Введение в управленческую экономику (стр. 6 )

б. Используя метод наименьших квад­ратов, рассчитайте уравнение регрес­сии для набора А и покажите, что рас­считанная прямая проходит через среднюю точку. Предостережение. Не округляйте никаких чисел до тех пор, пока не выполните все задание.

в. Выполните задание из пункта «б» для набора В.

6. Профессор, надеясь убедить студентов продолжить высшее образование, пору­чил им исследовать связь между полу­чаемым доходом и образованием. Его студенты обнаружили в университетской библиотеке следующие данные.

Средний	Среднегодовой
срок	ДОХОД
обучения	(• тыс. долл.)
Х	У
4	$12
5	14
б	16
7	18
8	22
10	24
12	30
14	42
15	60
17	80
20	90

а. Составьте уравнение регрессии.

б. Как изменения среднегодового дохода зависят от среднего срока обучения?

в. Критически оцените взаимосвязь между величиной среднегодового до­хода и средним сроком обучения. Можете ли вы предложить какие-либо другие переменные, которые должны быть включены?

7. Менеджер по сбыту, который работает в большом мебельном магазине, пытает­ся определить эффективность рекламы, помещенной в газете. За последние 13 недель были использованы различные площади газетного листа в целях рекла­мы распродаж основных предметов об­становки и других крупногабаритных предметов. Пусть А — количество коло­нок рекламного текста, а Q - количест­во проданных по объявлениям предме­тов. Тогда данные могут быть представ­лены в следующем виде:

SA = 1407; SQ = 403

SA2 = ; SQ2 =

SAQ =

а. Рассчитайте уравнение регрессии.

6. Рассчитайте среднюю квадратичную ошибку оценки.

в. Рассчитайте коэффициент детерми­нации.

г. Проведите оценку уравнения регрес­сии.

8. Новозеландская нефтяная компания для оценки взаимосвязи между средней дневной температурой и средней днев­ной добычей нефти собрала следующие данные.

Средняя дневная температура (оС)	Средняя дневная добыча нефти (в галлонах)
- 12	7,0
- 8	6,7
- 4	6,3
0	5,1
4	4,5
8	3,4
12	2,9
16	1,3

а. Рассчитайте оценочную линейную взаимосвязь и объясните смысл от­резка, отсекаемого ее графиком на оси координат, и смысл угла накло­на графика. Оба ли они имеют смысл?

б. Рассчитайте среднюю квадратичную ошибку оценки.

в. Сделайте прогноз средней дневной добычи нефти при средней дневной температуре 13°С.

г. Во многих случаях параметр а урав­нения регрессии не имеет экономи­ческого смысла. А как в данном слу­чае? Поясните свой ответ.

9.Так как главным в определении спроса является величина дохода политиков всегда заботит все, что может повлиять на нее. Особую тревогу представляют темпы увеличения рождаемости в раз­вивающихся странах. Предположим, что информация из 22 стран Латинской Америки и 26 стран Африки была ис­пользована для разработки регрессион­ной модели

где У – доход на душу населения;

Х – процент населения в возрасте до 15 лет.

Компьютерный расчет дал следующие результаты:

для Латинской Америки

b0 = 2170,7 SSR = ;

b1 = 42,0 SSE =;

SST = ;

для Африки

b0 = 893,57 SSR =;

b1 = 17,28 SSE =3774;

SST =;

где SSR - регрессионная сумма квадратов 1;

SSE - погрешность суммы квадратов2;

SST — полная сумма квадратов3.

а. Какой смысл для каждой модели име­ет коэффициент наклона?

б. Рассчитайте и интерпретируйте коэф­фициент детерминации для каждой модели. Какой из них лучше подхо­дит? Почему?

в. Латиноамериканский производитель желает знать, какой может быть до­ход на душу населения для страны, если численность населения в возрас­те до 15 лет уменьшилась до 12% от общего количества. Можете ли вы ответить на этот вопрос?

10. Пытаясь определить правильную цену на новую продукцию, компания поста­вила. свою продукцию на десять одно­типных рынков, имеющих одинаковые условия для реализации, по девяти раз­ным ценам. После сбора информации о результатах первого месяца реализации было составлено следующее регрессионное уравнение:

Q= 1812,11 -73,91P,

для которого коэффициент корреляции г =-0,519.

а. Зная значение коэффициента корре­ляции, можно ли с достаточной уве­ренностью сказать, что существует от­рицательная линейная связь между ценой и требуемым количеством то­вара?

б. Насколько сильна связь между ценой и требуемым количеством товара? Обсудите этот вопрос.

Ситуационная задача:

Мидлэндсюш государственный университет

11. Мидлэндский государственный универ­ситет является государственной органи­зацией, предназначенной для того, что­бы предоставить возможность получить образование всем желающим. Поэтому политика членов правления, которой придерживалось и руководство штата, состояла в поддержании платы за обу­чение для жителей штата на возможно низком уровне. Последнее повышение платы за обучение состоялось 2 года назад, и в настоящее время эта плата, составляющая 600 долл. за семестр, яв­ляется одной из самых низких в США. Тем не менее действительные затраты та­ковы, что вносимая плата составляет не более 5% затрат на одного студента. Ясно, что плата за обучение должна возрасти. Вопрос только в том, на сколько?

Пытаясь определить влияние повыше­ния платы за обучение на количество сту­дентов, управляющий университета соста­вил вопросник для изучения мнения 1000 студентов. Каждому студенту были пред­ставлены пять различных вариантов пла­ты за обучение и был задан следующий вопрос: «Останется ли он (она) в универ­ситете?» Было предложено выбрать один из следующих ответов на этот вопрос:

(1) конечно, нет, (2) вероятно, нет; (3) воз­можно, останусь; (4) весьма вероятно, что останусь; (5) скорее всего, останусь;

(6) определенно останусь. В количествен­ном выражении ответы на эти вопросы эквивалентны следующим вероятностям продолжения учебы в университете: (1) 0,0; (2)0,2; (3) 0,4; (4) 0,6; (5) 0,8 и (6) 1,0. Результаты опроса таковы.

Количество студент в каждой опрошенной категории
Плата за обучение (в семестр)
$ 700	0	25	50	225	300	400
800	50	100	100	300	250	200
900	100	150	250	250	150	100
1000	300	225	175	150	100	50
1100	500	300	125	50	25	0

Вопросы

а. Как выдумаете, сколько из 1000 опрошенных студентов останутся учиться при пяти различных вариантах опла­ты?

б. Свяжите изменения в плате за обуче­ние с ожидаемым количеством студентов и нарисуйте примерную кри­вую спроса.

в. Используйте линейный регрессион­ный анализ для оценки истинной кривой спроса.

г. При каких размерах платы за обуче­ние доход будет максимальным?

Ситуационная задача:

бакалейные магазины «Foodlond»

12. «Foodland» — это самая большая сеть бакалейных магазинов в Гонолулу, со­стоящая из девяти больших магазинов в различных районах города. Директор по сбыту собрал информацию о ценах и объеме продаж молока для десяти слу­чайно выбранных недель текущего года. Эта информация была сведена в следу­ющую таблицу.

Неделя	Объем	Цена Р
продаж Q	(в долл.
(в тыс. галлонов)	за галлон)
1	11	$2,50
2	6	3,30 .
3	5	3,10
4	13	2.60
5	10	2,70
6	16	2,10
7	6	3,00
8	12	2,80
9	18	2,10
10	20	2,20

Директор по сбыту хочет, чтобы вы рассчитали линейную регрессию с по­мощью компьютера и затем представи­ли результаты генеральному директору. Генеральный директор слабо разбирает­ся в регрессионом анализе, так что вам придется объяснить ему смысл компью­терной распечатки, обращая при этом особое внимание на использование ста­тистической терминологии. Если у вас нет доступа к компьютерной программе линейной регрессии, то задача может быть решена на калькуляторе. Вы обя­заны включить в расчет следующие дан­ные, добавляя при этом любые другие параметры:

уравнение регрессии;

точки пересечения;

коэффициент регрессии;

среднюю квадратичную ошибку оценки;

r2;

коэффициент корреляции;

сумму квадратов отклонений от ли­нии регрессии;

полную сумму квадратов;

разбросы;

объяснимую вариацию;

необъяснимую вариацию.

Дайте подтверждение вашему заклю­чению относительно надежности регрес­сионного уравнения.

ГЛАВА

ОЦЕНКА СПРОСА: МНОЖЕСТВЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Выводы

Множественный регрессионный анализ является методом анализа спроса как функ­ции независимых переменных, изменяющихся более или менее одновременно. Из-за сложности расчетов множественный регрессионный анализ лучше проводить с помо­щью компьютера. Для этой цели разработано много программ.

Статистические аспекты множественно-регрессионных моделей хорошо описаны в учебниках по статистике и эконометрике. Тем не менее при создании регрессионной модели, интерпретации и проверке ее результатов исследователю, кроме теоретичес­ких знаний в области экономики, необходимо обладать рассудительностью и вообра­жением.

Основные экономические переменные, влияющие на спрос, включают демографи­ческие факторы, покупательную способность, цены, наличие благоприятных условий для торговли и качество товара. Регрессионная модель спроса имеет вид

где Q — спрос при j-м наблюдении;

Хij— полученное при j-м наблюдении значение i-й независимой переменной;

b0 - регрессионная константа;

bi - коэффициент регрессии для i-й независимой переменной;

mj - математическое ожидание распределения погрешности при j - м наблюдении (всегда принимается равным нулю).

Компьютер выдает оценку регрессионного уравнения в виде

Q = b0 + b1X1 + b2X2 +………+ bkXk,

где Q — цена Q, а А, — оценка регрессионного параметра bi.

Сбор данных. Сбор данных — это компромисс между ценой ошибки и затратами на сбор данных. Нестрогое правило состоит в том, что минимальный размер выборки должен быть в три или в четыре раза больше количества независимых переменных. Так как регрессия очень легко может быть рассчитана на компьютере, исследователь дол­жен иметь априорные соображения о разумности включения в расчет каждой незави­симой переменной.

Интерпретация результатов. Выполнив компьютерный расчет множественной рег­рессии, исследователь должен интерпретировать и проверить полученные результаты. Проверка на правильность включает три основных вопроса.

1. Имеют ли параметры регрессии не противоречащий здравому смыслу знак и ра­зумную величину?

2. Насколько хорошо изменения спроса объясняются изменениями независимых пе­ременных — каждой по отдельности и вместе взятых?

3. Имеют ли статистическую значимость коэффициенты регрессии и уравнение рег­рессии в целом?

Оценка результатов. Компьютерная программа выдает определенную тестовую ин­формацию, которая может помочь при оценке результатов. В целом для регрессии эта информация включает в себя:

множественный коэффициент детерминации (R2)1;

среднюю квадратичную ошибку оценки;

F - критерий.

Для оценки отдельных/переменных и параметров распечатка содержит:

среднюю квадратичную ошибку каждого коэффициента регрессии;

t - критерий для каждого коэффициента регрессии;

коэффициент корреляции (r) каждой переменной со всеми остальными переменными.

Исходные предположения и специальные задачи множественного регрессионного анализа. Правильность регрессии основана на определенных исходных допущениях, касающихся входных данных. Если какие-либо из этих допущений не выполняются, то возникают особые проблемы.

Мультыколлинеарность появляется тогда, когда две переменные не являются пол­ностью независимыми друг от друга. Они изменяются настолько одинаково, что регрессия не способна провести различие между их воздействиями на Q. Решение проблемы заключается в том, чтобы убрать из регрессии одну из этих переменных.

Гетеросцедастичность возникает при невыполнении условия, что все распределе­ния погрешности должны иметь одинаковую дисперсию. Следствием является то, что обычные t- и F- критерий преувеличивают статистическую значимость "коэф­фициентов регрессии. Некоторые способы решения этой задачи рассмотрены в работах по эконометрике наряду с методами коррекции. Эти способы включают графический метод, критерий Парка и тест корреляции рядов Спирмена.

Автокорреляция. Если мы работаем с данными временных рядов, то основное допу­щение заключается в том, что события, происходящие в момент t -1, не влияют на события, происходящие в момент времени t. Если это условие не выполня­ется, то существует автокорреляция или корреляция данных, и ни F-критерий на cстатистическую значимость регрессии, ни t - критерий на статистическую значимость коэффициентов регрессии не работают, т. е. не могут дать правильного ответа.

Существуют несколько причин возникновения автокорреляции, включая явление инерции, систематические ошибки, феномен паутины, различные задержки и манипу­лирование данными в различных целях. Автокорреляция может быть выявлена путем организации выходных данных таким способом, чтобы проявилась некоторая законо­мерность в их распределении, либо с помощью d - теста Дурбина—Ватсона. Коррекция требует преобразования входных данных для уничтожения переходных эффектов с одного временного интервала на другой, следующий за ним.

Задачи

1. Объясните, в чем заключается проблема идентификации при оценке спроcа. Почему эта проблема трудно разрешима?

2.Вы проводите множественный регрессионный анализ спроса на компьютере, и распечатка показывает высокие значения R2 и t –статистики. Является ли это достаточным основанием для того, чтобы надеяться на хорошую оценку спроса? Объясните.

3. Обсудите критерии, по которым можно выявить следующие проблемы и методы их устранения:

автокорреляция;

мультиколлинеарность;

гетеросцедастичность.

4. Магазин, торгующий велосипедами, рас­положен вблизи студенческого городка одного из больших университетов. Он продает и ремонтирует велосипеды всех типов. Владелец магазина, лишь немно­го знакомый с экономическим менедж­ментом, имел привычку каждый месяц выпускать в продажу одинаковое коли­чество десятискоростных велосипедов. В результате в некоторые месяцы на­блюдалось затоваривание, а в другие — нехватка товара. Как консультант вы предлагаете прогнозировать ежемесяч­ный объем продаж с помощью уравне­ния линейной регрессии

Q = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b4X4,

где Q - оценка объема продаж за ме­сяц;

X1 - средняя продажная цена (в долл.);

X2 - средняя цена бензина (в долл.);

X3 - равен 1 в осеннем семестре, в дру­гие периоды — 0;

X4 - равен 1 в весеннем семестре, в дру­гие периоды - 01.

Использовав данные за последние 15 месяцев, с помощью компьютерной про­граммы линейной регрессии вы получите следующие результаты.

Переменная Коэффициент Средняя Т – критерий

квадратич­ная

ошибка

1 - 0, 604

2 77, 44

3 42, 84

4 14, 83

Интервал 22, 674

1,33 38.91 16,18 14,39 59,59

-0,45 1,99 2,65 1,03 0,38

Коэффициент детерминации R2 = 0,636

Средняя квадратичная ошибка = 4,4

F-критерий = 8,14

а. Напишите оценочное уравнение рег­рессии и объясните смысл оценочных коэффициентов.

б. Проверьте уравнение регрессии на полную значимость по уровню 0,05.

в. Oбъясните смысл коэффициента де­терминации.

5. Дополнение к задаче 4.

a. На следующий месяц средняя цена десятискоростного велосипеда пред­полагается в 350 долл., а средняя цена бензина - 1,35 долл. за галлон. Сколько велосипедов сможет продать магазин?

б. Рассчитайте 95%-ный доверительный интервал для вашего ответа на во­прос, заданный в п. «а».

в. Рассчитайте 95%-ный доверительный интервал для каждого параметра рег­рессионного уравнения.

6. Торговец недвижимостью из города Кона, находящегося на побережье (ост­ров Гавайи), составил линейную регрессионную модель для оценки продажной цены земли под застройку:

где Р — продажная цена (в сотнях долл.);

X1 - площадь участка (в футах2);

X2 - средняя высота участка (в футах над уровнем моря);

X3 - средний наклон участка (в градусах от горизонтали).

Компьютерная распечатка программы содержит следующую информацию.

Коэффициенты Переменная	В		Средняя квадр. ошибка
Площадь	0, 099		0, 058
Высота	0, 029		0, 006
Наклон	0, 086		0, 031
Константа	- 2, 491		1, 011
Общее значение мультипликатора R 0, 8854		Коеффициент детерминации R2 0,7838
Дисперсия
Источник	Сумма квадратов	DF	Средний квадрат	F - критерий
Регрессия	21, 409	3	7, 136	19, 339
Остаток	5, 903	16	0, 368

г. Объясните смысл коэффициента де­терминации. Учитывай его значение, уберете ли вы из модели для ее улуч­шения какую-нибудь незначимую пе­ременную?