Математика (стр. 2 )

.

Выпишем вид общего решения линейного однородного уравнения .тогда

.

Интегрируя по частям, найдем .

.

§5. Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

. (5.1)

Если уравнение (6.1) разрешимо относительно второй производной, то получаем уравнение

. (5.2)

Общим решением дифференциальных уравнений второго порядка (5.1) или (6.2) называется функция , которое при любых значениях произвольных постоянных и обращает данное уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется такое решение, которое получается из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных и .

Частное решение уравнения второго порядка находится из общего решения при помощи задания начальных условий:

, . (5.3)

Задача отыскания частного решения уравнения (5.2), удовлетворяющего заданным начальным условиям (6.3), называется задачей Коши для дифференциального уравнения второго порядка.

§6. Линейные дифференциальные уравнения

второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно содержит искомую функцию у и её производные у' и у" в первой степени и не содержит их произведений. Общий вид такого уравнения:

у" + р(х)у'+ q(x)у = f(х). (6.1)

Функция f (х) называется правой частью уравнения. Если f (х) = 0, то уравнение

у" + р(х)у' + q(x)у = 0 (6.2)

называется линейным уравнением без правой части или однородным. Если функция f (х) отличается от нуля, то уравнение (6.1) называется линейным уравнением с правой частью или неоднородным.

Линейное однородное уравнение (6.2) обладает следующим свойством: если у1(х) и у2(х) – частные решения уравнения (6.2), то функция

(6.3)

при любых значениях постоянных С1 и С2 также является решением этого уравнения.

Два решения у1(х) и у2(х) уравнения (6.2) называются линейно независимыми, если их отношение не является постоянным числом, то есть . В противном случае у1(х) и у2(х) называют линейно зависимыми.

Проверить линейную зависимость функций можно, используя определитель Вронского, который строится по правилу

.

В общем виде . (6.4)

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 6.1. Если функции у1,…,уn линейно зависимы, то определитель Вронского тождественно равен нулю.

Теорема 6.2. Если функции у1,…,уn линейно независимы на отрезке [а,b], то определитель Вронского не обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка.

Пример 1. Выяснить существует ли линейная зависимость между функциями ; .

Решение. Выпишем и вычислим определитель Вронского =. Определитель не равен нулю, следовательно, заданные функции линейно независимы. Если же воспользоваться определением, то получаем . Таким образом, по определению функции и линейно независимы.

Пример 2. Выяснить существует ли линейная зависимость между функциями ; .

Решение. Определитель Вронского равен = , следовательно, функции линейно зависимы.

Если у1(х) и у2(х) два линейно независимых решения уравнения (6.2), то формула (7.3) дает общее решение этого уравнения.

Что касается решения неоднородного уравнения (6.1), то имеет место следующая теорема:

Теорема 6.3. Общее решение уравнения (6.1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (6.2) и какого-нибудь частного решения уравнения (6.1). Если уодн(х) = С1у1(х) +С2у2(х) есть общее решение уравнения (6.2), а Y(х) есть какое-нибудь частное решение уравнения (6.1), то

у(х) = С1у1(х) + С2у2(х) + Y(х) (6.5)

есть общее решение неоднородного уравнения (6.1)

Таким образом, чтобы найти общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка, надо предварительно найти общее решение соответствующего однородного уравнения и прибавить к нему какое-нибудь частное решение исходного уравнения.

С другой стороны, чтобы найти общее решение однородного уравнения, надо знать два линейно независимых частных решения этого уравнения. Для случая, когда р(х) и q(х) не являются постоянными числами, нахождение таких частных решений – весьма сложная

задача. Сравнительно легко найти такие решения, когда р и q постоянные числа.

6.1. Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть требуется найти общее решение уравнения

у" + ру' + qу = 0, (6.6)

где р, q – постоянные числа.

Уравнение (6.6) называется линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Общим решением уравнения (6.6) из теоремы 3 будет функция у(х) = С1у1(х) + С2у2(х), где у1(х) и у2(х) – два линейно независимых частных решения этого уравнения.

Для нахождения частных решений у1(х) и у2(х), поступим следующим образом. В силу того, что частный случай уравнения (6.6) у' + ау =0 является линейным однородным уравнением I порядка и имеет решение , предположим, что , где k некоторое постоянное число, есть решение уравнения (6.6). Выясним, при каких k эта функция удовлетворяет уравнению (6.6). Вычислим производные первого , второго порядков и подставим их в уравнение , или

(6.7)

Таким образом, чтобы функция удовлетворяла уравнению (6.6), требуется, чтобы выражение (6.7) было тождественно равно нулю. Так как сомножитель , то второй сомножитель должен быть равен нулю. Следовательно, те значения k, которые удовлетворяют уравнению

(6.8)

пригодны для составление частного решения . Уравнение (6.8) называют характеристическим уравнением. Чтобы получить его достаточно заменить в уравнении (6.6) производные соответствующими степенями неизвестной k. При решении характеристического уравнения возможны три случая:

·  корни уравнения действительные и различные;

·  корни равные;

·  корни комплексные сопряженные.

Следующие правила помогут найти решение однородного уравнения во всех трех

случаях.

Правило 1. Если корни характеристического уравнения действительные и различные (D >0), то есть , то решения и являются линейно независимыми. В этом случае общее решение уравнения (766) имеет вид:

. (6.9)

Правило 2. Если корни характеристического уравнения действительные и равные (D = 0), то решения и являются линейно зависимыми. В этом случае одно частное решение , а другое – . Общее решение имеет вид:

. (6.10)

Правило 3. Если корни уравнения комплексные (D < 0), то общее решение находится по формуле:

, (6.11)

где .

Алгоритм нахождения решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.

1. Записать характеристическое уравнение (6.8).

2. Найти корни характеристического уравнения.

3. Пользуясь правилами 1–3 выписать общее решение.

Пример 3. Решить уравнение у" + 2у' – 15у = 0.

Решение. Выпишем характеристическое уравнение . Корни этого квадратного уравнения действительны и различны: . Пользуясь правилом 1, выпишем общее решение уравнения .

Пример 4. Решить уравнение у" – 10у' + 25у = 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни действительны и равны: , тогда по правилу 2 получаем .

Пример 5. Решить уравнение у" – 4у' +13у = 0.

Решение. Характеристическое уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант D = 16 – 52 = – 36. По правилу 3 найдем , тогда .

Пример 6. Решить уравнение у" + 4у = 0.

Решение. В характеристическом уравнении дискриминант отрицателен D = 0 –16= – 16. Пользуясь правилом 3, определим и , тогда общее решение запишется в виде .

6.2. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами.

Пусть требуется найти общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

у" + ру' + qу = f (x), (6.12)

Общее решение неоднородного уравнения (6.12) равно сумме общего решения линейного однородного уравнения (6.6) и какого-нибудь частного решения уравнения (6.12). Если уодн(x) есть общее решение уравнения (6.6), а Y(х) - частное решение уравнения (6.12), то общее решение неоднородного линейного уравнения (6.12) выразится формулой:

y(х) = уодн(x) + Y(х) (6.13)

Так как алгоритм нахождения общего решения линейного однородного уравнения описан ранее, остается указать способ нахождения частного решения неоднородного линейного уравнения. Рассмотрим метод, называемый методом неопределенных коэффициентов или методом подбора.

Метод подбора позволяет находить частное решение уравнения (6.12), если известна структура этого решения, которая зависит от структуры правой части уравнения (6.12). Рассмотрим те случаи, когда метод подбора может быть успешно использован для определения частных решений уравнения (6.12) .

Правило 4.

а) Если правая часть уравнения (6.12) есть многочлен степени n и число 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение Y(х) следует искать в виде многочлена той же степени

. (6.14)

b) Если же один из корней характеристического уравнения равен 0, то частное решение Y(х) следует искать в виде произведения многочлена той же степени на х:

. (6.15)

Неопределенные коэффициенты А0,..,Аn выбираем так, чтобы после подстановки Y(х) в уравнение (6.12) получилось верное тождество.

Правило 5.

a) Если правая часть уравнения (6.12) есть показательная функция, то есть , и число m не является корнем характеристического уравнения, то частное решение можно искать в виде:

, (6.16)

где А – подлежащий определению коэффициент.

b) Если число m совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то существует частное решение вида:

. (6.17)

с) Если число m совпадает с каждым из двух корней характеристического уравнения, то частное решение представлено в виде:

. (6.18)

Правило 6.

а) Если правая часть уравнения (6.12) есть функция и числа m и n не совпадают одновременно с числами a и b (случай D < 0), то существует частное решение

. (6.19)

b) Если же числа m и n совпадают одновременно с числами a и b (m = a; n = b), то существует частное решение вида:

, (6.20)

где А и В – подлежащие определению коэффициенты.

Правило 7.

а) Если правая часть уравнения (6.12) может быть представлена в виде: , где Р1(х) и Р2(х) некоторые многочлены, а

числа m и n не совпадают одновременно с a и b , то существует частное решение

, (6.21)

где и – некоторые многочлены, степень которых равна большей из степеней многочленов Р1(х) и Р2(х).

b) Если же m = a; n = b, то существует частное решение

(6.22)

Правило 8. Если правая часть линейного неоднородного уравнения (6.12) представлена в виде суммы двух функции, то есть, дано уравнение

, (6.23)

и есть частное решение уравнения , а есть частное решение уравнения , то есть частное решение уравнения (6.23).

Алгоритм нахождения частного решения методом подбора.

1. Применяя правила 4-8 определить структуру частного решения.

2. Подставить в уравнение (6.12) и найти значение неопределенных коэффициентов, приравнивая выражения при одинаковых функциях переменной х.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение.

1). Найдем общее решение однородного уравнения . Для этого составим характеристическое уравнение , найдем его корни и по правилу 1 выпишем решение .

2). Правая часть исходного неоднородного уравнения есть многочлен второй степени. Так как , то по правилу 4 частное решение будем искать в виде . Тогда , .

3) Подставим в исходное уравнение

. Сгруппируем слагаемые

.

Приравняем коэффициенты перед неизвестными в левой и правой части:

следовательно .

Тогда – общее решение исходного уравнения.

Пример 8. Решить уравнение с начальными условиями .

Решение.

1). Найдем решение линейного однородного уравнения . Корни характеристического уравнения равны соответственно , тогда по правилу 1 общее решение однородного линейного уравнения имеет вид .

2). Правая часть исходного уравнения есть показательная функция, причем , тогда по правилу 5, пункт b) частное решение будем искать в виде . Вычислим производные I и II порядка:

, .

3) Подставим в исходное уравнение

, тогда . Окончательно получаем . + есть общее решение исходного уравнения.

4). Так как изначально заданы граничные условия, то требуется найти частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее условиям . Подставим граничные условия в найденное решение

, и , в итоге получаем систему решением которой являются числа С. Тогда + – искомое частное решение, удовлетворяющее заданным условиям.

Пример 9. Решить уравнение .

Решение.

1). Определим общее решение уравнения . Из характеристического уравнения получаем , тогда .

2). Правая часть есть функция . Заметим, что , не могут совпасть с a и b, так как характеристическое уравнение имеет действительные корни, тогда по правилу 6 пункт а) получаем вид частного решения , причем , .

3). После подстановки в исходное уравнение в исходное уравнение получаем

Сделаем группировку слагаемых

. Уравняем коэффициенты перед тригонометрическими функциями.

Тогда частное решение имеет вид , а общее решение – +.

Пример 10. Решить уравнение .

Решение.

1). Решение однородного уравнения приведено в примере 6:

, , .

2). Правая часть уравнения, причем , тогда по правилу 6, пункт b) частное решение будем искать в виде .

Вычислим и .

3). Подставим в исходное уравнение:

=

.

После приведения подобных слагаемых получаем уравнение

.

Уравняем коэффициенты перед тригонометрическими функциями.

Выпишем частное решение и общее решение исходного уравнения

, +.

Пример 11. Решить уравнение .

Решение.

1). Решим однородное линейное уравнение . Ему соответствует характеристическое уравнение , дискриминант которого . По правилу 3 найдем и . Общее решение однородного уравнения имеет вид .

2). Правая часть исходного уравнения есть функция . Поэтому, получаем совпадение коэффициентов , . По правилу 6 пункт b) частное решение будем искать в виде .

Найдем производные I и II порядка, используя формулу производной произведения

.

=.

3) После подстановки в исходное уравнение и упрощения получаем , то есть А = 0, В = 2. Тогда частное решение – , а общее решение запишется в виде +.

6.3. Метод вариации произвольной постоянной

Другим методом нахождения частного решения уравнения (6.12) является метод вариации произвольных постоянных. Этот метод применим как для уравнений с правыми частями специального вида, так и в случае функций более общего вида, в том числе и для решения линейных уравнений с переменными коэффициентами (6.1). Суть метода заключается в следующем: при найденном общем решении линейного однородного уравнения частное решение соответствующего неоднородного линейного уравнения будем искать в виде , где функции и подлежат определению. Продифференцируем выражение У(х) и приравняем нулю совокупность слагаемых, содержащих производные искомых функций и . Еще одно уравнение получится в результате подстановки Y(х) в уравнение (6.12). В итоге для нахождения неизвестных функций и получим систему уравнений:

(6.24)

Определитель этой алгебраической системы не равен нулю, так как это определитель Вронского, а значит, система имеет единственное решение – функции и . Интегрируя полученные равенства, найдем и , при этом возникающие при интегрировании постоянные будут полагать равными нулю. Тем самым будет найдено частное решение.