Математика (стр. 1 )

Министерство образования и науки РФ

Филиал Санкт-Петербургского государственного

инженерно-экономического

университета в г. Твери

МАТЕМАТИКА

Методические указания и задания

к контрольным работам № 3, 4

для студентов заочной формы обучения

всех специальностей

Тверь 2009

СОСТАВИТЕЛИ:

Ст. преподаватель Л. М. МОЛОДЧЕНКОВА,

Кандидат физико-математических наук,

доцент Т. С.МОИСЕЕНКО,

Ст. преподаватель Н..А. ПОЛОЗЕНКО,

Ст. преподаватель Т. Н. ГРУЗИНА

Ст. преподаватель В. А. НОВИК

РЕЦЕНЗЕНТ

старший преподаватель В. Г. БЛИНОВА

ПОДГОТОВИЛ

Ст. преподаватель В. А.НОВИК

ББК __

Рекомендовано к публикации Редакционно-издательским советом филиала СПбГИЭУ в г. Твери (протокол от 01.01.2001 г.)

© НОВИК В. А., 2009

© Филиал СПбГИЭУ в г. Твери, 2009

Глава 1. ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких функций). Вместо производных в уравнение могут входить дифференциалы. Если неизвестные функции, входящие в дифференциальное уравнение, зависят только от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Если от нескольких переменных, то такие дифференциальные уравнения называются дифференциальными уравнениями в частных производных.

Таким образом, обыкновенное дифференциальное уравнение есть уравнение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у(х) этой переменной и производные этой функции.

В общем виде обыкновенное дифференциальное уравнение записывается следующим образом:

, (1.1)

где F есть функция указанных аргументов.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Уравнение (1.1) является уравнением n-ого порядка, а уравнение (*), которое можно переписать в виде

,

является уравнением второго порядка.

Если в уравнении (1.1) функция F такова, что уравнение можно переписать в виде

, (1.2)

то такое уравнение называется обыкновенное дифференциальное уравнение n-ого порядка, разрешённым относительно старшей производной. Так уравнение (*) можно переписать в виде . А уравнение относится к типу уравнений, неразрешённых относительно старшей производной. Уравнение (1.1) называется линейным, если функция F линейна относительно искомой функции и её производных, то есть если уравнение (1.1) может быть переписано в виде, (1.3)

где – известные функции. Если функции не зависят от х, то есть., то уравнение

(1.4)

называется линейным с постоянными коэффициентами.

Если в уравнении (1.4) f(x)=0, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, в противном случае линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

Решением дифференциального уравнения n-ого порядка называется функция у(х), непрерывная на некотором интервале (а,b) вместе со своими производными до (n-1) порядка включительно и имеющая производную у(n)(x), такая что подстановка функции у(х) в исходное дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Так функции , , и вообще ,где С1 и С2 произвольные постоянные, являются решением дифференциального уравнения .

Заметим, что процедура решения простейшего дифференциального уравнения означает нахождение функции по ее производной, то есть, сводится к нахождению неопределённого интеграла

.

Произвольная константа С означает, что дифференциальные уравнения имеют бесконечные множества решений.

и .

Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка называется функция зависящая от n произвольных постоянных, и такая, что при подстановке в уравнение она обращает его в тождество при любых значениях С1,…,Сn.

При конкретных значениях С1,…,Сn, включая , из общего решения выделяется частное решение.

§2. Дифференциальные уравнения I-го порядка.

Уравнение в разделяющихся переменных

Процесс нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Основной задачей теории интегрирования дифференциального уравнения является нахождение всех решений (как общего так и особого) данного уравнения и изучение свойств этих решений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение I-го порядка, разрешенное относительно производной

. (2.1)

Если представить правую часть уравнения (2.1) в виде дроби,то можно записать уравнение (2.2) в форме дифференциалов:

M(x, y)dy+N(x, y)dx=0. (2.2)

Всюду далее будем предполагать, что функции f(x, y), M(x, y), N(x, y) непрерывны в некоторой области изменения переменных х, у.

Уравнения (2.1) и (2.2) равносильны в области, где М(х, у) 0. По этой причине при переходе от уравнения (2.2) к (2.1) будем добавлять решения, на которых М(х, у)=0.

Уравнение (2.2) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции M(x, y) и N(x, y) можно представить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной .

Таким образом, уравнение с разделяющимися переменными может быть записано как

. (2.3)

Полагая f1(x) ≠ 0, g2(y) ≠ 0, разделим обе части уравнения (2.3) на f1(x)×g2(y).

Тогда уравнение примет вид

+=0. (2.4)

Общее решение уравнения (2.4) получается интегрированием

+. (2.5)

При разделении переменных могут быть потеряны решения уравнения (2.3). Рассмотрим исключения при переходе от (2.3) к уравнению (2.4), то есть случаи f1(x)=0 и g2(y)=0. Если уравнение g2(y) = 0 имеет решение вида у=а, то очевидно, что функция у(х)=а является решением уравнения (2.3). При этом оно может входить в общее решение при некотором значении С включая , тогда решение у(х)=а является частным решением. Если же решение у(х)=а не может быть получено из общего решения ни при каких С, то оно является особым решением и в ответе его нужно присоединить к общему решению. Аналогично проверяются решения уравнения f1(x) = 0.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Очевидно x ≠ 0. Перепишем уравнение в виде: и разде-

лим переменные . Интегрируя обе части последнего равенства, получаем . Заменим С=lnC1, C1>0. Потенцируя полученное равенство, получаем

, , .

После раскрытия модуля получаем . Поскольку C1 может принимать любые значения неравные нулю, решение можно записать в виде у(x)=Сх, где произвольная постоянная С не равна нулю. Проверим потерянный при решении случай у=0. Оно является частичным решением при C=0 следовательно не является особым. Таким образом, общее решение исходного уравнения у(х)=Сх.

Пример 2. Решить уравнение .

При , разделим переменные:

, ,

, =.

Проинтегрировав, получаем ,

или . Окончательно получаем решение 1–y2 = C(1–x2), C ≠ 0.

Проверяем потерянные решения:

При подстановке решения y = ±1 в уравнение получаем 0 = C(1–x2), тогда C=0 – частное решение,

Аналогично проверим решение x = ±1.

C·0 = 1–y2. Следовательно, C = есть частное решение.

§3. Однородные дифференциальные уравнения

3.1. Однородные уравнения

Если в уравнении (3.1)

функции М(x, y) и N(x, y) являются однородными функциями одной и той же степени, то уравнение (3.1) называется однородным.

Функция ƒ(x, y) называется однородной функцией степени m, если при любых значениях выполняется условие

ƒ(kx, ky)=k m׃(x, y), (3.2)

где m может быть любым действительным числом. Например, функции ƒ(x, y)= и ƒ(x, y)= являются однородными функциями первого порядка; функции ƒ(x, y)= и ƒ(x, y)= являются однородными функциями второго порядка; функция ƒ(x, y)=ax+by однородный многочлен первого порядка; функция ƒ(x, y)= является однородной функцией нулевого порядка.

Приведенное свойство однородных функций нулевого порядка используется при решении однородных дифференциальных уравнений, то есть имеет место равенство ƒ(x, y)= . Замечая, что в правой части стоит функция только одного аргумента , и обозначая её через , мы видим, что однородное уравнение всегда можно представить в виде:

(3.3)

Уравнение (3.1) приводится к виду (3.3) делением на высшую входящую в уравнение степень x и на многочлен .

Пример 1. Привести уравнение и уравнение к виду (3.3).

Решение.

1). Поделим обе части уравнения на x4: .

Далее делим на многочлен

. В итоге получаем: .

2) .

; ;.

3.2. Решение однородного дифференциального уравнения

При произвольно заданной непрерывной функции j переменные не разделяются. Но так как в правую часть переменные входят только в комбинации , то можно ожидать, что уравнение упростится если ввести подстановку , откуда y=tx, (3.4)

тогда t+x. (3.5)

Подставим выражения (3.4) и (3.5) в уравнение (3.3)

, или . Таким образом, мы получили уравнение с разделяющимися переменными:

. (3.6)

В случае, когда (то есть ) уравнение (3.3) имеет вид , которое интегрируется с разделением переменных. Его общее решение .

Алгоритм решения однородного дифференциального уравнения:

1. Ввести новую функцию t= и подставить y=tx и t+x в уравнение (3.3).

2. В новых переменных t и x получить уравнение с разделяющимися переменными и найти его общее решение.

3. В полученном решении произвести обратную замену переменных t= и выписать решение исходного однородного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Поделим числитель и знаменатель правой части на x2.

. Введем замену , тогда наше уравнение перепишется следующим образом. После упрощения получаем . Проинтегрируем последнее уравнение . Разложим подынтегральное выражение на элементарные дроби.

.

Þ получаем в итоге .

Вычислим интеграл

.

Окончательно получаем , или .

Делая обратную замену, получаем или .

3.3. Уравнения, приводящиеся к однородным.

Рассмотрим уравнение:

, (3.7)

где (– постоянные величины).

Если то уравнение (3.7) является однородным, и мы умеем его решать. В общем случае постараемся свести это уравнение к однородному. Введём новые переменные u и v так, чтобы правая часть уравнения (3.7) в этих переменных стала бы однородной функцией нулевой степени. А именно, сделаем замену x=u+, y=v+ и подберем постоянные и так, чтобы в (3.7) в выражении справа после подстановки пропали свободные члены d и d1, то есть должны выполняться равенства:

(3.8)

Пусть определитель этой системы линейных уравнений , тогда система (3.8) имеет решение, то есть существует единственная пара чисел и , такая что при подстановке x=u+ и y=v+ правая часть уравнения (3.7) принимает вид , а само уравнение – . Это уравнение является однородным.

В случае когда определитель 0, то есть уравнение (3.7) приводится к уравнению с разделяющимися переменными. В этом случае и, следовательно, уравнение имеет вид:

, (3.9)

причем, мы легко приведём его к виду с разделяющимися переменными, если введём замену , . Тогда уравнение (3.9) примет вид:

.

Таким образом, можно сформулировать окончательный алгоритм решения уравнения (3.7).

Алгоритм решения дифференциального уравнения, сводящегося к однородному.

1.  Выписать коэффициенты и вычислить выражение .

2.  Если это выражение равно нулю, то уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены

3.  Если , то применить замену переменных x=u+, y=v+. В правой части уравнения в новых переменных получится дробь, в которой следует приравнять к нулю свободные члены числителя и знаменателя. Из полученной таким образом системы уравнений найти значение постоянных и . Отметим, что для вычисления и можно сразу выписать матрицу (3.8).

4.  Выписать однородное уравнение в переменных и и решить его.

5.  В полученном решении однородного уравнения в переменных , провести обратную замену u= x–, v=y– и выписать общее решение исходного уравнения.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

1). Перепишем уравнение в виде , выпишем значение коэффициентов.

2). Вычислим определитель , введем замену

Подставляем новые переменные в уравнение .

Приравниваем к нулю свободные члены:

Поэтому

3). Подставляем найденные и в уравнение и получаем однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . Далее делим числитель и знаменатель дроби на u.

.

а). Вводим замену .

б) Делаем замену переменных в последнем дифференциальном уравнении и получаем:

4). Делаем обратную замену: или

5). Возвращаемся к исходным переменным: . Подставив в решение из пункта 3), получаем общее решение исходного уравнения.

§ 4. Линейные дифференциальные уравнения I порядка

4.1. Линейное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение I порядка

(4.1)

называется линейным, если отношение содержит переменную y лишь в первой степени («линейно»). Линейное уравнение принято записывать в виде

, (4.2)

здесь и произвольные функции аргумента x. В частности, если , то уравнение

(4.3)

называется линейным однородным (или уравнением без правой части). Уравнение (4.3) легко решается разделением переменных, и общее решение имеет вид

. (4.4)

« Потерянное» при разделении переменных решение входит в полученную совокупность решений при С=0.

Если , то уравнение (4.2) называется неоднородным линейным уравнением (или линейным уравнением с правой частью). Линейное уравнение решается методом вариации постоянных. В общем решении линейного однородного уравнения (4.4) заменяем постоянную С неизвестной функцией C(x) аргумента x. Выражение подставляем в (4.2) и получаем

, или

(4.5)

Функция С(х) найдется из уравнения (4.5) квадратурой (квадратурой называется операция взятия неопределенного интеграла)

, (4.6)

где – произвольное постоянное.

Подставляя найденное значение С(х) в выражение (4.4), получаем общее решение неоднородного линейного уравнения (4.2):

(4.7)

Этот прием называется методом вариации постоянной или методом Лагранжа. Заметим, что решение (4.7) представляет собой сумму двух слагаемых: есть общее решение однородного уравнения (4.3), соответствующего уравнению (4.2), то есть получаемого из данного заменой правой части нулем; второе слагаемое, есть частное решение неоднородного уравнения.

Алгоритм решения линейного неоднородного

дифференциального уравнения I порядка методом Лагранжа.

1.  Выписать для заданного неоднородного уравнения (4.2) соответствующее однородное уравнение.

2.  Найти общее решение линейного однородного уравнения как уравнения с разделяющимися переменными.

3.  Выписать вид искомого общего решения неоднородного уравнения, используя полученное выражение для общего решения однородного уравнения, то есть выписать соотношение

. (4.8)

4.  Подставляя выписанное в пункте 3 соотношение в исходное неоднородное уравнение, найти функцию С(x). Подставив найденную функцию в (4.8), выписать общее решение исходного дифференциального уравнения.

5.  Если требуется решить задачу Коши, то следует определить значение произвольной константы (постоянной), входящей в запись общего решения, используя начальное условие.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение в виде , это можно сделать, так как x=0 не является его решением. Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением.

1). Выпишем линейное однородное уравнение, соответствующее исходному уравнению: .

2). Разделим переменные в случае .

Решим последнее дифференциальное уравнение

, . В итоге получаем решение однородного линейного уравнения: .

3). Выпишем вид общего решения , где – неизвестная функция. Вычислим производную .

Подставим в исходное уравнение

,

. В итоге получаем

Иногда уравнение, не являющееся линейным относительно неизвестной функции , становится линейным, если в нем поменять ролями переменные y и x, а именно взять за аргумент y, а за неизвестную функцию x, то есть . Линейное уравнение такого типа можно записать в виде

. (4.9)

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение не является линейным относительно неизвестной функции . Допустим, что неизвестной является функция , уравнение можно переписать следующим образом:

, .

Полученное уравнение является линейным относительно функции .

Решим линейное однородное уравнение или