Математика (стр. 5 )

3. По таблице определим значение стандартной нормальной функции распределения:

.

4. Вероятность окончания обслуживания ПК в течение интервала времени [1,5;2,5] будет равна: .

7.2.2. Гамма-распределение и распределение Эрланга

Неотрицательная случайная величина X имеет гамма-распределение, если ее плотность распределения вычисляется по формуле:

при , (7.13)

где и .

– гамма-функция определяется следующим образом:

(7.14)

Математическое ожидание случайной величины X, подчиненной гамма-распределению, равно:

. (7.15)

При этом дисперсия величины X определяется по формуле:

. (7.16)

При целом гамма-распределение превращается в распределение Эрланга -го порядка, то есть

. (7.17)

Закону Эрланга -го порядка подчинена сумма независимых случайных величин , каждая из которых распределена по показательному закону с параметром l.

При гамма-распределение превращается в показательное с параметром l.

7.2.3. Показательное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет показательное распределение, если ее плотность распределения выражается формулой:

. (7.18)

Положительная величина l является параметром показательного распределения.

Функция распределения случайной величины X выглядит следующим образом:

. (7.19)

Графики функции и плотности показательного распределения приведены на рис. 4.

Рис. 4. а) плотность показательного б) функция показательного

распределения распределения

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей показательное распределение, обратно его параметру, то есть

. (7.20)

Дисперсия случайной величины X, имеющей показательное распределение, равна

. (7.21)

Отсюда . (7.22)

Существует важное соотношение между пуассоновским и показательным распределениями. Если случайная величина подчинена закону Пуассона и представляет собой число отказов в единицу времени, то случайная величина, которая определяет промежуток времени между двумя последовательными отказами, распределена по показательному закону.

7.2.4. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке , если на этом отрезке плотность распределения постоянна, а вне его – равна нулю:

(7.23)

Кривая равномерного распределения показана на рис. 5.

Рис. 5. Кривая равномерного распределения

Значения в крайних точках а и b участка (а, b) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины X равна нулю.

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей равномерное распределение на участке , вычисляется по формуле

. (7.24)

Дисперсия случайной величины X, имеющей равномерное распределение на участке , равна:

. (7.25)

Отсюда

. (7.26)

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины X на участок выражается формулой:

. (7.27)

Пример 4. Троллейбусы прибывают на остановку через 4 минуты. Какова вероятность того, что время ожидания троллейбуса не превысит 3 минут?

Решение. Так как (b – a) = 3, а (b – а) = 4, то.

Контрольная работа № 3

1.Найти решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

1.у =еу 2. хdy + ydx = 0 3. у(x- 4)=2ху 4. (х+х)у=2х+1

5. у=хе 6. (1+у)dх+(х-1)dу=0 7. у=tg(у+1) 8. х(1-у)dх+у(1-х)dу=0

9. 2у=у 10. у=(2у+1)ctgх 11. ху+у=0 12. (1+e)уу=e

13. у=2lnх 14. ху= 15. уtgх-у=1 16. уsinх=уlnу

17. (1+у)dх-хуdу=0 18. 2 dх=dу 19. (2х+1)dу+уdх=0

20. у=tgх(у+1)

2.Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 2 –го

порядка.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17.

18. 19. 20.

4. Определить вероятность выпадения сразу 3-х монет “орлом” для группы из:

1	10 монет	6	20 монет	11	13 монет	16	11 монет
2	12 монет	7	22 монеты	12	21 монеты	17	23 монеты
3	14 монет	8	24 монеты	13	19 монет	18	15 монет
4	16 монет	9	26 монет	14	25монет	19	27 монет
5	18 монет	10	28 монет	15	17 монет	20	29 монет

5.Три стрелка стреляют по мишени. Каковы вероятности того, что они одновременно попадут по мишени и того, что хоть один стрелок попадёт в мишень, если для каждого из них вероятность попадания составляет:

	1 стрелок	2 стрелок	3 стрелок		1 стрелок	2 стрелок	3 стрелок
1	1/2	1/4	7/8	11	3/5	2/7	8/13
2	1/6	1/7	4/5	12	2/5	3/7	1/6
3	1/7	4/5	2/5	13	3/8	3/10	1/4
4	1/3	2/3	1/4	14	1/4	6/7	2/5
5	1/5	7/8	9/10	15	4/5	5/7	4/9
6	7/8	1/4	1/4	16	2/5	3/5	5/6
7	4/5	1/7	1/7	17	7/9	7/9	2/9
8	2/5	4/9	4/5	18	1/8	3/11	1/6
9	1/4	2/5	2/3	19	1/4	1/5	3/4
10	9/10	7/9	7/8	20	1/2	1/3	2/3

6.Имеется 7 урн с белыми и черными шарами различного состава:

	1 урна	2 урна	3 урна	4 урна	5 урна	6 урна	7 урна
	б	Ч	б	ч	б	ч	б	ч	б	ч	б	ч	б	ч
1	5	6	7	1	5	6	9	7	6	4	6	5	4	6
2	5	4	5	6	1	5	5	6	7	5	9	3	4	7
3	7	7	5	9	6	2	7	5	2	3	4	9	5	2
4	2	3	6	5	2	7	4	5	2	1	4	9	5	2
5	5	7	4	2	5	9	8	7	4	2	5	6	2	1
6	8	5	6	3	2	1	4	7	5	2	1	9	3	6
7	5	4	2	8	9	6	3	2	5	4	7	8	5	9
8	8	5	6	2	4	4	7	5	6	9	7	4	1	2
9	7	8	5	6	3	2	4	7	8	9	9	6	9	6
10	3	7	4	5	2	1	4	5	8	9	6	3	5	7
11	5	5	7	2	5	8	5	8	7	3	6	9	4	4
12	6	4	7	3	7	5	4	5	8	7	5	1	7	7
13	7	5	5	6	4	6	2	6	5	4	9	6	5	3
14	1	6	9	5	2	3	8	2	6	5	9	9	6	9
15	5	1	6	2	5	2	9	4	3	2	8	4	6	3
16	6	5	2	7	9	1	6	4	2	1	4	4	5	5
17	9	5	7	4	8	4	3	7	4	4	2	3	5	1
18	7	6	5	5	7	7	2	5	7	5	9	5	6	7
19	6	7	2	2	4	5	5	6	8	8	2	2	1	6
20	4	5	3	1	2	2	4	9	9	9	9	2	6	7

Оценить вероятность того, что извлеченный из произвольной корзины шар