Сборник статей выпускников (стр. 3 )

, (14)

где значения параметров получились следующими:

. (15)

При этом оказалось, что при уровне значимости 20% расчётные значения статистики (12) меньше их критических значений для всех проверяемых интервалов D. Таким образом, нет оснований отвергнуть гипотезу (9), следовательно, она была принята.

Вариант А2. В этом варианте значение А выбиралось так, чтобы минимизировать среднеквадратичное отклонение в (11) по совокупности всех трёх параметров (это делалось методом прямого поиска по А). Оказалось, что А=1, т. е. совпадает с Вариантом А1. Поэтому в дальнейшем работа ведется только с Варианом А1.

Теоретический анализ модели и метод решения

Существование и единственность решения. Метод решения

Решение уравнения (7) ищется в классе W непрерывных неотрицательных функций F на . В равномерной метрике:

(19)

пространство W полно.

Правая часть уравнения (7) (при подстановке V:=) определяет оператор Беллмана B: ®. При естественном упорядочении в

оператор B, очевидно, монотонен; кроме того, он обладает свойством сжатия с коэффициентом b при сдвиге функции на положительную константу, т. е. при любом a³0

Поэтому в силу теоремы Блэкуэлла (Stokey, 1993, теорема 3.3) оператор B является сжатием в метрике (19) с коэффициентом b. Согласно принципу сжимающих отображений (Stokey, 1993, с.73), “всякое сжимающее отображение, определённое в полном метрическом пространстве, имеет одну и только одну неподвижную точку”: поэтому уравнение имеет одно и только одно решение, обозначим его V. Более того, в силу того же принципа итеративная последовательность

(20)

сходится к V при любой начальной функции .

Аналитически показывается, что функция M(w):= монотонна (не убывает) по обеим переменным и выпукла вверх по переменной s. Можно было бы ожидать, что такова же будет и функция выигрыша. И действительно, оказалось, что функция выигрыша (3) – монотонна; что же касается утверждения о выпуклости, то оно не всегда верно ввиду специфики функции a(z), входящей в закон распределения спроса (а тем самым – и продаж). Дело в том, что объём продаж h входит не только в положительное слагаемое, описывающее выручку (с), но и участвует в образовании нового состояния и, следовательно, влияет (отрицательным образом, согласно (6)) на значение .

Решение уравнения (7) строится итеративным методом (20) при нулевой начальной функции ; тогда последовательность {} монотонно возрастает по k. Для удобства расчётов целесообразно перейти к относительным единицам. В качестве единиц измерения выбираются следующие:

 для денежных переменных z, u, d, V – величину (руб.),

 для объёмных переменных s, x, h, x, a – величину = (штук),

 для цен c, p – величину d:=/ (руб./шт.), интерпретируемую как удельные затраты на рекламу.

В этих единицах модель безразмерна, причём фазовое пространство (s, z) становится единичным квадратом в R.

При составлении алгоритма фазовое пространство дискретизировалось, в нём была введена равномерная сетка mxn с целочисленными координатами (i, j) – дискретным аналогом состояния w=(s, z). Случайная переменная h (см. (4)) также подверглась дискретизации (обозначим её дискретный аналог через q): на основе (4), (9) при каждом вычислялся соответствующий набор вероятностей:

; (21)

здесь - шаг по дискретной сетки.

Итак, численное решение уравнения (7) ищется на равномерной дискретной сетке, покрывающей пространство состояний , методом последовательных приближений. Для расчетов использовалась программа, написанной на языке PASCAL.

Представление результатов

Результатом расчёта являются функционал V и оптимальная стратегия =(X, U), т. е. таблицы , определённые на дискретной фазовой сетке. По этим таблицам для любого состояния ~(i, j) фирма определяет свой выигрыш v и оптимальные значения объёма закупаемого товара х и вложений в рекламу u. Значение v представлено в безразмерных (относительных) денежных единицах. Что же касается пары q=(x, u), то (с учётом Примечания 1. она дискретизировалась аналогично состоянию w, её дискретный аналог для простоты будем обозначать теми же буквами. Выдача результатов даётся в дискретной форме, так что xÎ[0, m], uÎ[0, n].

Ещё одной важной результирующей таблицей является поле предельных вероятностей Pi =(). Значение интерпретируется как вероятность того, что в выбранный наудачу отдалённый момент времени t система будет находиться в состоянии w ~ (i, j) (т. е. как частота попадания системы в состояние (i, j) при длительном функционировании). Поле Pi вычисляется как стационарное распределение вероятностей p(w) марковской цепи с переходными вероятностями , порождёнными правилом перехода (6) при оптимальном управлении =(X, U), т. е. p(w) есть решение уравнения

. (22)

Примечание 3. Итеративный алгоритм решения уравнения (22) предполагает эргодичность системы в целом (т. е. нераспадение фазового пространства W на несвязные эргодические классы).

Анализ исходных данных и полученных результатов

В безразмерной модели исходная информация (помимо функции отклика а(z), полученной в методическом варианте А1) задаётся четвёркой безразмерных параметров {b, c, p, d}. Первый из них – коэффициент дисконтирования b – является макроэкономической характеристикой экономической среды, в которой действует фирма, и поэтому мы считаем его неварьируемым; полагаем b=0.9. Тройка же {с, p, d} характеризует ситуацию на рынке производимого фирмой товара, то есть является вариабельной микрохарактеристикой. В экспериментальных расчётах результирующие матрицы {V, X, U, Pi} были получены для широкого диапазона значений тройки {с, p, d}.

Параметрическое пространство и его разбиение

В методологическом исследовании, каковым является данная работа, наиболее важным является изучение зависимости решения от исходных параметров модели. Существенную роль в этом играет удачный выбор параметрических координат.

Основной координатой является, естественно, цена продаж c. В безразмерной шкале значение с=1 соответствует удельным затратам на рекламу d. В качестве второй координаты пространства параметров П оказалось удобным взять отношение цен закупки и продаж (p/c). Третья координата в анализе представлена отношением d/p. Если записать затратную характеристику (8) в форме

(23)

то отношение d/p выступает как дополнительный объём (нагрузка) к покупаемому объёму товара х.

Руководствуясь содержательным смыслом выбранных параметров, логично предположить, что тривиальные области (при малом с фирме придется уйти с рынка – «минор»; противоположный тривиальный случай – большие с – «мажор») в пространстве П:=(с, p/c) имеют следующий вид (рис. 2):

Рис. 2

Между минорной и мажорной областями находится «рабочая зона» - область нетривиальных решений, границы которой – возрастающие кривые, имеющие общую горизонтальную асимптоту p/c=p/c'.

В результате проведенных расчетов общая картина подтвердилась и обозначились конкретный границы (рис. 3).

Значимым ценовым диапазоном оказался интервал [5, 105]; вне этого интервала фирма либо сворачивает свою деятельность и уходит с рынка (при с<5, это «минорная» ситуацию), либо (при c>105) работает с максимальной интенсивностью – «мажорная» ситуация. В «мажорной» ситуации фирме есть смысл подумать о расширении своих возможностей (об увеличении ).

Значимым диапазоном второго параметра оказался интервал [5, 85]%. В качестве отношения d/p были взяты значения 0.2 и 0.3.

Таким образом, при каждом из двух значений d/p=0.2 или 0.3 величины d/p пространство значимых пар параметров (c, p/c) есть прямоугольник П:=[5, 105]´[5, 85]%. Численный эксперимент показал, что внутри этого прямоугольника, в его сердцевине, находится «рабочая зона», то есть такая область параметров, при которых решение задачи можно назвать нетривиальным; вне этой зоны ситуация тривиальна: это – либо «минорная» область (X(w)º0), либо «мажорная» (U(w)º1). Иначе говоря, пространство П представляет собой сумму :

П = ”минорная область” + “рабочая зона” + ”мажорная область”. (24)

Рис. 3 Параметрическое пространство (c, p/c)

Итак, подытожим. Если зафиксировать цену продаж с, а долю закупочной цены p в ней увеличивать (т. е. увеличивать p/c), то начиная с какого-то момента условия работы станут невыгодными, «минорными», фирме придётся уходить с рынка; при этом чем больше с, тем дольше фирма может продержаться на рынке, поэтому верхняя граница рабочей области на Рис.2-3 имеет именно такой вид. Аналогично, если зафиксировать долю p/c, то с ростом с условия деятельности фирмы становятся «мажорными»; причём чем больше фиксированная доля p/c, тем позже, что и объясняет вид соответствующей кривой на Рис. 2-3. Картина на Рис. 3 не столь «красива», нежели теоретический вид разбиения (рис. 2), но это можно объяснить тем, что реальные данные не всегда идеальны.

Это означает, с одной стороны, что предложенная модель адекватно отражает реальную проблему, и, с другой стороны, что ценность модели не в качественном отображении ситуации, а в количественном – эмпирическим путем были определены границы разбиения (24) и приведены схематические результаты такого расчёта (рис. 3) – это один из важнейших итоговых моментов в работе.

Анализ конкретного варианта

Выберем в качестве иллюстрации характерную параметрическую точку в рабочей зоне:

с=70, p/с=60%, d/p=0.2. (25)

Основной параметр c=70 означает, что цена продажи товара в 70 раз превышает удельные затраты на рекламу d.

Примечание 4. Отметим, что, по определению, - номинальные удельные затраты. В варианте А1 при z= (в относительной шкале это соответствует z=1) теоретическое значение функции (15) равно 0.44 (см. Рис.1), т. е. средний объём спроса (~продаж) составляет 0.44, поэтому фактические удельные рекламные затраты составят d/0.44»2.27d. Соответственно, в нашем варианте превышение цены продаж по отношению к фактическим рекламным затратам составит 70/2.27=70×0.44=25.27; иначе говоря, доля рекламных затрат в цене составит 1/25.27=3.95%, что выглядит вполне реалистичной цифрой.

Результирующие таблицы {V, X, U, Pi} даны в Приложении.

V-таблица:

Как и предсказывалось теорией, функция V монотонна по обоим аргументам; свойством же выпуклости она, как видим, не обладает. Общий диапазон изменения значений функционала для параметров (25) оказался [13,55; 54,88] (напомним, что V – это дисконтированная прибыль фирмы, измеряемая в месячных рекламных затратах ).

Примечание 5. Не следует удивляться, что в состоянии w=(0,0) функционал V=13,55 не равен нулю. Дело в том, что в модели нет ограничений, связанных с финансовым обеспечением закупок товара и его рекламной поддержки. И неявно предполагается, что к моменту начала исследования (t=0) фирма функционирует на рынке уже давно и стабильно, этап её развития и становления закончен, и существует некий достаточно большой ежемесячный бюджет фирмы (подкрепляемый ежемесячной прибылью), дальнейшее оптимальное использование которого и является нашей задачей.

Матрица Х:

В X-таблице четко выделяются две области:

- фирме нет смысла закупать новый товар () (нижняя часть матрицы, чуть расширяющаяся в левом углу);

- фирма будет осуществлять закупки (большая верхняя часть матрицы).

Интересным оказался тот факт, что состояние в нашем случае никогда не достигается. Т. е. оптимальной стратегии с вариантом максимальных закупок нет. Это разительное отличие при сравнении с результатами, полученными в работе (Горшунова, 2001), в которых максимальные затраты на рекламу часто сопровождаются максимальным объемом закупок. Основная причина различий, по мнению автора настоящей работы, - это направления фирм, рассматриваемых в модели. Напомним, мы работаем с данными, полученными от Интернет-магазина, предлагающего товары роскоши. Возможно, раньше фирма часто переоценивала спрос будущих периодов и закупала товара больше, чем требовалось на рынке, в результате происходило накопление, которого хватит еще на какое-то время. Еще один вариант – компания намеренно закупала больше по каким-либо причинам, особенно если учесть, она работает с «непортящимся» товаром, который всегда пользуется спросом.

Отметим также, что в область нулевых закупок xopt входит плавно – убывая по s (при фиксированном z).

U-таблица:

На U-таблице чётко выделенных областей не наблюдается. Зато очевиден тот факт, что в большинстве случаев на рекламные мероприятия следует направлять очень близкий к максимальному (U[23,34]) объем средств.

Отметим, что максимальные рекламные вложения (U=n=34) находятся в основном в нижней левом углу матрицы, что соответствует нулевым закупкам в X-таблице. Т. е. такая стратегия означает, что даже при максимальных рекламных вложениях фирма может удовлетворить максимальный спрос и не осуществляя закупок, т. к. велик запас товара на складе. Но это только один из возможных вариантов оптимальной стратегии, а насколько он реален, следует из рассмотрения следующей таблицы, также полученной в результате проведенных расчетов.

Матрица Pi:

Показывает стационарное поле предельных вероятностей p; оно удовлетворяет уравнению (22).

Носитель распределения Pi, т. е. множество слегка заштрихован на Pi, X, и U-таблицах.

В целом значения p(w) колеблются от 0 до 0,0417. Наибольшие вероятности приходятся на значения в области i [11, 19], j[31, 33], причём максимальная вероятность равна p(w)|w=(19,33)=0,0417. В данной точке оптимальной стратегией будет сочетание практически максимальных затрат на рекламу и закупок в размере примерно 37% от объема, который может вместить склад.

Если же вернуться к области с наибольшими значениями p(w), то становится ясно, что наиболее вероятны такие оптимальные стратегии, которые сочетают в себе близкие к максимальным рекламные затраты и закупки, равные примерно 0,5smax. Одна из причин фигурирование во всем оптимальных стратегиях значительных рекламных затрат видится в специфике деятельности рассматриваемой фирмы. Предметы роскоши относятся к так называемым товарам высшей категории или нормальным товарам, т. е. к таким товарам, спрос на которые растет с увеличением дохода. Поскольку «грамотная» реклама базируется на знании глубин психологии, то в случае с предложением товаров роскоши важно вовремя и правильно сообщить потребителю о продукте, пока он решает, во что ему вложить средства, полученные вследствие увеличения дохода. Это и объясняет целесообразность весомых ежемесячных вложений в рекламную деятельность компании.

Помимо матриц, позволяющих определить оптимальную стратегию фирмы, важными итоговыми результатами расчётов являются средние во времени значения экономических показателей:

- среднее значение функционала

- средний месячный объём закупок (28)

- средний месячный объём продаж

- среднее месячное значение рекламных затрат.

Все эти величины рассчитываются как математическое ожидание по пространству состояний W с распределением Pi, например, .

Отметим, что из (22) и вытекающей из (6) формулы фактической продажи следует равенство . Также имеет место быть равенство :

В рассматриваем варианте средние значения этих величин (в относительных единицах) получились следующими:

=43,325 , ==0.3658 , ==0.9718.

Кроме того, полезно знать также среднюю частоту закупок, т. е. вероятность того, будет ли данный месяц "закупочным" или "выжидательным"; эта величина равна в данном варианте=0,9066. Поэтому среднее время выжидания, т. е. период между закупками, составитмес. Иными словами рассматриваемой компании целесообразно производить закупку практически каждый месяц.

В итоге, проиллюстрированный вариант убедительно свидетельствует об адекватном отображении проблемы в предложенной модели.

Заключение

Результатами проделанных расчетов по выбранной модели можно назвать следующие пункты:

1.  получены и представлены возможные траектории системы в предельном стационарном режиме;

2.  оценен выигрыш, получаемый фирмой за счет использования оптимальной стратегии;

3.  определена рабочая зона;

4.  посчитаны средние экономические характеристики для исследуемой системы;

5.  проанализированы выходные данные: матрица объема закупок, затрат на рекламу, матрица выигрыша и поле предельных вероятностей;

6.  рассмотренная в настоящей работе методология даёт простой способ построения конкретной методики оптимизации рекламных и закупочных затрат торговой фирмы;

7.  значения параметров c, p и d, а также вид функции распределения спроса каждая фирма должна выбирать сама, исходя из особенностей своей деятельности и из имеющихся у неё статистических данных.

Полученные на основе проведенного исследования результаты могут найти непосредственное применение в практике работы рассмотренной фирмы, либо любой другой, при условии адаптации модели к ней.

Для большего соответствия реальной ситуации в модель стоит ввести также учёт эффекта накопления действия рекламы, а также задержки между моментом выхода рекламы и появлением отклика на неё со стороны потребителей.

Матрица X (объем закупок) c=70, p=60%c, d=0,2
	j=0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34
i=0	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	18	19	19	19	i=0
1	18	18	18	18	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	18	18	19	19	1
2	17	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	19	18	18	18	18	2
3	16	17	17	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	3
4	15	16	17	17	17	17	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	4
5	14	15	16	16	17	17	17	17	17	17	17	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	5
6	13	14	15	16	16	16	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18	17	18	18	18	6
7	12	13	14	15	15	16	16	16	16	16	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	7
8	11	12	13	14	15	15	15	16	16	16	16	16	16	16	16	16	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	8
9	10	11	12	13	14	14	15	15	15	15	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	17	17	17	17	17	17	17	16	17	17	17	9
10	9	10	11	12	13	13	14	14	15	15	15	15	15	15	15	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	10
11	8	9	10	11	12	13	13	13	14	14	14	14	15	15	15	15	15	15	15	15	15	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	16	11
12	7	8	9	10	11	12	12	13	13	13	14	14	14	14	14	15	15	15	15	15	15	15	15	16	16	16	16	16	16	16	16	15	16	16	16	12
13	0	7	8	9	10	11	11	12	12	13	13	13	13	14	14	14	14	15	15	15	15	15	15	15	15	15	16	16	16	16	16	15	16	16	16	13
14	0	0	7	8	9	10	11	11	11	12	12	12	13	13	14	14	14	14	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	16	14
15	0	0	0	7	8	9	10	10	11	11	11	12	13	13	13	13	14	14	14	14	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15	15
16	0	0	0	0	7	8	9	9	10	10	11	12	12	12	13	13	13	14	14	14	14	14	14	14	14	14	14	14	14	14	14	14	14	14	14	16
17	0	0	0	0	7	7	8	9	9	10	11	11	12	12	12	13	13	13	13	13	13	13	13	13	13	13	13	13	13	13	13	13	13	13	13	17
18	0	0	0	0	0	0	7	8	8	9	10	11	11	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	18
19	0	0	0	0	0	0	0	7	7	9	9	10	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	19
20	0	0	0	0	0	0	0	0	7	8	9	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	20
21	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	8	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	9	21
22	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	22
23	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	23
24	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6	24
25	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	5	25
26	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	26
27	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	27
28	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	28
29	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	29
30	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	30

Матрица U (затраты на рекламу) c=70, p=60%c, d=0,2
	j=0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34
i=0	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	30	31	32	32	i=0
1	33	32	32	32	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	30	31	32	32	1
2	33	33	33	33	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	30	31	32	32	2
3	33	33	32	33	33	33	33	33	33	33	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	30	31	32	32	3
4	33	33	33	33	32	32	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	32	30	31	32	32	4
5	33	33	33	32	33	33	33	32	32	32	32	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	30	31	32	32	5
6	33	33	33	33	33	32	33	33	33	33	33	33	33	32	32	32	32	32	32	32	32	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	30	31	32	32	6
7	33	33	32	33	33	33	33	33	33	32	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	32	32	32	32	32	32	32	30	31	32	32	7
8	33	33	32	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	32	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	30	31	32	32	8
9	33	33	32	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	30	31	32	32	9
10	33	33	32	32	33	32	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	30	31	32	32	10
11	33	33	32	32	33	33	33	32	33	33	33	32	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	30	31	32	33	11
12	33	33	32	32	32	33	32	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	30	31	32	33	12
13	24	33	32	32	32	33	32	33	32	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	30	31	32	33	13
14	26	24	32	32	32	33	33	33	32	33	33	32	33	33	33	33	33	33	34	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	30	31	32	33	14
15	27	25	23	32	32	32	33	32	33	33	32	33	33	33	33	33	33	33	33	33	34	34	34	34	34	34	33	33	33	33	33	33	31	32	33	15
16	29	27	25	24	32	32	33	32	33	32	33	33	33	33	33	33	33	34	34	34	34	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	30	31	32	33	16
17	32	28	26	25	33	32	33	33	33	33	33	33	33	33	33	34	34	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	30	31	32	33	17
18	32	32	28	26	25	24	33	33	32	33	33	33	33	34	34	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	32	29	30	31	32	32	18
19	33	32	31	28	26	25	25	33	32	33	33	33	34	33	33	33	33	33	33	33	33	33	33	32	32	32	32	32	32	32	29	30	31	32	32	19
20	33	33	32	31	28	27	26	25	33	33	33	34	34	33	33	33	33	33	33	33	32	32	32	32	32	32	32	32	32	28	29	30	31	31	31	20
21	34	33	32	32	31	29	27	26	26	25	33	34	33	33	33	33	33	33	33	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	28	29	30	31	31	31	21
22	34	34	33	32	32	31	30	29	27	26	26	34	33	33	33	33	33	33	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	28	29	30	30	30	30	22
23	34	34	34	33	32	32	31	31	29	29	27	26	33	33	33	33	32	32	32	32	32	32	32	32	32	32	31	31	28	28	29	30	30	30	30	23
24	34	34	34	33	33	32	32	31	31	30	29	29	28	27	26	33	32	32	32	32	32	32	32	32	31	31	31	31	28	28	29	30	30	29	29	24
25	34	34	34	34	33	33	32	32	32	31	31	30	29	29	29	28	27	32	32	32	32	32	32	31	31	31	31	31	28	28	29	29	29	29	29	25
26	34	34	34	34	34	34	33	33	32	32	32	31	31	30	30	29	29	29	28	28	28	27	31	31	31	31	31	27	28	28	29	29	29	29	29	26
27	34	34	34	34	34	34	33	33	33	32	32	32	31	31	31	30	30	29	29	29	29	28	28	28	24	25	26	26	26	26	26	26	26	26	25	27
28	34	34	34	34	34	34	34	33	33	33	32	32	32	32	31	31	31	30	30	29	29	29	29	29	29	25	26	27	27	27	27	27	27	26	26	28
29	34	34	34	34	34	34	34	34	34	33	33	33	32	32	32	32	32	31	31	31	31	30	30	29	29	29	26	27	28	28	28	28	28	28	27	29
30	34	34	34	34	34	34	34	34	34	34	34	33	33	33	33	32	32	32	32	32	32	31	31	31	31	31	30	27	28	29	29	29	29	29	29	30

Матрица Pi (поле предельных вероятностей) c=70, p=60%c, d=0,2
	j=0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34
i=0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0103	0,0070	0,0079	0,0057	0	0	0	0	0	i=0
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0007	0,0005	0,0005	0,0004	0	0	0	0	0	1
2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0007	0,0005	0,0005	0,0004	0	0	0	0	0	2
3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0007	0,0005	0,0006	0,0004	0	0	0	0	0	3
4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0008	0,0010	0,0029	0,0067	0	0,0006	0	0	0	4
5	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0008	0,0006	0,0030	0,0074	0	0,0010	0	0	0	5
6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0009	0,0006	0,0033	0,0047	0,0036	0,0011	0	0	0	6
7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0010	0,0007	0,0035	0,0030	0,0060	0,0012	0	0	0	7
8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0010	0,0007	0,0027	0,0032	0,0065	0,0003	0,0020	0	0	8
9	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0011	0,0008	0,0029	0,0034	0,0026	0,0047	0,0021	0	0	9
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0012	0,0008	0,0031	0,0036	0,0027	0,0050	0,0022	0	0	10
11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0012	0,0009	0,0020	0,0039	0,0029	0,0030	0,0171	0	0	11
12	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0013	0,0009	0,0021	0,0045	0,0031	0,0037	0,0135	0,0020	0	12
13	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0014	0,0010	0,0023	0,0030	0,0041	0,0064	0,0090	0,0053	0	13
14	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0015	0,0011	0,0024	0,0032	0,0108	0,0047	0,0123	0,0075	0	14
15	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0016	0,0011	0,0026	0,0034	0,0093	0,0135	0,0155	0,0211	0	15
16	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0017	0,0012	0,0027	0,0036	0,0102	0,0235	0,0080	0,0245	0	16
17	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0018	0,0013	0,0029	0,0038	0,0055	0,0067	0,0142	0,0186	0	17
18	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0019	0,0014	0,0031	0,0040	0,0054	0,0047	0,0079	0,0314	0	18
19	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0020	0,0014	0,0033	0,0043	0,0046	0,0050	0,0065	0,0417	0	19
20	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0021	0,0015	0,0035	0,0046	0,0049	0,0054	0,0069	0,0079	0	20
21	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0023	0,0016	0,0037	0,0049	0,0052	0,0057	0,0074	0,0083	0	21
22	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0024	0,0017	0,0040	0,0052	0,0055	0,0060	0,0077	0,0087	0	22
23	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0026	0,0018	0,0042	0,0055	0,0058	0,0064	0,0082	0,0085	0	23
24	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0027	0,0020	0,0045	0,0058	0,0060	0,0068	0,0087	0,0083	0	24
25	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0029	0,0021	0,0048	0,0062	0,0064	0,0073	0,0083	0,0080	0	25
26	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0031	0,0022	0,0051	0,0066	0,0064	0,0076	0,0088	0,0076	0	26
27	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0033	0,0024	0,0054	0,0070	0,0065	0,0078	0,0094	0,0067	0	27
28	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0004	0,0025	0,0058	0,0075	0,0065	0,0072	0,0100	0,0064	0	28
29	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0002	0,0062	0,0079	0,0065	0,0068	0,0105	0,0060	0	29
30	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,0002	0,0038	0,0084	0,0066	0,0059	0,0103	0,0044	0	30

V (дисконтированная прибыль) c=70, p=60%c, d=0,2
	j=0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34
i=0	13,6	13,6	13,6	13,6	13,6	13,6	13,6	13,6	13,6	13,6	13,6	13,6	13,6	13,6	13,6	13,7	13,7	13,7	13,7	13,7	13,7	13,7	13,7	13,7	13,7	13,8	13,8	13,8	13,8	13,8	13,8	13,8	13,8	13,6	13,6	i=0
1	14,7	15	15,1	15,1	15,1	15,1	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	15,2	1
2	15,9	16,3	16,5	16,6	16,6	16,7	16,7	16,7	16,7	16,7	16,7	16,7	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	16,8	2
3	17,1	17,6	17,8	18	18,1	18,1	18,2	18,2	18,2	18,2	18,3	18,3	18,3	18,3	18,3	18,3	18,3	18,3	18,3	18,3	18,3	18,4	18,4	18,4	18,4	18,4	18,4	18,4	18,4	18,4	18,4	18,4	18,4	18,4	18,4	3
4	18,2	18,8	19,1	19,3	19,5	19,5	19,6	19,7	19,7	19,7	19,8	19,8	19,8	19,8	19,8	19,8	19,8	19,9	19,9	19,9	19,9	19,9	19,9	19,9	19,9	19,9	19,9	19,9	19,9	19,9	19,9	19,9	19,9	20	20	4
5	19,4	20	20,4	20,6	20,8	20,9	21	21,1	21,1	21,2	21,2	21,2	21,3	21,3	21,3	21,3	21,3	21,4	21,4	21,4	21,4	21,4	21,4	21,4	21,4	21,4	21,4	21,4	21,5	21,5	21,5	21,5	21,5	21,5	21,5	5
6	20,6	21,2	21,6	21,9	22,1	22,3	22,4	22,4	22,5	22,6	22,6	22,7	22,7	22,7	22,8	22,8	22,8	22,8	22,8	22,9	22,9	22,9	22,9	22,9	22,9	22,9	22,9	22,9	23	23	23	23	23	23	23	6
7	21,7	22,3	22,8	23,2	23,4	23,6	23,7	23,8	23,9	24	24	24,1	24,1	24,1	24,2	24,2	24,2	24,3	24,3	24,3	24,3	24,3	24,4	24,4	24,4	24,4	24,4	24,4	24,4	24,4	24,4	24,5	24,5	24,5	24,5	7
8	22,9	23,5	24	24,4	24,6	24,8	25	25,1	25,2	25,3	25,4	25,4	25,5	25,5	25,6	25,6	25,6	25,7	25,7	25,7	25,8	25,8	25,8	25,8	25,8	25,8	25,9	25,9	25,9	25,9	25,9	25,9	25,9	25,9	26	8
9	24,1	24,7	25,2	25,6	25,9	26,1	26,3	26,4	26,5	26,6	26,7	26,8	26,9	26,9	27	27	27	27,1	27,1	27,1	27,2	27,2	27,2	27,2	27,3	27,3	27,3	27,3	27,3	27,3	27,3	27,4	27,4	27,4	27,4	9
10	25,2	25,8	26,4	26,8	27,1	27,4	27,5	27,7	27,8	27,9	28	28,1	28,2	28,3	28,3	28,4	28,4	28,4	28,5	28,5	28,6	28,6	28,6	28,6	28,7	28,7	28,7	28,7	28,7	28,8	28,8	28,8	28,8	28,8	28,8	10
11	26,4	27	27,6	28	28,3	28,6	28,8	29	29,1	29,2	29,3	29,4	29,5	29,6	29,7	29,7	29,8	29,8	29,8	29,9	29,9	30	30	30	30	30,1	30,1	30,1	30,1	30,2	30,2	30,2	30,2	30,2	30,2	11
12	27,6	28,2	28,7	29,2	29,5	29,8	30	30,2	30,4	30,5	30,6	30,7	30,8	30,9	31	31	31,1	31,1	31,2	31,2	31,3	31,3	31,4	31,4	31,4	31,4	31,5	31,5	31,5	31,5	31,6	31,6	31,6	31,6	31,6	12
13	28,8	29,3	29,9	30,4	30,7	31	31,3	31,5	31,6	31,8	31,9	32	32,1	32,2	32,3	32,3	32,4	32,5	32,5	32,6	32,6	32,7	32,7	32,7	32,8	32,8	32,8	32,9	32,9	32,9	32,9	33	33	33	33	13
14	30	30,5	31,1	31,5	31,9	32,2	32,5	32,7	32,9	33	33,2	33,3	33,4	33,5	33,6	33,6	33,7	33,8	33,8	33,9	33,9	34	34	34,1	34,1	34,1	34,2	34,2	34,2	34,3	34,3	34,3	34,3	34,4	34,4	14
15	31,2	31,7	32,3	32,7	33,1	33,4	33,7	33,9	34,1	34,3	34,4	34,5	34,7	34,8	34,9	34,9	35	35,1	35,1	35,2	35,3	35,3	35,4	35,4	35,4	35,5	35,5	35,6	35,6	35,6	35,6	35,7	35,7	35,7	35,8	15
16	32,4	33	33,5	33,9	34,3	34,6	34,9	35,1	35,3	35,5	35,6	35,8	35,9	36	36,1	36,2	36,3	36,4	36,4	36,5	36,6	36,6	36,7	36,7	36,8	36,8	36,8	36,9	36,9	36,9	37	37	37	37,1	37,1	16
17	33,6	34,2	34,7	35,1	35,5	35,8	36,1	36,3	36,5	36,7	36,9	37	37,2	37,3	37,4	37,5	37,6	37,6	37,7	37,8	37,9	37,9	38	38	38,1	38,1	38,1	38,2	38,2	38,3	38,3	38,3	38,4	38,4	38,4	17
18	34,8	35,3	35,9	36,3	36,7	37	37,3	37,5	37,7	37,9	38,1	38,3	38,4	38,5	38,6	38,7	38,8	38,9	39	39,1	39,1	39,2	39,2	39,3	39,4	39,4	39,4	39,5	39,5	39,6	39,6	39,6	39,7	39,7	39,7	18
19	35,9	36,5	37,1	37,5	37,9	38,2	38,5	38,7	38,9	39,1	39,3	39,5	39,6	39,8	39,9	40	40,1	40,2	40,2	40,3	40,4	40,5	40,5	40,6	40,6	40,7	40,7	40,8	40,8	40,9	40,9	40,9	41	41	41	19
20	37,1	37,7	38,3	38,7	39,1	39,4	39,7	39,9	40,1	40,3	40,5	40,7	40,8	41	41,1	41,2	41,3	41,4	41,5	41,6	41,7	41,7	41,8	41,8	41,9	41,5	42	42	42,1	42,1	42,2	42,2	42,3	42,3	42,3	20
21	38,2	38,9	39,5	39,9	40,3	40,6	40,9	41,2	41,4	41,5	41,7	41,9	42,1	42,2	42,3	42,4	42,6	42,7	42,7	42,8	42,9	43	43	43,1	43,2	43,2	43,3	43,3	43,4	43,4	43,5	43,5	43,5	43,6	43,6	21
22	39,4	40	40,6	41,1	41,5	41,8	42,1	42,4	42,6	42,8	42,9	43,1	43,3	43,4	43,5	43,7	43,8	43,9	44	44,1	44,1	44,2	44,3	44,3	44,4	44,5	44,5	44,6	44,6	44,7	44,7	44,8	44,8	44,8	44,9	22
23	40,5	41,2	41,8	42,3	42,7	43	43,3	43,6	43,8	44	44,2	44,3	44,5	44,6	44,8	44,9	45	45,1	45,2	45,3	45,4	45,4	45,5	45,6	45,6	45,7	45,8	45,8	45,9	45,9	46	46	46	46,1	46,1	23
24	41,6	42,3	42,9	43,4	43,9	44,2	44,5	44,8	45	45,2	45,4	45,6	45,7	45,8	46	46,1	46,2	46,3	46,4	46,5	46,6	46,7	46,7	46,8	46,9	46,9	47	47,1	47,1	47,2	47,2	47,3	47,3	47,3	47,4	24
25	42,7	43,3	44,1	44,6	45	45,4	45,7	46	46,2	46,4	46,6	46,8	46,9	47,1	47,2	47,3	47,4	47,5	47,6	47,7	47,8	47,9	48	48	48,1	48,2	48,2	48,3	48,3	48,4	48,4	48,5	48,5	48,6	48,6	25
26	43,8	44,5	45,2	45,7	46,2	46,6	46,9	47,2	47,4	47,6	47,8	48	48,2	48,3	48,4	48,6	48,7	48,8	48,9	48,9	49	49,1	49,2	49,2	49,3	49,4	49,4	49,5	49,6	49,6	49,7	49,7	49,8	49,8	49,8	26
27	44,9	45,6	46,3	46,9	47,3	47,7	48	48,3	48,6	48,8	49	49,2	49,4	49,5	49,7	49,8	49,9	50	50,1	50,2	50,3	50,4	50,4	50,5	50,6	50,6	50,7	50,8	50,8	50,9	50,9	50,9	51	51	51,1	27
28	46,1	46,8	47,4	48	48,5	48,9	49,2	49,5	49,8	50	50,2	50,4	50,6	50,7	50,9	51	51,1	51,2	51,3	51,4	51,5	51,6	51,7	51,8	51,8	51,9	52	52	52,1	52,1	52,2	52,2	52,3	52,3	52,3	28
29	47,2	47,9	48,6	49,1	49,6	50	50,4	50,7	51	51,2	51,4	51,6	51,8	51,9	52,1	52,2	52,4	52,5	52,6	52,7	52,8	52,8	52,9	53	53,1	53,1	53,2	53,3	53,3	53,4	53,4	53,5	53,5	53,6	53,6	29
30	48,4	49	49,7	50,3	50,8	51,2	51,5	51,8	52,1	52,4	52,6	52,8	53	53,1	53,3	53,4	53,6	53,7	53,8	53,9	54	54,1	54,2	54,2	54,3	54,4	54,5	54,5	54,6	54,6	54,7	54,7	54,8	54,8	54,9	30

Литература и информационные источники