Математика (стр. 3 )

Алгоритм нахождения частного решения методом вариации произвольной постоянной

1.  Решить однородное уравнение.

2.  Выписать структуру частного решения в виде . (6.25)

3.  Записать систему (6.24) и найти функции и .

4.  Найти функции и путем интегрирования (произвольные постоянные, возникающие при интегрировании, положить равными нулю).

5.  Подставить и в (6.25) и выписать частное решение линейного неоднородного уравнения (6.12).

Пример 12. Решить уравнение .

Решение.

1). Решим линейное однородное уравнение . Дискриминант его характеристического уравнения отрицателен , по правилу 3) определим . Выпишем общее решение линейного однородного уравнения .

2). Выпишем структуру частного решения и запишем систему уравнений.

3).

4). Найдем функции . Тогда частное решение имеет вид , а общее решение запишется следующим образом:

.

6.4. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Уравнение

(6.26)

решается тем же способом, что и линейное однородное уравнение II порядка: составляется характеристическое уравнение

, (6.27)

находятся корни характеристического уравнения и, по следующим правилам, выписывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.

Правило 9. Если все корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение уравнения (6.26) имеет вид:

. (6.28)

Правило 10. Если какой-либо корень характеристического уравнения имеет кратность m , то в решении (6.28) соответствующие m членов заменяются слагаемым

. (6.29)

Правило 11. Если характеристическое уравнение имеет пару однократных сопряженных комплексных корней , то соответствующая пара членов в решении (6.28) заменяется слагаемым:

. (6.30)

Правило 12. Если какая-либо пара сопряженных комплексных корней имеет кратность m, то соответствующие m пар членов в решении (6.28) заменяется слагаемым:

. (6.31)

Пример 13. Решить уравнение .

Решение. Выпишем характеристическое уравнение , или воспользовавшись формулой сокращенного умножения, . Корень этого уравнения имеет кратность три: . Пользуясь правилом 10, выпишем общее решение уравнения .

Пример 14. Решить уравнение у" – 10у' + 25у = 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни действительны и равны: , тогда по правилу 2 получаем .

Пример 5. Решить уравнение у" – 4у' +13у = 0.

Решение. Характеристическое уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант D = 16 – 52 = – 36. По правилу 3 найдем , тогда .

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§1. Элементы комбинаторики

Комбинаторика – это один из разделов дискретной математики, который приобрел большое значение в связи с использованием его в теории вероятностей, математической логике, теории чисел, вычислительной математике.

Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых надо подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов, или число возможных способов осуществления некоторого действия. Такие задачи называются комбинаторными.

Комбинация – это соединение чего-либо в определенном порядке. К простейшим комбинациям относятся перестановки, размещения и сочетания.

Перестановки – это комбинации, состоящие из одних и тех же п элементов и отличающиеся порядком этих элементов. Число всех возможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле

Рn=п! (1.1)

Заметим, что по определению п!= и 0!= 1, 1!= 1 .

Пример 1. Определить число флагов с четырьмя горизонтальными поло­сами из красного, белого, синего и желтого цвета.

Решение. В нашем случае число элементов n = 4, поэтому Р4 = 4!= = = 24 варианта.

Размещения – это комбинации, составленные из п различных элементов по т штук и отличающиеся друг от друга либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений из п элементов по т штук вычисляется по формуле

. (1.2)

Пример 2. Определить число двухцветных флагов с горизонтальными полосами из красного, белого, синего и желтого цвета.

Решение. В нашем случае число элементов п = 4, т = 2, поэтому

=12 вариантов.

Сочетания – это комбинации, составленные из п различных элементов по т штук, которые отличающиеся хотя бы одним элементом. Порядок элементов не важен. Число всех возможных сочетаний из п элементов по т штук вычисляется по формуле

. (1.3)

Пример 3. В бригаде 12 человек: 5 женщин и 7 мужчин. Сколько различных вариантов команд из трех человек можно составить? Сколько вариантов женских команд? Сколько вариантов мужских команд?

Решение.

1). = 220 команд.

2). = 10 женских команд.

3). п = 7, т = 3, = 35 мужских команд.

§2. Случайные события и вероятности случайных событий

2.1. Случайные события

Одним из основных понятий теории вероятностей является случайное событие. Случайным событием называется событие, которое должно либо произойти, либо не произойти при выполнении некоторого комплекса условий.

Случайные события обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С,... Зафиксируем некоторый комплекс условий, и будем рассматривать некоторую систему S событий А, В, С.

Укажем некоторые соотношения, которые могут существовать между событиями системы S.

1. Если в результате испытания при каждом появлении события А наступает событие В, то говорят, что А является частным случаем В, и записывают этот факт в виде АÌ В.

2. Если АÌ В и В ÉА, то А=В. События А и В называются равносильными, если при каждом испытании они оба наступают, либо не наступают.

3. Произведением событий А и В называется такое событие АВ, которое заключается в совместном наступлении этих событий.

4. Суммой событий А и В называется такое событие А+В, которое заключается в наступлении по крайней мере одного из этих событий.

5. Событие U называется достоверным, если оно с необходимостью должно произойти при каждом испытании. Событие V называется невозможным, если оно не происходит ни при каком испытании. Все достоверные события равносильны, то же самое относится и к невозможным событиям.

6. Событие называется противоположным событию А /и наоборот/, если для них одновременно выполняются равенства А + =U; А = V.

7. События А и В называются несовместными, если их совместное наступление неосуществимо, то есть если АВ=V.

8. События А1, А2, ... Аn образуют полную группу попарно несовместных событий, если события Аi и Аj при несовместимы и хотя бы одно из событий А1, А2, ... Аn непременно должно произойти. Иными словами, полная группа попарно несовместных событий А1, А2, ... Аn удовлетворяет двум условиям:

А1+А2+...+Аn=U /полная группа/

Аi×Аj=V, /попарная несовместимость/

Введенные операции над событиями удовлетворяют следующим правилам:

а) А+В=В+А; А+V=А; А+U=U; А+А=А;

б)АВ=ВА; АU=А; АV=V; А×А=А;

в) (А+В)С=АС+ВС.

2.2. Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности исходит из некоторой системы равновероятных событий.

Рассмотрим полную группу попарно несовместных равновозможных событий А1, А2, ... Аn. Добавим к этим n событиям невозможное событие V и сложные события, образованные с помощью операции сложения любого числа событий А1, А2, ... Аn с любыми номерами. Полученная система событий S исчерпывается конечным числом событий, если считать равносильные события просто тождественно равными друг другу.

Пусть полная группа попарно несовместных равновозможных событий состоит из двух событий А1 и А2. Тогда система S содержит следующие четыре события: V, A1, A2, A1+A2=U. Если же полная группа попарно несовместимых равновозможных событий состоит из трех событий A1, A2, A3, то система S содержит восемь событий: V, A1, A2, A3, A1+A2, A1,+A3, A2+A3, A1+A2+A3=U.

Назовем для краткости событие Ai, (i=1,2, ... ,N) возможным случаем. Пусть событие B является некоторым событием системы S, тогда B представляется в виде суммы некоторых возможных случаев Ai. Слагаемые Ai , входящие в разложениеB, назовем случаями, благоприятствующими событиюB, а их число обозначим буквой m.

Вероятность Р(B) события B равняется отношению числа возможных случаев, благоприятствующих событию B, к числу всех возможных случав, то есть

(2.1)

Из определения вероятности следует, что для вычисления Р(B) требуется прежде всего выяснить, какие события в условиях данной задачи, являются возможными случаями, затем подсчитать число возможных случаев, благоприятствующих событию B и найти отношение числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев.

Пример 1. Известно, что среди 11 приборов имеется 3 непроверенных. Какова вероятность при случайном безвозвратном отборе 5 приборов обнаружить среди них 2 непроверенных.

Решение. Перенумеруем все 11 приборов. Возможными случаями будем считать комбинации по пять приборов из 11,отличающиеся только номерами приборов, входящими в каждую комбинацию. Отсюда следует, что число всех возможных случаев будет равно числу сочетаний из 11 элементов по 5 элементов:

.

Для подсчета возможных благоприятствующих случаев учитываем, что 2 из 3 непроверенных приборов можно извлечь способами. Кроме того, 3 проверенных прибора можно выбрать из 8 имеющихся проверенных различными способами. Каждый вариант из двух непроверенных приборов комбинируется с каждым вариантом из трех проверенных, следовательно, число возможных случаев m, благоприятствующих событию А, вероятность которого требуется найти, равно . Отсюда

Рассмотрим некоторые свойства вероятностей, вытекающие из классического определения.

1. Вероятность достоверного события равна единице. Достоверное событие U обязательно происходит при испытании, поэтому все возможные случаи являются для него благоприятствующими и

2. Вероятность невозможного события равна нулю. Число благоприятствующих случаев для невозможного события равно нулю (m=0), поэтому

3. Вероятность события есть число, заключенное между нулем и единицей.

В силу того, что дробь не может быть числом отрицательным и большим единицы, справедливо неравенство:

.

2.3. Статистическое определение вероятности

Следует отметить, что классическое определение вероятности имеет существенный недостаток, заключающийся в том, что в практических задачах не всегда можно найти разумный способ выделения "равносильных случаев". Например, затруднительно определить вероятность брака в партии деталей. Из-за указанного недостатка наряду с классическим пользуются статистическим определением вероятности, опирающимся на понятие частоты (или частости).

Назовем частотой число m появления события А при n испытаниях, а отношение – частостью (относительной частотой) события.

Например, пусть испытание состоит в подбрасывании монеты, а событием является появление герба. Приведем результаты трех опытов, произведенных известными статистиками Бюффоном и К. Пирсоном.

Число подбрасываний	Частоты появления герба	Частость
4040	2048	0,5080
12000	6019	0,5016
24000	12012	0,5005

Как видно, относительные частоты незначительно отклоняются от вероятности 0,5, вычисленной на основе классического определения вероятности.

Тот факт, что при большем числе испытаний относительная частота событий остается почти постоянной, приводит к предположению о наличии объективных закономерностей, характеризующих это событие и не зависящих от испытателя.

Вероятностью случайного события А можно назвать некоторую постоянную величину, являющуюся числовой характеристикой, мерой объективной возможности этого события, около которой колеблется относительная частота.

Статистическое определение вероятности заключается в том, что за вероятность события А принимается относительная частота или число, близкое к ней. При этом требуется, чтобы в неизменных условиях было проведено достаточно большое число испытаний, независимых друг от друга, в каждом из которых может произойти или не произойти событие А.

§3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Если известны вероятности данных событий А1, А2, ... Аn, то на основе теорем сложения и умножения вероятностей можно найти вероятность любого события, полученного из данных с применением операций сложения, умножения событий и противоположного события.

Прежде чем рассматривать теоремы сложения и умножения, определим основные понятия.

Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе в результате испытания. Если события могут появляться одновременно в данном опыте, то они называются совместными.

Например, при бросании одной монеты события А= "Выпадение орла" и В= "Выпадение решки" вместе произойти не могут, поэтому они несовместны. Если изменить условия опыта и бросить две монеты, то события АиВ будут совместными.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого. В противном случае события называются зависимыми, а вероятность каждого из них, найденная при условии, что другое событие произошло, называется условной вероятностью и обозначается Р(А/В), Р(В/А).

Например, в урне находится 3 синих и 4 зеленых шара. Событие А заключается в том, что из урны вынули синий шар, событие В состоит в том, что из урны вынули зеленый шар. Если вынутый синий шар не был возвращен назад в урну до того, как был вынут зеленый шар, то события А и В будут зависимыми, так как вероятность события В, вычисленная по формуле классической вероятности, в данном случае будет равна 4/6, и эта вероятность отлична от вероятности события 4/7, то есть события зависимы.

Если же вынутый синий шар был возвращен назад, а затем вынут зеленый, то Р(В/ А) = Р(В) . И в этом случае события будут независимыми.

Сформулируем теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема 3.1. Вероятность противоположного события получается в результате вычитания из 1 вероятности события А, то есть

. (3.1)

Теорема 3.2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

. (3.2)

Пример 1. Студенты Симонов и Миронов хорошо занимались по математике в течение года. Однако перед экзаменом студенту, как всегда, не хватает одного дня. Симонов и Миронов пришли на экзамен, подготовив каждый 22 теоретических вопроса и 24 практических из 25-ти. Преподаватель решил поощрить студентов за хорошую учебу и предложил Симонову ответить на теоретический вопрос, а Миронову – решить задачу. Какова вероятность того, что Симонов сдаст экзамен, а Миронов не сдаст?

Решение. Введем в рассмотрение события:

А - Симонов сдал экзамен;

В - Миронов сдал экзамен.

По классической формуле вероятности находим P(A)= Р(В) = . Отсюда вероятность события , заключающегося в том, что Миронов не сдал экзамен, равна . События A и независимы, поэтому

Теорема 3.3. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло, то есть.

. (3.3)

Пример 2 Из группы туристов в 36 человек, среди которых одинаковое число мужчин и женщин, случайным образом выбирают двоих. Какова вероятность того, что оба выбранных человека будут мужчинами?

Решение. Рассмотрим события:

А – первый выбранный человек мужчина;

В – второй выбранный человек мужчина.

По формуле классической вероятности Р(А)=.В данной задаче событие В зависит от А и . Отсюда .

Теорема 3.4. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, то есть

. (3.4)

Пример 3. В агентстве на 15 число в наличии 7 путевок в Тунис, 3 – в Испанию и 2 – в Италию. Клиент берет одну путевку. Какова вероятность того, что это будет путевка в Европу?

Решение. Введем в рассмотрение события:

А – клиент выбрал путевку в Тунис;

В – клиент выбрал путевку в Испанию;

С – клиент выбрал путевку в Италию.

Событие В+С означает, что выбрана путевка в Испанию или Италию вынут. Поскольку события В и С несовместны, то Р(В + С) = Р(В) + Р(С) .

По формуле классической вероятности . Следовательно .

Теорема 3.5. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

. (3.5)

Пример 4. В урне находится 10 шаров, занумерованных числами от 11 до 20. Из урны наугад извлекают шар. Найти вероятность того, что номер извлеченного шара окажется кратным 2 или 3.

Решение. Введем в рассмотрение события:

А – номер извлеченного шара кратен 2 (числа 12, 14, 16, 18, 20). Общее число благоприятных исходов равно 5, тогда .

В – номер шара кратен 3 (числа 12, 15, 18) и .

События А и В совместны (номера 12 и 18 подходят для обоих событий), поэтому .

§4. Формула полной вероятности и формулы Бейеса

Формула полной вероятности применяется в тех случаях, когда при выполнении события В имеется несколько вариантов его осуществления. Каждый вариант связан с определенной гипотезой. Гипотезы представляют собой множество попарно несовместных событий. Событие В обязательно выполняется, причем, только с одной из гипотез, но с какой именно – неизвестно.

Рассмотрим полную группу n попарно несовместимых событий А1, А2, ... Аn, то есть U = А1+А2+...+Аn и Аi×Аj=V при , и некоторое событие В. Возьмем произведение события U на событие В:

и, применяя свойства операций над событиями, получим

.

События Аi×B и Аj ×B при i ≠ j попарно несовместимы, так как . По теореме сложения вероятностей для несовместимых событий получим

,

далее, применяя теорему умножения, окончательно будем иметь

. (4.1)

Итак, вероятность Р(В) события В, которое может произойти только совместно с одним из событий А1, А2, ... Аn, образующих полную группу попарно несовместимых событий, определяется последней формулой, носящий название формулы полной вероятности.

Пример 1. Имеется 5 одинаковых на вид урн. Из них в двух урнах находятся по 3 белых и 1 черному шару (урна I типа), а в трех урнах – по 3 черных и 1 белому шару (урна II типа). Наугад выбирают одну из урн и из нее наугад извлекают шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.

Решение. Имеет две гипотезы:

А1 – шар извлечен из урны I типа,

А2 – шар извлечен из урны II типа.

Вероятность того, что будет выбрана урна первого типа, равна Р (А1) =2/5, а для урн второго типа эта вероятность равна Р (А2) =3/5. Вероятность того, что из урны первого типа будет извлечен белый шар, равна =3/4, соответствующая вероятность для урн второго типа равна =1/4. Пользуясь формулой полной вероятности, получаем вероятность того, что шар, выбранный наугад, окажется белым, равна .

Пусть, как и при выводе формулы полной вероятности, событие В может наступить в различных условиях, относительно которых можно сделать n предположений, гипотез: А1, А2, ... Аn. Вероятности Р(А1), Р(А2),..., Р(Аn) этих гипотез известны до испытания, и, кроме того, известна вероятность P(B/Ai), сообщаемая событию В гипотезой Аi. Пусть после проведенного испытания событие В наступило, требуется при этом условии найти вероятность гипотезы.

Воспользуемся для вывода формулы искомой вероятности теоремой умножения:

,

откуда

.

Подставив в знаменатель этой формулы правую часть формулы полной вероятности (4.1), окончательно будем иметь:

. (4.2)

Полученные формулы носят название формул вероятности гипотез, или формул Бейеса.

Пример 2. Предположим, что в условии примера 1 извлеченный шар оказался белым. Найти вероятность того, что он оказался извлеченным из урны первого типа.

Решение. Применяя формулу (4.2), получаем

.

§5. Повторение испытаний

5.1 Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание (опыт) повторяется многократно.

Поставим задачу в общем виде. Пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие . Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все п испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (то есть испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность Р(А) появления события в единичном испытании буквой p, то есть Р(А)=р, а вероятность Р() – буквой q, то есть .

Вероятность Рn(m) наступления события A ровно m раз (ненаступления события n-m раз) в этих n испытаниях, при условии, что здесь не требуется появление т раз события А в определенной последовательности, вычисляется по формуле

, (5.1)

которую называют формулой Бернулли.

Пример 1. Монету бросают наугад 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет при этом 3 раза.

Решение. , тогда по формуле Бернулли (5.1) получаем .

5.2 Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Вычисления по формуле Бернулли трудно осуществить практически при п >20 Муавром и Лапласом была получена асимптотическая формула, позволяющая найти указанную вероятность. Теорема, выражающая эту формулу, носит название локальной теоремы Муавра-Лапласа.

Теорема 5.1. Если проводится п одинаковых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна p, то вероятность того, что данное событие появится т раз, определяется по формуле

. (5.2)