Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 9 )

Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	Z6	Z7	Z8	Z9
30,65	16,76	69,96	25,86	32,92	38,5	42,65	16,03	37,32
31,44	26,9	72,32	15,38	33,91	35,89	28,13	22,06	31,97
29,35	19,07	33,83	26,01	37,01	33,71	45,63	24,44	32,26
23,4	23,14	53,51	22,85	26,54	21,92	47,02	17,97	18,96
28,49	15,35	32,62	22,16	24,64	35,98	40,32	15,27	18,82
30,97	20,25	59,31	20,69	22,68	33,18	43,88	24,31	35,23
39,5	28,42	75,67	22,28	36,07	24,65	72,47	23,08	25,18
24,88	55,51	15,54	27,62	29,05	54,94	18,65	16,88	29,79

3 методические рекомендации для преподавателей

Преподавателю, читающему лекции, рекомендуется строить занятия в следующей последовательности:

- теоретическая часть;

- решение соответствующей практической задачи;

- предложение подобной самостоятельной задачи (вначале за партой, а затем одному из студентов – у доски), в ходе самостоятельного решения объяснять возможные ошибки;

- комментарии возможной области приложения похожих задач в прямой специальности.

Преподавателю, ведущему практические занятия, рекомендуется:

- первое занятие (в каждом семестре) посвятить проверке остаточных знаний по математике (или школьных, или за предыдущий семестр);

- текущие практические занятия строить по схеме:

- «вспомнить» соответствующую лекцию (теорию);

- задавать практические задачи (5-10 минут размышлений и вызов к доске, желательно по списку);

- давать задание «на дом»;

- периодически (по завершению очередной темы) проводить контрольные работы.

Лектору и ассистенту рекомендуется стимулировать развитие самостоятельного мышления у студентов различными педагогическими приемами, например, с помощью рейтинговой системы оценки знаний.

4 методические указания по самостоятельной работе студентов

Самостоятельная работа студентов в ходе изучения дисциплины состоит в выполнении самостоятельных работ по темам: «Теория вероятностей» и «Математическая статистика». Их своевременное выполнение является предпосылкой к обоснованию возможности допуска студента к экзаменам и оценки результатов итогового контроля.

Структура заданий по каждой из самостоятельных работ одинакова:

- в конце соответствующего (по номеру) раздела базового пособия даются контрольные вопросы и задачи;

- далее располагается таблица с графами «Вариант» и номерами от 1 до 24;

В каждой самостоятельной работе имеется 30 вариантов вопросов и задач. Вариант, предлагаемый конкретному студенту, обозначен как «номер по списку», что означает порядковый номер расположения фамилии в учебном журнале.

Каждая из самостоятельных работ должна быть выполнена не позднее, чем через неделю после окончания соответствующей темы. Выполненные работы передаются лектору или ассистенту, ведущему практические занятия. Кроме того, на кафедре МиММ есть соответствующие папки «Для самостоятельных работ студентов (далее имена соответствующих преподавателей)», куда студент может поместить выполненное задание в любое учебное время.

Порядок оформления самостоятельных работ по математике весьма демократичен:

- работы могут выполняться на скрепленных двойных тетрадных листах;

- на первой странице указываются: номер самостоятельной работы, номер группы, фамилия и имя студента, номер варианта;

- каждый из вопросов и задач формулируется в соответствии с заданием и нумеруется;

- зачеркивания и исправления допускаются (в пределах приличий).

Проверка самостоятельных работ осуществляется в течение недели; на ее титульном листе ставится отметка – зачтено или - доработать. Зачтенные работы не возвращаются, работы, нуждающиеся в корректировке – возвращаются студенту. После доработки проверка работ повторяется.

Для разъяснения непонятных вопросов лектором курса еженедельно проводятся консультации, о времени которых группы извещаются заранее. В последние годы в НФИ КемГУ нашла распространение практика индивидуально-аудиторных занятий по выполнению самостоятельных работ, при которой студентам назначается аудитория и время, в течение которого они могут выполнять самостоятельные работы в присутствии ассистентов или студентов старших курсов, дающих им квалифицированные текущие консультации.

4.1 Статистический анализ данных с помощью пакета программ

“STATISTICA”

Статистический анализ крупных баз данных связан с большими вычислительными затратами. В этом анализе полезно использовать пакет программ “STATISTICA”, который позволяет найти статистические оценки всех числовых характеристик генеральной совокупности, проверить статистическую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, построить соответствующую гистограмму распределения частот.

В случае двумерной выборки из нормальной генеральной совокупности пакет помогает построить облако данных, сгруппировать данные в виде корреляционной таблицы, найти выборочное уравнение регрессии и проверить гипотезу об отсутствии корреляционной связи компонент выборки.

Если закон распределения двумерной генеральной совокупности неизвестен, а выборка имеет малый объем, то пакет программ “STATISTICA” позволяет проверить гипотезу об отсутствии ранговой корреляции Спирмена и Кендалла.

В случае многомерной выборки можно найти уравнение множественной регрессии и выяснить значимость каждой из независимых переменных. С помощью коэффициента ранговой конкордации Кендалла можно проверить гипотезу об отсутствии корреляции многомерной выборки в целом.

С помощью критериев Вальда – Вольфовица, Манна – Уитни и Колмогорова – Смирнова можно проверить гипотезу о совпадении законов распределения двух выборок малого объема.

Пакет программ “STATISTICA” позволяет провести кластерный анализ многомерных объектов в различных метриках, построить дерево классификаций, содержащее необходимое количество вершин ветвления и т. д.

4.1.1 Статистическая оценка числовых характеристик

Для оценки числовых характеристик генеральной совокупности: средней, среднего квадратического отклонения, асимметрии и эксцесса используются соответствующие исправленные выборочные оценки: средняя, среднее квадратическое отклонение, асимметрия и эксцесс

,

, где Мк – тральные выборочные моменты к-го порядка.

Все эти оценки можно найти с помощью русифицированного пакета программ “STATISTICA”, используя следующие закладки: “Анализ” ® “Основные статистики и таблицы” ® “Описательные статистики” ® “Переменные” (выбрать столбцы или все столбцы) ® “Дополнительно” (и в открывшемся окне необходимо поставить флажки около нужных оценок: “Среднее”, “Стандартное отклонение”, “Дисперсия”, “Асимметрия”, “Эксцесс”.

Для понимания процесса статистического оценивания важно провести расчеты «вручную» методом произведений (пример 3, тема 8), сгруппировав предварительно данные, и сравнить полученные результаты с расчетами в пакете программ “STATISTICA”.

4.1.2 Проверка гипотезы о нормальном распределении

Для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по данным выборки используются закладки “Анализ” ® “Подгонка распределений” ® “Нормальное, ОК” ® “Переменные, ОК” (выбирается один столбец данных выборки) ® “Параметры” ® “Число групп, ОК” (число интервалов группировки < 12). Получим таблицу с наблюдаемыми и ожидаемыми частотами, а также наблюдаемой и ожидаемой кумулятой. В верхней части таблицы приведено наблюдаемое значение критерия Хи – квадрат, скорректированное число степеней свободы «сс» и вероятность ошибки 1-го рода. Если p < 0.05, то гипотеза противоречит данным выборки. В противном случае – не противоречит.

Для просмотра соответствующей гистограммы распределения частот возвращаемся к свернутой закладке “Подгонка непрерывных распределений” и затем, используются закладки “Быстрый” ® “График наблюдаемого и ожидаемого распределения”.

Для понимания процесса проверки статистической гипотезы важно провести расчеты «вручную» с помощью критерия согласия Пирсона (пример 1, тема 10) и сравнить полученные результаты с расчетами на ЭВМ.

4.1.3 Отыскание двумерной корреляционной связи и проверка гипотезы об отсутствии этой связи

В случае двумерной выборки из нормальной генеральной совокупности уравнение регрессии отыскивается с помощью закладок “Графики” ® “Диаграммы рассеяния” ® “Переменные, ОК” (выбираются столбцы независимой и зависимой переменной) ® “Дополнительно” (для установления значимости корреляционной зависимости необходимо поставить флажок в группе Статистики ® Корреляция и p-уровень, ОК).

Получается диаграмма рассеяния данных выборки около прямой линии регрессии. В верхней части отмечено уравнение линии, а в нижней части – выборочный коэффициент корреляции «r» и «p-уровень». Если p < 0.05, то корреляция значима. В противном случае – незначима и гипотеза об отсутствии этой связи принимается.

Построенное облако данных разделено сеткой на одинаковые прямоугольники. Это позволяет сгруппировать данные и построить корреляционную таблицу. Эти данные могут быть использованы при оценивании числовых характеристик каждой компоненты выборки.

Для понимания процесса отыскания уравнения регрессии важно провести расчеты «вручную» с помощью корреляционной таблицы (тема 9) и сравнить полученные результаты с расчетами на ЭВМ.

4.1.4 Отыскание множественной корреляционной связи

Множественная корреляционная связь отыскивается с помощью закладок “Анализ” ® “Множественная регрессия” ® “Переменные, ОК, ОК” (выбирается столбцы данных многомерной выборки, например, v1 – зависимая переменная, а v2 v7 v8 – независимые переменные) ® “Итоговая таблица регрессии”. Коэффициенты линейной зависимости для каждой независимой переменной и свободный член указаны в столбце “В”.

Если для какой-то переменной “p – уровень” > 0.05, то влияние этой переменной незначимо (соответствующая строка окрашена в черный цвет). В этом случае возвращаемся к “Переменные” и удаляем из списка независимых переменных соответствующий столбец и снова переходим к “Итоговая таблица регрессии”.

Для оценки относительной погрешности полученной многомерной зависимости проводится расчет предсказаний зависимой переменной v1 по найденной формуле, которые сравниваются с эмпирическими данными. Для этого необходимо дважды щелкнуть левой кнопкой мыши по имени нового столбца таблицы данных, например, v9. В открывшемся окне можно изменить “Имя” этого столбца, например, на «Предсказания», а в окне “Длинная метка или формула” вставить расчетную формулу линейной зависимости с найденными выше коэффициентами для каждой независимой переменной, например, =12,52+0,21*v2–0,37*v7+0,89*v8. Точно также с помощью окна “Длинная метка или формула”, куда вставляется расчетная формула =(v1–v9)/v1*100, получается новый столбец с относительными погрешностями расчета в процентах.

4.1.5 Проверка гипотезы об отсутствии ранговой корреляции

гипотеза об отсутствии ранговой корреляции двух генеральных совокупностей проверяется в случае, когда неизвестен закон распределения этих совокупностей, а двумерная выборка имеет малый объем. Гипотеза проверяется с помощью закладок “Анализ” ® “Непараметрическая статистика” ® “Корреляция Спирмена, тау Кендалла, ОК” ® “Переменные, ОК” (в открывшемся окне выбираются два столбца рассматриваемых переменных) ® “Дополнительно” ® “Спирмена R” или “Тау Кендалла”. В первом случае получаем наблюдаемое значение выборочного коэффициента ранговой корреляции Спирмена, а во втором случае – значение выборочного коэффициента ранговой корреляции Кендалла. Если ранговая корреляция значима, то результаты расчетов окрашены в красный цвет. В противном случае – в черный цвет.

гипотеза о согласованности многомерной выборки в целом проверяется с помощью коэффициента ранговой конкордации Кендала, который является мерой согласованности выборок. В этом случае ранжированные выборочные данные заносятся в строки таблицы и выбираются закладки “Анализ” ® “Непараметрическая статистика” ® “Сравнение нескольких зависимых переменных” ® “Переменные” ® “Выбрать все, ОК” ® “Ранговый ДА (дисперсионный анализ) и конкордация Кендалла”. В открывшемся окне получаем выборочный коэффициент ранговой конкордации Кендалла “Коэф. конкордации =” и вероятность ошибки 1- го рода “p”. Если p < 0.05, то ранжированные выборочные данные согласованы.

Для понимания двумерных непараметрических методов важно провести расчеты «вручную» (примеры 1 - 2, тема 12) и сравнить полученные результаты с расчетами на ЭВМ.

4.1.6 Проверка гипотезы о совпадении распределений двух выборок

гипотеза о совпадении распределений двух независимых генеральных совокупностей по данным выборок малого объема проверяется с помощью критериев Вальда – Вольфовица, Манна – Уитни или Колмогорова – Смирнова.

Для применения критериев все выборочные данные заносятся во второй столбец таблицы, а в первом столбце указывается соответствующий номер выборки. Затем используются закладки “Анализ” ® “Непараметрическая статистика” ® “Сравнение двух независимых групп” ® “Переменные, ОК”. Первый столбец выбирается в качестве независимой переменной, а второй столбец - в качестве зависимой переменной. Наконец, выбирается критерий: в случае критерия серий Вальда – Вольфовица получаем “Число серий” – наблюдаемое число серий в упорядоченных данных, относящихся к одной из выборок и р – уровень. В случае U критерия Манна – Уитни получаем “Суммарные ранги” и р – уровень. В случае критерия Колмогорова – Смирнова “Макс. Положительную разность” (максимальное по модулю отклонение эмпирических функций распределения) и р – уровень. Если при этом p < 0.05, то распределения совокупностей отличаются значимо. В этом случае результаты расчетов окрашены в красный цвет.

Для сравнения разных непараметрических критериев проверки гипотезы важно провести расчеты «вручную» (примеры 1 – 5, тема 11) и сравнить полученные результаты с расчетами на ЭВМ.

4.2 Указания по выполнению самостоятельных работ

В качестве методического пособия используется учебное пособие «Математика и статистика», изданное в 2005 г в НФИ КемГУ, автор . Существенная часть пособия посвящена изучению теории вероятностей и методам математической статистики, применению этих дисциплин в прикладных исследованиях. Каждый из разделов снабжен контрольными вопросами и задачами; в конце разделов предлагаются самостоятельные работы. Изложение не предусматривает обязательного использования дополнительной учебной литературы.

Самостоятельная работа студентов в ходе изучения дисциплины состоит в выполнении самостоятельных работ. Их своевременное выполнение является предпосылкой к обоснованию возможности допуска студента к экзаменам и оценки результатов итогового контроля.

Структура заданий по каждой из самостоятельных работ одинакова:

- в конце соответствующего (по номеру) раздела базового пособия даются контрольные вопросы и задачи;

- далее располагается таблица с графами «Вариант» и номерами от 1 до 30;

В каждой самостоятельной работе имеется 30 варианта вопросов и задач. Вариант, предлагаемый конкретному студенту, обозначен как «номер по списку», что означает порядковый номер расположения фамилии в учебном журнале.

Каждая из самостоятельных работ должна быть выполнена не позднее, чем через неделю после изучения соответствующей темы. Выполненные работы передаются лектору или ассистенту, ведущему практические занятия. Кроме того, на кафедре МиММ есть соответствующие папки «Для самостоятельных работ студентов (далее имена соответствующих преподавателей)», куда студент может поместить выполненное задание в любое учебное время.

Порядок оформления самостоятельных работ по математике весьма демократичен:

- работы могут выполняться на скрепленных двойных тетрадных листах;

- на первой странице указываются: номер самостоятельной работы, номер группы, фамилия и имя студента, номер варианта;

- каждый из вопросов и задач формулируется в соответствии с заданием и нумеруется;

- зачеркивания и исправления допускаются (в пределах приличий).

Проверка самостоятельных работ осуществляется в течение недели; на ее титульном листе ставится отметка – зачтено или - доработать. Зачтенные работы не возвращаются, работы, нуждающиеся в корректировке – возвращаются студенту. После доработки проверка работ повторяется.

Для разъяснения непонятных вопросов лектором курса еженедельно проводятся консультации, о времени которых группы извещаются заранее. В последние годы в НФИ КемГУ нашла распространение практика индивидуально-аудиторных занятий для выполнения самостоятельных работ. Студентам назначается аудитория и время, в течение которого они могут выполнять эти работы в присутствии ассистентов или студентов старших курсов, проводящих квалифицированные текущие консультации.

4.2.1 Методические указания по теме «Теория вероятностей»

В таблице приведены методические указания по выполнению самостоятельных работ по теме «Теория вероятностей».

№ п\п	Тема	На что обратить внимание (типичные ошибки)	Указания
1	2	3	4
1	Условные вероятности.	Трудности – в понимании формулы полной вероятности.	Необходимо внимательно (на примерах) изучить формулы (10.4) и (10.5) * - стр. 125, 126. Подробно разобрать на практических занятиях задачу 3 и самостоятельную задачу 3.
2	Условные вероятности.	Трудность в понимании формулы Байеса.	Те же рекомендации и решение на практических занятиях задачи 4 и самостоятельной задачи 4. Разобрать их на консультации с преподавателем.
3	Схема Бернулли.	Сложность в различении условий применений схемы Бернулли.	Порядок применения схемы Бернулли указан в таблице 10.3 (стр. 129 *). Разобрать решения практических задач – стр.130 *. На практических занятиях предложить преподавателю решать самостоятельные задачи 6,7 и 8.
4	Схема Бернулли.	Ошибки при вычислении интеграла Лапласа.	При использовании таблицы 10.2 (стр.129) иметь ввиду, что . Например, если в формуле (10.8) х1=–1, х2=1,5, то .
5	Формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.	Наибольшая сложность при использовании интегральной теоремы Муара-Лапласа.	Последовательно использовать формулу (10.9), таблицу 10.2, формулу (10.8) – стр. 128-129. Иметь виду, что
6	Комбинаторика.	Трудности в различении понятий сочетаний, размещений и перестановок.	Последовательно изучить определения 1-3, после каждого определения решить задачи 1, 2 и 3. На практических занятиях решить самостоятельные задачи 1 – 3 (стр. 132 *).
7	Числовые характеристики случайных величин.	Трудность в понимании и построении плотности нормального распределения непрерывной случайной величины.	Формула для расчета плотности имеет вид . Для приближенного построения графика вычисляются значения . Имеем: ; ; .

* Казаков и статистика: учебное пособие. [Текст]. / . - НФИ Кем ГУ: Новокузнецк, 2005. – 170 с.