Математика (стр. 4 )

Эта теорема дает приближение биномиального закона распределения к нормальному при и n → ∞ и р, значительно отличающемся от нуля и единицы. Для практических расчетов удобнее представлять полученную формулу в виде

,

, (5.3)

.

Если , то вероятность наиболее вероятной частоты находится по формуле

. (5.4)

Пример 2. Для токаря IV разряда вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Решение. По условию п = 400, p = 0,75 , q = 0,25 и m = 280, откуда

.

По таблицам найдем j (–2,31) = j (2,31) = 0,0277 . Искомая вероятность равна .

Для вычисления вероятности того, что частота m, подчиненная биномиальное закону распределения, заключена между заданными значениями m1 и m2 применяют интегральную теорему Лапласа, выраженную асимптотической формулой

, (5.5)

где .

5.3 Формула Пуассона

Если вероятность события р (или q) в отдельном испытании близка к нулю (такие события называются редкими), то даже при большом числе испытаний п, но небольшой величине произведения п-р (меньше 10) вероятности Рп(m), полученные по формуле (5.3), недостаточно близки к их истинным значениям. В таких случаях применяют другую асимптотическую формулу – формулу Пуассона, справедливость которой доказывает следующая теорема.

Теорема 5.2. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянно близка к нулю, число независимых испытаний п достаточно велико, произведение пр = l, то вероятность Рп(m) того, что в п независимых испытаниях событие А наступит m раз приближенно равна , то есть . (5.6)

Пример 3. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. . По формуле (5.6) получаем .

§6 Случайные величины и их числовые характеристики.

6.1. Случайная величина и ее распределение

Случайные события могут быть представлены через случайные величины. Случайной называется такая величина, которая в результате испытания (реализации определенного комплекса условий) может принять то или иное значение, причем до испытания неизвестно, какое именно. Если повторять испытания, то результатом каждого будет какое-либо одно значение случайной величины из множества возможных.

Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.

Множество значений дискретной случайной величины конечно или счетно, например:

• количество отказов автомобилей предприятия в течение рабочей смены;

• число рабочих, пришедших в бухгалтерию завода в течение одного часа получать заработную плату, и т. д.

Множество значений непрерывной случайной величины представляет собой множество всех точек, принадлежащих какому-либо интервалу числовой оси, например:

• расход топлива на километр пробега;

• время безотказной работы автомобиля и т. д.

Для того чтобы задать случайную величину, прежде всего, необходимо задать множество значений, которые она может принимать. Нужно еще знать, как часто, то есть с какой вероятностью, она принимает эти значения. Исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон ее распределения. Закон распределения представляет собой соотношение, позволяющее определить вероятность появления случайной величины в любом интервале (и, в частности, вероятности любых значений случайной величины).

Основными формами закона распределения являются: ряд распределения, функция распределения и плотность распределения.

Ряд распределения дискретной случайной величины X представляет собой таблицу, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

В таблице xi – i-е значение случайной величины Х, pi – вероятность появления i-го значения случайной величины X. При этом = 1 .

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником (полигоном) распределения. Для его построения возможные значения xi случайной величины Х откладываются по оси абсцисс, а вероятности – по оси ординат; точки с координатами (xi , pi) соединяются отрезками.

Пример 1. Найти ряд распределения случайной величины, являющейся частотой выпадения "орла" при трех бросаниях монеты. Построить полигон распределения вероятностей.

Решение. Возможные значения случайной величины X выпадения "орла" следующие: 0, 1, 2, 3. Соответствующие вероятности нетрудно подсчитать путем учета благоприятствующих каждому значению частоты случаев при числе всех возможных случаев, равных 8:

таким образом, получаем следующий ряд распределения.

xi	0	1	2	3
pi	1/8	3/8	3/8	1/8

Полигон распределения показан на рисунке.

Функция распределения непрерывной случайной величины

Ряд распределения не может служить характеристикой непрерывной случайной величины, поскольку значения этой величины нельзя перечислить. Кроме того, вероятность отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Для характеристики непрерывной случайной величины определяют вероятность появления значения случайной величины меньшего х, где х – текущая переменная, то есть определяют вероятность события X < х. Вероятность этого события является функцией аргумента х. Эта функция называется функцией распределения непрерывной случайной величины X и обозначается F(x):

F(x) = P(X<x). (6.1)

Таким образом, функцией распределения случайной величины X называется функция, равная вероятности того, что случайная величина X примет любое значение, меньшее х.

Вероятность попадания случайной величины в полузамкнутый интервал [a, b) равна разности значений функции распределения в точках b и а:

P(a≤X<b) = F(b) – F(a) (6.2)

Функция распределения есть неубывающая функция, значения которой начинаются с нуля и доходят до единицы, причем в отдельных случаях функция может иметь разрыв.

Функцию распределения дискретной случайной величины можно определить, зная ее ряд распределения, по формуле:

(6.3)

где суммирование распространяется на значения xi, которые меньше х.

Функция распределения дискретной случайной величины увеличивается скачками каждый раз, когда X при своем изменении проходит через какое-нибудь из возможных значений xi, причем, величина скачка равна вероятности этого значения. Между двумя соседними значениями дискретной случайной величины X функция распределения F(х) постоянна.

Плотность распределения. Поскольку для непрерывной случайной величины нельзя использовать в качестве характеристики вероятность появления ее отдельных значений, то определяют вероятность появления случайной величины в пределах малого полуинтервала [х, х+Dх), примыкающего к х. Разделив эту вероятность на длину интервала Dх, находят среднюю плотность вероятности. При неограниченном уменьшении длины интервала переходят к пределу, который является плотностью распределения непрерывной случайной величины X в точке х:

. (6.4)

Плотность распределения есть предел отношения вероятности попадания случайной величины на малый участок к длине этого участка при ее неограниченном уменьшении.

Вероятность попадания случайной величины на произвольный участок [a, b) равна:

. (6.5)

Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице, то есть. Это очевидно, так как указанный интеграл выражает вероятность достоверного события: попадания случайной величины на участок от - до +, а значит, равен единице.

График плотности распределения называется кривой распределения, лежащей в верхней полуплоскости. Кривая распределения совместно с осью абсцисс ограничивает площадь, равную единице.

График плотности распределения (кривая распределения).

Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок [a, b) равна площади ограниченной кривой распределения, опирающейся на участок (a, b) (на рисунке — заштрихованная площадь).

Плотность распределения есть производная функции распределения. С другой стороны: . (6.6)

Пример 2. Интервал времени между моментами прихода автобусов к остановке равновозможен в пределах от нуля до пяти минут. Найти плотность распределения вероятностей интервала времени, построить кривую распределения и определить вероятность того, что этот интервал будет находиться в пределах от одной до трех минут.

Решение. Согласно условию задачи можно считать, что вероятность попадания случайной величины X в пределы от х до x+Dх пропорциональна отношению , то есть . Отсюда

=.

Теперь найдем значение параметра k. Из формулы 6.5

, откуда k=5.

Итак, плотность распределения для любого действительного х задается следующим образом:

Кривая распределения изображена на рисунке.

Найдем вероятность того, что интервал времени будет заключен в пределах от одной до трех минут, заметив, что

.

6.2. Числовые характеристики случайных величин

6.2.1. Дискретная случайная величина (ДСВ)

Закон распределения ДСВ полностью описывает случайную величину. Однако, он не всегда известен, и приходится ограничиваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. Эти числа называются числовые характеристики случайной величины.

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины, которое определяется по формуле

, (6.7)

где символ ¥ заменяется числом п, если случайная величина имеет конечное число значений.

Таким образом, математическим ожиданием случайной величины X называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пример 3. Найти среднее число появлений «орла» при трех бросаниях монеты.

Решение. Из примера 1 §6 имеем ряд распределения дискретной случайной величины X, таким образом, среднее число появлений «орла» в трех испытаниях равно математическому ожиданию

.

Теорема 6.1. Математическое ожидание ДСВ приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Чем больше число испытаний, тем точнее вероятностный смысл M(X).

Свойства математического ожидания

1). Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной М(С) = С. (6.8)

2). Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M(C×X) = C×M(X). (6.9)

3). Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий

M(X+Y) = M(X) + M(Y). (6.10)

4). Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин

M(X×Y) = M(X) × M(Y). (6.11)

Пример 4. Бросают 3 игральные кости. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на трех гранях.

Решение. Обозначим через X сумму числа очков на трех гранях, через Xi (i = 1,2,3) – число выпавших очков на грани i-ой кости. Тогда X = Х1 + Х2 + Х3. Следовательно М(Х) = М(Х1) + М(Х2) + М(Х3). Очевидно, что все величины Xi имеют одинаковое распределение, а значит и математическое ожидание: М(Х1)= =М(Х2) = М(Х3). Тогда М(Х) = 3 × М(Х1).

Найдем математическое ожидание ДСВ Х1: запишем ряд распределения

.

Вычислим . Тогда

М(Х) = 3 × 3,5=10,5.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Тогда среднее число появлений события А в этих испытаниях М(Х) равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании

М(Х) = n × p. (6.12)

Дисперсия – числовая характеристика, указывающая степень рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Поэтому дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания, то есть

. (6.13)

Чем больше дисперсия, тем в среднем больше отклонение значений случайной величины относительно математического ожидания. Пусть имеется ДСВ X, заданная рядом распределения . Рассмотрим случайную величину X – М(Х) , равную разности случайной величины X и постоянной величины М(X) и называемую отклонением X от величины М(X). Ряд распределения для отклонения имеет вид

, так как случайная величина X – М(Х) принимает значение xi – М(Х) тогда и только тогда, когда X принимает значение xi, следовательно, вероятность значений xi и xi – М(Х) одна и та же и равна pi.

Далее рассмотрим случайную величину, равную квадрату отклонения случайной величины X от ее математического ожидания М(X).

. Тогда дисперсия вычисляется по формуле

. (6.14)

Пример 5. Вернемся к примеру 1. ДСВ X имеет ряд распределения X и математическое ожидание М(X)=1,5. Тогда

X – М(X) , ,

.

Вычисления, основанные на определении дисперсии, громоздки. Воспользуемся теоремой.

Теорема 6.2. Дисперсия равна разности математического ожидания квадрата случайной величины и квадрата ее математического ожидания.

. (6.15)

Пример 6. Если X, М(X)=1,5, то

X 2 , ,

.

Свойства дисперсии

1). Дисперсия постоянной величины равна нулю

D(С) =

2). Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат

D(C×X) = C 2 × D(X). (6.17)

3). Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

D(X + Y) = D(X) + D(Y). (6.18)

Теорема 6.3. При проведении п независимых испытаний с постоянной вероятностью появления события А : Р(А) = р дисперсия равна произведению числа испытаний на вероятность появления события А и на вероятность непоявления события А в одном испытании.

D(X) = n×p×q. (6.19)

Пример 7. Для условия примера1 вычислим дисперсию по формуле (6.19). .

Наряду с дисперсией случайной величины, в качестве характеристики рассеивания случайной величины используется среднее квадратическое отклонение s(X), которое равно положительному значению корня квадратного из дисперсии. Среднее квадратическое отклонение имеет одинаковую размерность со случайной величиной, в этом состоит ее преимущество относительно дисперсии.

. (6.20)

6.2.2.Непрерывная случайная величина (НСВ)

Если случайная величина X непрерывна и f (x) – ее плотность распределения, то математическим ожиданием случайной величины называется интеграл

. (6.21)

Пример 8. Для задачи с автобусом (пример 2 §6) плотность распределения имеет вид . Среднее значение интервала времени получаем равным М(X) = 2,5 минуты.

Дисперсия определяется по формуле

(6.22)

или по формуле (6.23)

Пример 9. Для задачи с автобусом (пример 2) вычислить дисперсию.

D(X)= =

§ 7. Основные законы распределения случайных величин

Полигон распределения есть реализация распределения выборочной совокупности при ограниченном числе наблюдений (N), а предельная кривая при является распределением генеральной совокупности. Распределение генеральной совокупности является теоретическим распределением. Отдельные

распределения изучены и поддаются точному аналитическому описанию. Приведем некоторые из них.

7.1. Дискретные законы распределения

7.1.1. Биномиальное распределение

Это распределение числа X появления события А в серии из n независимых испытаний. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна р, а вероятность его отсутствия . В каждом испытании возможно два исхода: наступление или ненаступление события А. При сформулированных условиях ряд распределения числа появления события А определяется формулой Бернулли:

(7.1)

Или (7.2)

где – вероятность появления события А ровно m раз в серии из n испытаний.

Характер биномиального распределения определяется двумя параметрами: р и n. На рис. 1 показаны многоугольники биномиального распределения для некоторых значений этих величин.

Рис. 1. Примеры кривых биномиального распределения

Определим числовые характеристики биномиального распределения случайной величины X:

математическое ожидание:

; (7.3)

дисперсию:

. (7.4)

Пример 1. Техническая система состоит из пяти независимо друг от друга функционирующих узлов. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа отказов узлов, если вероятность отказа любого из них р = 0,2.

Решение.

1.. Математическое ожидание числа отказов:

2. Дисперсия:

3. Среднее квадратическое отклонение:

7.1.2. Распределение Пуассона

Данное распределение является предельным случаем биномиального распределения. Предположим, что в биномиальном распределении и , так, что . Тогда плотность вероятности биномиального распределения принимает вид:

(7.5)

что и является распределением Пуассона. Формула (7.5) выражает ряд распределения Пуассона. Заметим, что распределение Пуассона зависит только от одного параметра – математического ожидания . Основные числовые характеристики случайной величины, имеющей распределение Пуассона, равны величине , а именно дисперсия случайной величины X, имеющей распределение Пуассона, численно равна ее математическому ожиданию. Этим свойством пользуются для оценки близости эмпирического распределения к распределению Пуассона.

На рис. 2 показаны графики распределения Пуассона, отвечающие различным значениям математического ожидания:

Рис. 2. Примеры кривых распределения Пуассона

Из рис. 2 следует, что при увеличении математического ожидания а кривые распределения Пуассона становятся более симметричными. При а ³10¸11 несимметричность распределения практически не ощущается и закон Пуассона можно заменять нормальным законом распределения с определенными допущениями.

Пример 2. Определить вероятность того, что на АЗС находится один или хотя бы один автомобиль, если среднее число автомобилей, находящихся в данном интервале времени на АЗС, а = 3.

Решение.

1. Вероятность нахождения одного автомобиля на АЗС следующая:

2. Вероятность того, что на АЗС будет находиться хотя бы один автомобиль, равна вероятности того, что на АЭС будет находиться не менее одного автомобиля, то есть

7.2.Непрерывные распределения вероятностей

7.2.1. Нормальное распределение

Наиболее известным непрерывным распределением является нормальное. Плотность нормального распределения определяется по формуле:

. (7.6)

Непрерывная случайная величина X принимает значения от –¥ до +¥. Соответствующая функция распределения равна:

. (7.7)

Типичные графики плотности вероятности и функции нормального распределения приведены на рис. 3.

Рис. 3. Графики кривых нормального распределения

Кривой плотности вероятности нормального распределения является плавная колоколообразная симметричная кривая, уравнение которой формула (7.6).

Перечислим основные свойства нормального распределения.

1. Нормальное распределение полностью характеризуется математическим ожиданием и дисперсией.

2. Кривая плотности вероятности нормального распределения симметрична относительно математического ожидания . Максимум плотности распределения соответствует абсциссе, равной .

3. При ветви кривой распределения асимптотически приближаются к оси Ох.

Величина математического ожидания не влияет на форму кривой плотности распределения . С возрастанием максимальная ордината кривой постоянно убывает и нормальная кривая становится все более пологой. При уменьшении нормальная кривая становится все круче, то есть растягивается вдоль оси ординат. При значении = 1 и = 0 нормальную кривую называют нормированной, а соответствующий закон распределения – стандартным нормальным законом распределения с плотностью:

. (7.8)

Соответствующая функция распределения имеет вид:

. (7.9)

Путем подстановки нормальное распределение с произвольными параметрами и приводится к стандартному виду. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал от a до b равна

, (7.10)

где

. (7.11)

. (7.12)

Интегралы (7.11) и (7.12) не выражаются через элементарные функции, поэтому для вычислений по формуле (7.10) обычно осуществляют замену и переходят к функции стандартного нормального закона распределения, которая имеет вид - формулы (7.9). Тогда

Значения функции стандартного нормального закона распределения табулированы и приведены в приложениях во всех сборниках задач по теории вероятностей.

Отклонения случайной величины X от математического ожидания практически заключены в интервале ±3, при этом вероятность попадания X в данный интервал равна 0,9973.

Пример 3. Среднее время обслуживания персонального компьютера (ПК) = 2 часа. Среднее квадратическое отклонение времени обслуживания равно часа. Определить вероятность окончания обслуживания ПК в течение интервала времени от 1,5 до 2,5 часов.

Решение

1. Вероятность попадания случайной величины t в интервал [1,5; 2,5] будет равна: .

2. Определим z:

,