Прикладная математика и информатика (стр. 3 )

3 семестр:

Тема 1. Аналитические функции.

Комплексные числа и геометрическая интерпретация. Модуль и аргумент. Формула Эйлера и формула Муавра. Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность функции комплексной переменной. Производная и геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные отображения. Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана. Гармонические и сопряженные функции. Восстановление аналитической функции по действительной или мнимой части.

Тема 2. Интегрирование функций комплексного переменного.

Понятие интеграла функции комплексной переменной. Интеграл от аналитической функции, теорема Коши. Представление аналитической функции внутри области через ее значения на границе, интеграл Коши.

Тема 3 Ряды аналитических функций.

Разложение аналитической функции в ряд в окрестности регулярных точек. Изолированные особые точки. Разложение аналитической функции в ряд Лорана в кольце. Главная и правильная часть ряда Лорана. Поведение аналитической функции в окрестности изолированной особой точки.

Тема 4. Теория вычетов и ее применение.

Понятие вычета. Связь вычета и рада Лорана в этой точке. Вычисление вычета в полюсе. Вычет в существенно особой точке. Основная теорема о вычетах. Вычисление несобственных интегралов с помощью теории вычетов.

4 семестр:

Тема 1. Операционное исчисление.

Преобразование Лапласа и его свойства Изображение и оригинал. Теоремы о дифференцировании и интегрировании изображения и оригинала. Нахождение изображения по известному оригиналу. Нахождение оригинала по известному изображению. Решение дифференциальных уравнений и систем методами операционного исчисления.

Тема 2. Ряды, преобразование и интеграл Фурье.

Ортогональные системы функций. Тригонометрическое интерполирование. Определение коэффициентов ряда Фурье. Интеграл Дирихле и принцип локализации. Разложение непериодической функции. Случай произвольного промежутка. Комплексная форма рядов Фурье. Интеграл Фурье как предельный случай рядов Фурье. Преобразование Фурье и его свойства.

Тема 3 Полиномы Лагранжа и Чебышева.

Понятие полинома Лагранжа и его основные свойства. Приближение функций полиномами Лагранжа. Понятие полинома Чебышева и его основные свойства. Приближение функций полиномами Чебышева.

5 семестр:

Тема 1. Специальные функции.

Интегралы Эйлера первого и второго рода. Понятие Бета-функции. Определение Гамма-функции. Простейшие свойства Гамма-функции. Построение графика Гамма-функции. Логарифмическая производная и теоремы умножения Гамма-функции.

Тема 2. Обобщенные функции.

Функции ограниченного роста. Финитные функции и пространство основных функций. Понятие обобщенной функции. δ – функция. Представление интегрируемых функций. Дифференцирование обобщенных функций. Понятие обобщенного решения дифференциального уравнения.

Тема 3. Мера и интеграл Лебега.

Понятие меры Лебега. Субаддитивность и основные свойства меры Лебега. Измеримые множества и измеримые функции. Понятие интеграла Лебега и его основные свойства. Теорема Фубини. Интеграл Лебега, как предел равномерно сходящейся последовательности интегралов от кусочно-постоянных функций.

1.5 Требования к уровню освоения программы

Знания и умения студентов проверяются при текущем, промежуточном и итоговом контроле оцениваются на «отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно» в соответствии с указаниями ГОС (по всем дисциплинам и практикам, включенным в учебный план высшего учебного заведения, должна выставляться итоговая оценка по шкале - отлично, хорошо, удовлетворительно, неудовлетворительно или зачтено, не зачтено).

Выполнение контрольной работы на заочном отделении оценивается на «зачтено», «не зачтено». «Зачтено» ставится за все правильно решенные задания контрольной работы, возможны недочеты по оформлению.

Критерии оценки знаний студентов в целом по дисциплине:

·  «отлично» - выставляется студенту, показавшему всесторонние, систематизированные, глубокие знания учебной программы дисциплины и умение уверенно применять их на практике при решении конкретных задач, свободное и правильное обоснование принятых решений;

·  «хорошо» - выставляется студенту, если он твердо знает материал, грамотно и по существу излагает его, умеет применять полученные знания на практике, но допускает в ответе или в решении задач некоторые неточности;

·  «удовлетворительно» - выставляется студенту, показавшему фрагментарный, разрозненный характер знаний, недостаточно правильные формулировки базовых понятий, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, но при этом он владеет основными разделами учебной программы, необходимыми для дальнейшего обучения и может применять полученные знания по образцу в стандартной ситуации;

·  «неудовлетворительно» - выставляется студенту, который не знает большей части основного содержания учебной программы дисциплины, допускает грубые ошибки в формулировках основных понятий дисциплины и не умеет использовать полученные знания при решении типовых практических задач.

1.6 Учебно-методическое обеспечение дисциплины

1.6.1 Основная и дополнительная учебная литература

Основная литература

1.  А, Позняк математического анализа: Учеб.: В 2 ч. : Наука, 1982. 2 ч.

2.  Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления: Учебное пособие : В 3 т М.: Наука, . 3 т.

3.  , , Садовничий и упражнения по математическому анализу: Учеб.: В 2 ч. Высшая школа, 2002. 2 ч.

Дополнительная литература

1.  Ильин В А, , Сеидов Бл. Х. Математический анализ: Учеб. М.: Наука, 19с.

2.  Кудрявцев математического анализа: Учеб.: В 2 т. М,: Наука, 1981. 2 т.

3.  Никольский математического анализа: Учеб.: В 2 т. М.: Наука, 1983.2 т.

4.  Смирнов высшей математики: Учеб.: В 4 т. М.: Наука, 1981. Т. 1-2.

5.  II. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учебное пособие. М.: Наука, 19с.

6.  Берман задач по курсу математического анализа: Учебное пособие. М.: Наука, 19с.

7.  Натансон функций вещественной переменной:

8.  , Тихонов функций комплексной переменной: Учеб. М.: Наука, 19с.

9.  , Шабат теории функций комплексного переменного: Учеб. пособие. М.; Наука, 19с.

1.6.2 Методические рекомендации для преподавателей

Соответствующие указания определяют совокупность методов и средств, необходимых для достижения цели курса – освоения студентами комплекса математических методов, используемых для решения прикладных задач математического анализа.

Формы обучения включают в себя:

·  лекции, на которых закладываются теоретическая база знаний по дисциплине «Математический анализ»;

·  практические занятия, где студенты приобретают навыки в решении задач по отдельным разделам курса;

·  самостоятельная работа студентов, которая осуществляется в двух формах: индивидуального выполнения заданий и индивидуально-аудиторного – с консультацией у преподавателя;

·  разбор сложных вопросов и задач на плановых консультациях.

Методами обучения являются:

·  дополнительные разъяснения труднопонимаемых положений теории;

·  иллюстрирование материала графиками и таблицами;

·  подкрепление теоретических вопросов примерами.

Средства обучения математическому анализу стандартны: базовые учебники, иллюстрация зависимостей на доске, и т. п.

Преподавателю, читающему лекции, рекомендуется строить занятия в следующей последовательности:

·  теоретическую часть, излагать в форме, доступной для студентов – математиков;

·  определения абстрактных понятий желательно иллюстрировать примерами и сравнивать с аналогичными понятиями других дисциплин;

·  комментировать область возможного приложения вводимых понятий в задачах математической физики.

Для лекций по «Математическому анализу» наиболее приемлемым следует признать средний темп изложения материала, так как это связано с новизной абстрактных понятий дисциплины, которые студент должен осмыслить и записать. Также необходимо иллюстрировать материал доступными примерами.

Что касается манеры изложения, то наиболее приемлемой является так называемый академический стиль, для которого характерна четкость и ясность формулировок, хорошая литературная форма, владение голосом, хорошая дикция, умение держаться перед аудиторией и устанавливать с ней контакт, поддержание дисциплины.

Преподавателю, ведущему аудиторные практические занятия, рекомендуется строить их по следующей схеме:

·  повторить основные положения соответствующей лекции (теория);

·  разобрать вариант типовой задачи;

·  предложить практические задачи (5-10 минут размышлений и вызов к доске, желательно по списку);

·  задавать задание «на дом»;

·  периодически проводить контрольные работы, тематика которых должна соответствовать темам самостоятельных работ.

Для текущего контроля знаний перед аттестацией преподавателю рекомендуется провести пробный контроль уровня знаний по тестам. Они предложены в разделе 3. Каждому из студентов на 2 академических часа дается 10 из предложенных 200 задач. За правильное решение 75% задач ставится предварительная оценка 2 (будущая высшая аттестационная), за решение более 50% задач – ставится 1, менее 50% – 0.

Подготовка преподавателя к проведению занятия имеет первостепенное значение. Каким бы опытом преподаватель не обладал, он все равно должен готовиться к каждому практическому занятию.

Во-первых, преподавателю необходимо проработать тему занятия.

Во-вторых, преподаватель должен решить все заданные задачи и проблемные ситуации, предусмотреть, чтобы избежать неожиданностей, возможные варианты, которые могут предложить слушатели. Преподаватель должен быть готов ответить на любые вопросы, относящиеся к содержанию каждой задачи.

В-третьих, желательно, готовясь к занятию, наметить, кого из студентов следует спросить по данной теме, имея в виду обеспечение равномерного участия всех студентов в работе и проверку уровня их подготовки к занятиям. Проработать содержание опроса знаний и методику ее проведения (в случае необходимости).

Для контроля уровня усвоения материала дисциплины в течение семестра наиболее целесообразно проводить контрольные работы по решению практических задач и тестовые опросы по теории.

1.6.3 Методические указания студентам

Цель курса в получении студентами базовых знаний по математическому анализу, которые в последующем можно использовать в прикладных исследованиях и при изучении дисциплин базирующихся на дифференциальном и интегральном исчислении функций одной и нескольких переменных.

Особенность курса математического анализа является глубокое и всестороннее изучение основных понятий, таких как предел, производная, интеграл и ряды. Особый упор делается на изучение методов и приемов решения задач, возникающих в курсе математического анализа.

Наиболее удобным учебником для изучения математического анализа наряду с курсом прочитанных лекций является учебник и «Основы математического анализа» в двух томах и трехтомник , в котором разобран много практических задач.

Основной учебник основан на курсе лекций по математическому анализу, читаемых в Московском государственном университете. Книга написана современным языком с применением как классического изложения, так и аксиоматического подхода, подготавливаемого студентов к анализу в метрических и гильбертовых пространствах. Проиллюстрированы к построению вещественных чисел (аксиоматический и через последовательности Коши), а также понятие предельного значения функции согласно Гейне и Коши. Такой подход позволяет судить о тенденциях развития математического анализа. Особое внимание следует обратить на определения основных понятий, связанных с предельным переходом: производная, определенный интеграл, числовые и функциональные ряды. Желательна геометрическая интерпретация новых понятий.

На семинарских закрепляется практическое применение знаний, полученных на лекциях. Особое внимание необходимо уделить технике вычисления пределов, дифференцирования и интегрирования. Для понимания и усвоения материала необходима самостоятельная работа при решение задач.

1.6.3.1 Указания по выполнению самостоятельных работ

Самостоятельная работа студентов состоит в выполнении практических заданий и семестровых работ в течение семестра. Их своевременное выполнение является предпосылкой к обоснованию возможности допуска студента к экзаменам и оценки результатов итогового контроля.

Семестровые работы должны быть выполнены не позднее, чем за неделю до начала зачетной недели. Выполненная работа сдается лектору или ассистенту, ведущему практические занятия.

1.6.3.2 Указания по оформлению работ

Порядок оформления самостоятельных работ по функциональному анализу следующий:

- работы выполняются на листах формата А4, скрепляются и помещаются в мультифору;

- на титульном листе указываются: номер самостоятельной работы, номер группы, фамилия и имя студента, номер варианта;

- каждый из вопросов и задач формулируется в соответствии с заданием и нумеруется;

- зачеркивания и исправления допускаются (в пределах приличий).

Проверка самостоятельных работ осуществляется в течение недели. Зачтенные работы не возвращаются; работы, нуждающиеся в корректировке – возвращаются студенту. После доработки проверка работ повторяется.

Для разъяснения непонятных вопросов лектором курса еженедельно проводятся консультации, о времени которых группы извещаются заранее. Кроме того, в НФИ КемГУ существует практика индивидуально-аудиторных занятий по выполнению самостоятельных работ, при которой студентам назначается аудитория и время, где и когда они могут выполнять работы в присутствии ассистентов или студентов старших курсов, дающих им консультации.

1.6.3.3. Формы текущего, промежуточного и итогового контроля

Текущий контроль освоения программы осуществляется по результатам выполнения студентами контрольных (самостоятельных) работ, а также выполнения заданий на семинарских занятиях.

График выполнения самостоятельных работ формируется исходя из следующих требований:

- к началу экзаменационной сессии каждый студент обязан выполнить все самостоятельные работы, предусмотренные программой курса;

- к началу аттестации студент обязан выполнить те самостоятельные работы, которые предусмотрены в уже пройденных темах по дисциплине.

Промежуточный контроль освоения программы осуществляется в форме тестирования во время аттестации студентов. Компьютер с помощью метода случайных испытаний, выбирает каждому студенту 10 из них (для соответствующего семестра).

Итоговый контроль осуществляется в форме экзамена. Вопросы и задачи для экзаменов и зачета приведены в разделе 4. Из них формируются экзаменационные билеты. На экзамен студентам предлагается по два теоретических вопроса и задача.

При сдаче экзамена каждая позиция (вопрос, задача) оцениваются баллами:

3 балла – решение правильное;

2 балла – решение правильное, но с недочетами;

1 балл – путь решения правильный;

0 балл – решение неправильное, или отсутствует.

При сдаче экзамена можно получить в сумме от нуля до 9 баллов. Предварительная оценка «отлично» на экзамене считается, если количество набранных баллов - от 8 до 9, «хорошо» - от 6 до 7, «удовлетворительно» - от 4 до 5 баллов.

Конечная оценка, которая ставится в ведомость и студенту - в зачетку, зависит и от его работы в течение семестра, т. е., результатов промежуточной аттестации. В случае претензий к оценке знаний студентам предлагается ознакомиться с ее критериями (см. выше).

Примечание. Студентам, получившим 0 баллов по аттестации или при явной пассивности на практических занятиях, дается дополнительная задача.

1.6.3.4. Организация самостоятельной работы студентов

Каждый студент обязан в течение двух недель после окончания очередной темы сдать соответствующую работу на проверку ассистенту или лектору. «Работа над ошибками» проводится во время еженедельных консультаций, назначаемых на кафедре. График организации самостоятельной работы студентов представлен ниже.

График организации самостоятельной работы студентов по дисциплине «Математический анализ» учебного плана 2006 года специальности 010501 «Прикладная математика и информатика»

Раздел, тема	Кол-во самост. заданий	Срок выполнения	Объем часов
Функции одной и нескольких переменных (непрерывность, дифференциальное и интегральное исчисление, задачи на экстремум)
1 семестр:
Последовательности вещественных чисел.	4 практ.	Сентябрь	18
Дифференциальное исчисление функции одной переменной.	7 практ.	Октябрь – ноябрь	26
Интегральное исчисление функции одной переменной.	10 практ.	Ноябрь –декабрь	26
Дифференциальное исчисление функций многих переменных.	5 практ.	Декабрь	19
Итого за 1 семестр:			89
2 семестр:
Кратные и криволинейные интегралы.	13 практ.	Февраль – март	20
Основы теории поля:	5 практ.	Март - апрель	16
Функциональные последовательности и ряды
Теория числовых рядов.	7 практ.	Апрель – май	20
Функциональные ряды.	7 практ.	Май	16
Итого за 2 семестр:			72
Функции комплексной переменной
3 семестр:
Аналитические функции комплексной переменной.	10 практ.	Сентябрь – октябрь	20
Интегрирование функций комплексного переменного.	10 практ.	Октябрь – ноябрь	16
Ряды аналитических функций.	7 практ.	Ноябрь	16
Вычеты и их применение.	7 практ.	Декабрь	16
Итого за 3 семестр:			71
4 семестр:
Операционное исчисление.	6 практ.	Февраль – март	24
Ряд Фурье и преобразование Фурье
Ряды, преобразование и интеграл Фурье.	6 практ.	Апрель-Май	24
Полиномы Лагранжа и Чебышева.	4 практ.	Май	20
Итого за 4 семестр:			68
5 семестр:
Мера и интеграл Лебега
Специальные функции.	8 практ.	Сентябрь-октябрь	20
Обобщенные функции	5 практ	Ноябрь	20
Мера и интеграл Лебега.	4 практ.	Декабрь	22
Итого за 5 семестр:			67
Итого:			367

График организации самостоятельной работы студентов по дисциплине «Математический анализ» учебного плана 2007, 2008 года специальности 010501 «Прикладная математика и информатика»