Концепции современного естествознания (стр. 12 )

Флуктуационную гипотезу уточняли введением поправок на скорости и массы тел. считал, что для больших масс вещества возможны большие флуктуации сжатия и разрежения. В периоды сжатия идут процессы конденсации, возникают звезды и планеты, в периоды разрежения, когда звезды «разбегутся» на достаточно большие расстояния, неизбежен распад конденсированных систем и превращение их в однородную газовую среду. Оценки, приведенные П. Дираком, Дж. Уи-

146

лером, Р. Фейнманом и Р. Пенроузом с учетом собственных гравитационных полей космических тел по строгим формулам ОТО показали, что в момент, когда сжатие прекращается и начинается разрежение, общекосмическое время поворачивает вспять, и на мгновение могут потухнуть все звезды. Такой вывод должен был служить доказательством теории «пульсирующей Вселенной», одна из теорем которой утверждает, что в этот момент меняется и знак материи. В 60-е гг. выдвинул гипотезу, по которой до момента рождения Вселенной существовала анти-Вселенная, где все было зеркальным отражением нашего мира, она постепенно сжалась в массу сверхплотного вещества, ставшего нейтральным. Из нее при сверхвысоких температуре и плотности возникла Вселенная, так как в тот момент образовалось больше протонов и нейтронов, чем антипротонов и антинейтронов, поэтому нам неизвестны антимиры и антигалактики.

В 1922 г. немецкий физико-химик В. Нернст, считая тепловую смерть Вселенной невероятной, обратился к явлению радиоактивности, которое «познакомило нас с энергией такого могущества, о котором мы ранее не имели представления». Образование тяжелых атомов, скопление их в холодные звезды, разогреваемые за счет высокой радиоактивности, превратит их в раскаленные. Во Вселенной возникнут центры концентрации энергии, противодействующие тепловому равновесию. Р. Милликен основывал подобные выводы на свойствах космических лучей, пополняющих радиацию, непрерывно испускаемую звездами. Позже были открыты объекты, обладающие достаточной мощностью, чтобы быть источником космических лучей: сверхновые (взрывающиеся) звезды, радиогалактики (гигантские облака истекающих из них электронов, невероятно богатых энергией), галактики Сейферта (галактики с очень ярким и турбулентным ядром, описанные в 1943 г. американским астрономом К. Сейфертом), источники рентгеновского излучения, пульсары и квазары, выделяющие огромные количества энергии. В ядрах галактик и квазарах столь необычные условия, что на них невозможно распространять сложившиеся представления, т. е. необходимы новые модели (см. гл. 9).

Идеи непрерывного творения материи возникали неоднократно. Так, в 1948 г. ученые Кембриджского университета Г. Бонди, Т. Годд и Ф. Хойл выдвинули гипотезу стационарной Вселенной. Они оценили число порожденных за 100 лет из «ничего» атомов водорода для восполнения убыли материи из-за разбегания — 1 атом в кубе с ребром 100 м (!), т. е. за 5 млрд лет должно было образоваться всего 4 кг атомов. Но открытие в 1965 г. однородно распределенного в пространстве излучения с Т = 2,7 К, истолкованного как «реликтовое» (оставшееся от Большого Взрыва), ослабило интерес к этой теории. Пока не ясно, существует ли скрытая полевая форма материи, непрерывно порождающая известные нам формы.

Термодинамика Вселенной — это теории звездных атмосфер и внутреннего строения звезд. Излучение, рождающееся в недрах звезды, покидает ее фотосферу, достаточно тонкую ее область. В ней происходит лучистый перенос энергии, который изучается в теории и сравнивается с данными наблюдений по распределению энергии в непрерывном спектре Солнца и звезд. Считают, что атмосферы спокойных звезд находятся в состоянии лучистого

147

равновесия, т. е. каждый элемент объема излучает столько энергии, сколько поглощает. Равновесное излучение в полости определяется только абсолютной температурой, его интенсивность не зависит ни от свойств полости, ни от места, ни от направления. Для него выведены законы Вина, Кирхгофа, Стефана — Больцма-на. В звездных атмосферах ситуация несколько сложнее, но можно допустить локальность равновесного излучения.

Релятивистская термодинамика лежит в основе современной космологии. На обобщенных термодинамических принципах построены теория процессов в таких экзотических объектах, как «черные дыры», и модель эволюции Вселенной, в которую необходимо включить и открытое Хабблом красное смещение в спектрах галактик как одно из доказательств расширения Вселенной.

4.5. Начала термодинамики. Энтропия и вероятность. Принцип Больцмана

Термодинамика сначала исследовала тепловые явления, а после установления закона сохранения и превращения энергии стала изучать также превращения энергии во всех ее формах. Термодинамика основана на трех-четырех утверждениях, которые включили в себя огромный опыт человечества по превращению энергии и называются началами термодинамики. Исторически первым установлено второе начало, потом — первое и третье, а последним — нулевое.

Нулевое начало термодинамики уточняет понятие температура. Тепловое равновесие существует, если система А приведена в тепловой контакт с системой В, но потоки энергии отсутствуют. Количественно введено понятие температуры: если системы А и В имеют одинаковую температуру, то системы находятся в тепловом равновесии друг с другом.

Первое начало термодинамики — это закон сохранения и превращения энергии в изолированной системе, утверждение существования внутренней энергии, поэтому его называют принципом энергии. Энергия утвердилась как основная сохраняющаяся величина (1847), когда договорились о терминах Кельвин и Джоуль. Теплота и работа определяют способы передачи энергии.

Второе начало термодинамики устанавливает направленность всех процессов в изолированных системах. Кельвин и Кла-узиус отделили это начало — хотя полное количество энергии сохраняется в любом процессе, распределение энергии изменяется необратимо. Второе начало называют принципом энтропии. Теплота переходит самопроизвольно только от более нагретых тел к менее нагретым. При этом для направления, в котором происхо-

148

дит изменение распределения энергии, оказывается не важно само количество энергии. Это начало проявилось при преобразовании теплоты в полезную работу, оно сыграло важнейшую роль в преобразовании энергии, запасенной в топливе, в движущую силу. Ограничения, устанавливаемые вторым началом термодинамики, показали, что трудно выделить упорядоченное движение из неупорядоченного. В формулировке Кельвина второе начало таково: «Невозможен процесс, единственный результат которого состоял бы в поглощении теплоты от нагревателя и полного преобразования этой теплоты в работу».

Третье начало термодинамики определяет свойства веществ при очень низких температурах, утверждая, что нельзя охладить тела до температуры абсолютного нуля за конечное число процессов. Оно предполагает атомное строение вещества, тогда как остальные являются обобщением опытных данных и не содержат сведений о какой-либо структуре вещества.

Достоинство термодинамики в том, что она позволяет рассмотреть общие свойства систем при равновесии и общие закономерности установления равновесия, получить многие сведения о веществе, не зная в полной мере его внутреннюю структуру. Ее законы применимы к любому веществу, к любым системам, включающим электрические и магнитные поля и излучение, поэтому они вошли в физику газовых и конденсированных сред, химию и технику, необходимы в геофизике и физике Вселенной, используются в биологии и управлении процессами. В начале XX в. американский ученый Гиббс разработал метод термодинамических потенциалов, в котором состояние системы характеризуется той или иной функцией: внутренней энергией, энтальпией, свободной энергией или потенциалом Гиббса (см. гл. 8). Термодинамика строилась как классическая динамическая теория, так как все устанавливаемые ею связи носили однозначный характер и все описываемые ею явления объяснялись как абсолютно необходимые. Как и в механике, случайность не входит в теорию.

Энтропия — мера беспорядка в системах, как и сами понятия порядка и беспорядка, приобретает фундаментальное значение. Более глубокое толкование и понимание смысла энтропии и начал термодинамики было дано с позиций статистической физики. Если каждое макроскопическое состояние газа может быть получено с определенной вероятностью, то вероятность может быть вычислена через вероятности микросостояний.

Термодинамической вероятностью W называют число микросостояний, которыми может быть осуществлено данное макроскопическое состояние. Замена одной микрочастицы на другую из-за их неотличимости не меняет макроскопического состояния, хотя с микроскопической точки зрения ситуация изменилась. Свойства термодинамической вероятности похожи на свойства энтро-

149

пии — обе максимальны в состоянии равновесия, и переход к равновесию связан с их ростом. Энтропия является аддитивной (от лат. additivus — придаточный) величиной и пропорциональна логарифму термодинамической вероятности:Это извест-

ное выражение определяет принцип Больцмана.

Пусть сначала газ, содержащий N молей, занимает объем V1 после открытия заслонки он расширился в объем V2. При этом логарифм вероятности его возрос на величинуСравним ее с величиной изменения энтропии при расширении газа в пустоту: они отличаются только единицами измерения, и при умножении логарифма вероятности на величину R/N получим изменение энтропии при необратимом процессе. Итак, логарифм изменения вероятности состояния с точностью до постоянного множителя совпадает с изменением энтропии. Больцман считал атомистическую гипотезу обоснованной. Бесконечное или огромное число частиц делает невозможным механическое, требует статистического описания. Математическим инструментом статистики является исчисление вероятностей. Больцман показал, что поскольку в основе термодинамических процессов лежат обратимые кинетические процессы, то необратимость в термодинамике, измеряемая энтропией, не может быть абсолютной. Поэтому и энтропия должна быть связана с вероятностью осуществления данного микросостояния.

Понятие вероятности, неявно использованное Максвеллом, Больцман применил для преодоления трудностей, связанных с пониманием второго начала термодинамики и гипотезы «тепловой смерти Вселенной» (1878). Вершиной творчества Больцмана явилось установление связи между энтропией и термодинамической вероятностью. Планк записал эту связь через введение константы k = R/N, которую назвал постоянной Больцмана.

Итак, необратимый процесс есть переход из менее вероятного состояния в более вероятное, а логарифм изменения вероятности состояния с точностью до постоянного множителя совпадает с изменением энтропии состояния. Эту связь Больцман установил сначала для идеального газа.

Чем выше степень беспорядка в координатах и скоростях частиц системы, тем больше вероятность того, что система будет в состоянии хаоса. Формула Больцмана может рассматриваться как определение энтропии.

Поскольку S увеличивается с ростом W, и все системы стремятся перейти в более вероятное состояние, то и изменение энтропии S2 - S1 =

При расширении газа в пустоту пропорционально соответствующему изменению объемов в степени N, поэтому для изменения энтропии можно записать Nkln(V1/V2). Умножая и деля это выражение на Г, получим:Но так как

то в числителе формулы для изменения энтропии стоит подводимая к системе по обратимому пути теплота.

Рассмотрим два одинаковых по массе т и удельной теплоемкости с тела, которые первоначально имели разные температурыПосле

150

установления между ними теплового контакта в результате перехода теплоты dQ их температуры изменились:Поскольку dQ =

равны, то и

Еслидля каждого процесса можно записать:

и

Суммарное изменение энтропии равно:а

температурыТак как

или

Это значит, что притеплота будет самопроизвольно

перетекать от тела с более высокой температурой к менее нагретому телу. И при увеличении энтропии замкнутой системы, содержащей тела с разными температурами, ее рост сопровождается потерями механической работы в количестве, равном величине dS, умноженной на температуру более холодного тела. Можно ли уменьшить энтропию? Второе начало термодинамики применимо только к изолированным системам, при совместном рассмотрении всех частей системы энтропия не уменьшается.

Деятельность человека может приводить к локальному уменьшению энтропии. Холодильники и тепловые насосы перекачивают теплоту от холодного тела к более горячему за счет траты энергии извне, но в полной системе энтропия может только расти. Больцману удалось установить в теории газов основное различие между тепловыми и механическими явлениями, которое долгое время было главным аргументом против всякой кинетической теории. Механические явления обратимы, и знак времени в них не играет никакой роли, тогда как тепловые явления так же необратимы, как и выравнивание двух температур. Если теория газов, основанная на механике, приводит к необратимым явлениям, то это связано с гипотезой молекулярного беспорядка, и аналогия с ростом энтропии здесь очевидна. В настоящее время понятие энтропии получило дальнейшее развитие в теории информации, лежащей в основе кибернетики, но об этом речь будет идти позже.

4.6. Микро - и макропеременные в описании систем. Основные модели

Идеал научной теории, сложившийся под влиянием успехов классической механики, состоял в отыскании наиболее общих, количественно формулируемых законов природы. В механике состояние системы однозначно определяют координаты и скорости частиц; по ним можно вычислить любую величину в данный момент времени: энергию, момент импульса и пр. Знание действующих на систему сил позволяет определить состояние сиc-

151

темы в любой другой момент времени. Эта удивительная однозначность и детерминизм — основы классического динамического описания.

Параллельно с развитием классической механики частиц и твердых тел шло развитие и механики сплошных сред (жидкостей, газов и деформируемых твердых тел). Трудами Бернулли, Эйлера и других ученых были заложены основы гидродинамики идеальной жидкости. Уравнение Эйлера для движения жидкостей и газов в отсутствие вязкости и теплопроводности можно вывести из законов Ньютона для системы материальных точек. Вместо координат и импульсов частиц Эйлер задавал состояния системы некоторыми функциями, описывающими распределение различных физических величин в пространстве (плотность, давление и скорость); они связаны не с отдельной частицей, а с точкой пространства в данный момент времени, т. е. описывают состояние среды в целом. И для решения задач нужно задавать не конечное число координат и импульсов, а начальные и граничные условия на них. Если уравнение Эйлера решать вместе с уравнением непрерывности, выражающим закон сохранения вещества в гидродинамике, решаются любые задачи динамики идеальных сред, т. е. динамический характер законов динамики идеальных сред остался незыблемым.

Гидродинамика неидеальной (вязкой) жидкости стала развиваться в XIX в. При движении такой жидкости (или газа) возникают силы трения и теплообмен. Имеет место диссипация энергии, которая не учитывается в идеальных моделях. В этом случае уже нельзя строить теорию процессов, опирающуюся только на механику, где все процессы обратимы. И такая теория была построена только на основе теории теплоты, где иначе (чем в механике) определяется состояние системы.

Состояние системы в термодинамике зависит от ее параметров — температуры Т, давления р, объема V. Если последние два параметра имеют механический смысл, то первый его лишен. Между параметрами существует связь, выражаемая уравнением состояния, которое устанавливается из опыта и не получено теоретически. Известно, что состояние для заданной массы газа в отсутствие внешних воздействий не меняется, если газ находится в равновесном состоянии.

Газ — это совокупность слабосвязанных частиц. Атомы в газах находятся на значительном расстоянии друг от друга и обладают свободой движения, хаотически сталкиваясь друг с другом и со стенками сосуда. Расстояния между атомами столь велики по сравнению с их размерами, а время сближения частиц столь мало, что все газы ведут себя одинаково.

Модель идеального газа — это газ, молекулы которого пренебрежимо малы, свободно двигаются и сталкиваются по законам упругого удара. Частицы принимаются за материальные точки,

152

взаимодействующие на расстоянии. Частицы газа являют собой наилучший пример неупорядоченной совокупности однородных объектов (фр. gaz, греч. chaos — хаос).

Модель реального газа, предложенная Ван-дер-Ваальсом (1873), отличалась от модели идеального газа учетом объема самих молекул и их взаимодействия. Последний фактор несколько уменьшает давление — каждая молекула при столкновении как бы тормозится притяжением соседних. Так появилось новое уравнение состояния, которое получило имя автора.

При низких абсолютных температурах газы уже не похожи на газы, их свойства определяются квантовыми законами. В этих условиях используют квантовые функции распределения, которые переходят в классические с повышением температуры. Области, в которых наступают отклонения от закона распределения, называют областями вырождения газа (для водорода, например, эта область находится при Т = 1 К, для других газов — еще ниже).

4.7. Основные положения молекулярно-кинетической теории и эмпирические газовые законы

Тела могут находиться в разных агрегатных состояниях (газообразном, жидком, твердом или в виде плазмы), но все они состоят из молекул, а молекулы — из атомов. Элементарная молекулярно-кинетическая теория газов основана на классической механике, молекулы представлены материальными точками.

Молекулярно -кинетическая теория строения вещества основана на следующих основных положениях:

1.  Молекулярное строение веществ подтверждено существованием процессов растворения, диффузии, броуновского движения и др.

2.  Молекулы находятся на определенных расстояниях друг от друга, что доказывается возможностью сжатия и перечисленными выше процессами. Размеры молекул газа малы по сравнению с расстояниями между ними. При отсутствии внешних сил молекулы газа равномерно заполняют весь предоставленный им объем.

3.  Молекулы связаны силами молекулярного взаимодействия — притяжения и отталкивания. Силы отталкивания на малых расстояниях превосходят силы притяжения, но быстро убывают с увеличением расстояния между молекулами, и с некоторого расстояния r0, называемого радиусом молекулярного действия, ими можно пренебречь. В отсутствие внешних воздействий молекулы находятся в устойчивом состоянии на расстояниях 2r0. Эти силы имеют электромагнитную природу.

4.  Молекулы находятся в непрерывном беспорядочном движении, что доказывают те же процессы.

153

 

5.  Внутреннюю энергию молекулярной системы составляет сумма кинетической энергии движения молекул, потенциальной энергии их взаимодействия и всех прочих энергий этой системы.

6.  В любом, даже самом малом объеме газа, к которому применимы выводы этой теории, число молекул велико.

Газовые законы были получены эмпирически для равновесного состояния:

закон Бойля—Мариотта, который выполняется при постоянной температуре Т, имеет для 1 моля идеального газа следующий вид:т. е. описывается изотермой на pV- диаграмме;

закон Гей-Люссака — изменение объема при температуре Т, постоянном давлении— коэффициент объемного расширения газа):т. е. описываемом изобарой (рис. 4.4);

закон Шарля - изменение давления и температуры T при постоянном объемет. е. изохорный процесс. Здесь— термический коэффициент давления.

Уравнение состояния, введенное Клапейроном, для заданной массы газа объединяет три газовых закона, связывая между собой параметры газа. Клапейрон впервые употребил и графическое изображение обратимых циклических процессов, вычислив работу как соответствующую площадь на графике. Согласно закону Авогадро, количества любых газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковый объем, который при нормальных условиях равен 22,4 л = 22,4 • 10-3 м3. обобщил с учетом закона Авогадро уравнение Клапейрона: pV= где m — масса газа; μ — его молекулярная масса; R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(мольК).

Газовые законы, как всякие эмпирические, справедливы приблизительно и описывают поведение почти идеальных газов при невысоких давлениях и не слишком высоких температурах. Подобных универсальных законов нет для жидкостей или твердых тел. Их свойства зависят от типа частиц, из которых они состоят, и силы взаимодействия между частицами в них меняются в широких пределах. Опыт показывает, что эти силы, имеющие отчасти характер электростатического взаимодействия, при расстояниях между молекулами более 10-9 м убывают столь быстро, что ими можно пренебречь. Поэтому свойства идеальных газов близки к свойствам реального газа.

154

Так как молекул много и они часто ударяются о стенку, их суммарное действие на поверхность можно заменить одной непрерывно действующей силой, которая как бы сглаживает отдельные толчки. Такое описание называется статистическим — время и место удара каждой молекулы о поверхность не интересны, важен только общий эффект, т. е. то, что входит в статистический закон.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа при тепловом равновесии одинакова для всех молекул газов, находящихся в тепловом контакте. Значит,обладает основным свойством температуры и не зависит от внутренней структуры молекул. И ее можно принять за меру температуры газа или тела, находящегося в тепловом контакте с газом:

Температура газа должна определяться средней кинетической энергией его молекул. В 1730 г. Д. Бернулли наметил кинетику газовых сред. В частности, он сумел из атомистических представлений вывести закон Бойля — Мариотта. Этот закон вывел и — его гипотеза о внутреннем вращательном движении составляющих материю частиц позволила наглядно объяснить механизм нагревания двух трущихся друг о друга поверхностей.

4.8. Связь параметров газа с его микроструктурой. Распределение Максвелла

Процесс — это переход системы из одного состояния в другое через некоторую последовательность промежуточных состояний. Важной схематизацией, часто используемой в молекулярной физике, является понятие о равновесном процессе.

Равновесным называют состояние, если характеризующие его параметры при отсутствии внешних воздействий постоянны неограниченное время, иначе — состояние неравновесное. Равновесное состояние изображается точкой в координатной плоскости, если по осям отложить значения каких-либо двух параметров системы. Неравновесное состояние так изобразить нельзя, так как параметры имеют неопределенные значения. Процесс перехода системы из одного равновесного состояния в другое всегда связан с нарушением равновесия системы. Но если это происходит медленно, то за любой малый промежуток времени состояние системы можно охарактеризовать определенными значениями параметров. И такой процесс можно считать состоящим из ряда равновесных процессов. Равновесный процесс состоит из непрерывной последовательности равновесных состояний, и чем медленнее протекает процесс, тем он больше похож на равновесный. Только равновесный процесс можно изобразить непрерывной линией на графике.

155

 

Рассматривая газ как совокупность мельчайших упругих шариков — атомов, которые хаотично двигаются в пустоте, А. Крениг из вероятностных соображений принял, что атомы газа движутся по трем взаимно перпендикулярным направлениям с одинаковой скоростью. Элементарный расчет дал уравнение, связывающее давление р и объем V газа с его массой т и скоростью атомовКре-

ниг в 1856 г. верно указал на связь pV с кинетической энергией частиц, получил из кинетической модели закон Авогадро и объяснил охлаждение газа при адиабатическом (хотя при оценке давления он взял коэффициент 1/6 вместо 1/3). Работа Кренига подтолкнула Клаузиуса к опубликованию своих результатов (1857). Рассматривая удар молекул о стенку по законам упругих столкновений, Клаузиус вывел:

где К — энергия поступательного движения всех частиц газа. Поскольку давление и объем идеального газа связаны уравнением Клапейрона, он получил:здесь k — постоянная

Больцмана.

Кинетическая теория объяснила многие явления — теплопроводность, диффузию, растворение и др., позволила рассчитать сначала относительные и абсолютные значения средних скоростей молекул разных газов, найти средний свободный пробег молекулы — среднее значение длины прямолинейного пути, проходимого молекулой между последовательными соударениями. Его дал Дж. Максвелл в 1866 г.

Отсюда нетрудно посчитать и с р е д н е е число соударен и й частицы за определенное время. При обычных условиях оно велико — около 5 млрд соударений за 1 с. Подведение теплоты увеличивает кинетическую энергию движения частиц, растут давление и температура. Как только они достигают высоких значений, возрастает вероятность столкновений между частицами, и сходство газов исчезает.

Поступающая в газ энергия должна как-то распределиться между атомами. Но одна часть атомов движется быстрее, другая — медленнее, а их средняя кинетическая энергия пропорциональна температуре газа Т. Если к сосудам, содержащим равное число молекул двух разных газов, подвести равное количество теплоты, то их температура повысится на одну и ту же величину, т. е. удельные теплоемкости с, приходящиеся на одну молекулу, одинаковы.

156

Распределение молекул по скоростям определяет распределение энергий, или энергетический спектр газа, от которого зависят многие свойства газов. В состоянии равновесия все направления скоростей равновероятны, иначе тепловое движение частиц не было бы беспорядочным, но равными по величине они быть не могут. Если такое и случится, то столкновения быстро изменят эту ситуацию. Максвелл рассуждал следующим образом: ни одно направление движения и ни одно значение скорости не являются выделенным, и предоставленный самому себе газ приходит в стационарное состояние с определенным распределением скоростей (рис. 4.5).

Поскольку по всем трем осям проекции скоростей должны быть независимы и равновероятны, можно записать

причем все вероятности распределениядолжны иметь одинако-

вый вид. Кроме того, с одинаковой вероятностью будут встречаться скорости вдоль каждой оси и против нее, т. е. вероятность должна зависеть от квадрата скоростейПовернем теперь координатные оси так, чтобы новая осьсовпала с направлением вектора скорости, т. е. проекции скорости в новой системе будутОт поворота осей значениефункцииизмениться не должно, поэтому =

Таким образом, нужно найти функцию от суммы величин, которая распадается на произведение таких же функций от каждого слагаемого в отдельности. Этим свойством обладает только показательная функция. Например, для основания степени числа (Можно взять и любое другое число.) Но квадраты проекций скорости на оси — величины размерные и потому не могут стоять в показателе степени без коэффициента, обеспечивающего его безразмерность.

Среднее значение кинетической энергии имеет размерность квадрата скорости:Поэтому величина имеет ту же размерность, а обратная ей— размерность обратного квадрата скорости. Если взять за основу величину е = 2,718..., то среднее значение кинетической энергии не изменится и согласуется с прежним определением. Тогда искомая функция окажется пропорциональнойОчевидно, что нужно подобрать еще коэффициент пропорциональности, исходя из условия, что W = 1. Запишем этот коэффициент в готовом виде и получим искомое максвеллово распределение по скоростям:

Можно показать, что никакая другая функция распределения, кромене совместима с законом сохранения энергии при отдельных соударениях частиц. Графическипредставляется гауссовой кривой. Максимум этой кривой лежит в ок-

157

рестности нуля, т. е. в газе больше всего молекул с нулевыми значениями компонент скорости. Это связано с равной вероятностью направлений скоростей, так что средняя проекция скорости хаотического движения на любое направление равна нулю. Гауссовы распределения встречаются в разных системах (даже в социальных). Площадь под кривой соответствует общему числу молекул газа.

Максвелл рассматривал свою модель газа как математическую аналогию реальности. «Вместо того, чтобы говорить, что все частицы тверды, упруги и шарообразны, можно сказать, что частицы являются центрами сил, действие которых ощутимо лишь на некотором малом расстоянии, где они проявляются внезапно и в виде очень интенсивной силы отталкивания». Далее он проводит сопоставление с величинами, характеризующими тепловое движение, заменяя среднюю скорость распределением скоростей (1859). Проведя ряд опытов, Максвелл заключил, что сила отталкивания должна быть обратно пропорциональна пятой степени расстояния между молекулами. В 1866 г. он вывел свой закон распределения по скоростям уже с этой поправкой.