-Лапласа теоремы - теоремы и формулы, определяющие условия использования схемы Бернулли о вероятности появления k событий при n испытаниях (n-велико).

Надежности теория – направление прикладной математики, в которой разрабатываются методы оценки и обеспечения эффективной работы изделий (систем).

Наименьших квадратов метод – один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.

Начальные условия (для дифференциального уравнения) – состояние описываемого процесса в момент времени, принятый за начальный.

Несобственный интеграл – определенный интеграл с бесконечным пределом или интеграл от неограниченной функции.

«Неберущийся» интеграл – интеграл, который нельзя вычислить в виде суммы аналитических функций.

Неявная функция – функция, заданная уравнением вида F(x, y)=0 и явно не разрешимая относительно y или х.

Нормальное распределение – одно из важнейших распределений в теории вероятностей.

Определитель (детерминант) – математическое выражение, составленное по определенному правилу из n2 чисел для решении системы n алгебраических уравнений первого порядка.

Орт – единичный вектор.

Оптимизация – процесс выбора наилучшего варианта из возможных.

Особые точки – точки, в которых производная функции не определена, не однозначна или обращается в бесконечность.

Параболоид – центральная поверхность второго порядка; параболоид бывает эллиптический и гиперболический

Полярные координаты – числа (расстояние) и (угол), – определяющие координаты точки на плоскости.

Предел – одно из основных понятий математики, означающее, что некоторая переменная при ее изменении приближается к какому – то постоянному значению.

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремиться к нулю.

Радиан – угол, соответствующий дуге, длина корой равна ее радиусу.

Размах выборки - разность между наибольшим и наименьшим значениями результатов наблюдений.

Ранг матрицы – наибольшее число линейно независимых строк или столбцов.

Скаляр – величина, каждое значение которой может быть выражено одним числом (длина, площадь, температура, и т. д.).

Сходимость - одно из основных понятий математического анализа, означающее, что некоторый математический объект имеет предел.

Теорема – утверждение, устанавливаемое при помощи доказательства (в отличие от аксиомы).

Тест – контрольная работа для проверки знаний дисциплины.

Тейлора ряд - приближенное представления функций f(x) путем их разложения в окрестности произвольной точки х..

Уравнение каноническое – уравнение (плоскости, поверхности), записанное в классическом виде.

Уровень значимости – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при ее статистической проверке.

Условие достаточное – условие, при котором утверждение будет всегда справедливо.

Условие необходимое – условие, без которого утверждение будет неверным.