Математика (стр. 5 )

;

.

Рассчитаем средние значения признаков xi и yi:

;

.

В клетках столбца 4 вычислим разность значений результатов метания диска xi и их среднего значения : , а в клетках столбца 5 – аналогичную разность для толкания ядра . Суммы элементов этих столбцов должны быть равны нулю, поскольку сумма отклонений значений признака от среднего значения равна нулю.

В столбце 6 подсчитаем произведения отклонений двух исследуемых признаков от их средних значений ()×(). В столбце 7 вычислим квадраты отклонений результатов метания диска от среднего их значения – ()2, а в столбце 8 - квадраты отклонений результатов толкания ядра от их среднего значения – ()2. Подсчитаем соответствующие суммы и занесем результаты в последнюю строку таблицы:

;

;

.

Используя полученные значения вспомогательных сумм, вычислим значение коэффициента корреляции Браве-Пирсона:

.

Коэффициент корреляции лежит в интервале , поэтому можно сделать предположение о том, что между результатами, показанными спортсменами в метании диска, и результатами, показанными ими в толкании ядра, существует линейная положительная сильная статистическая взаимосвязь.

Коэффициент детерминации в рассматриваемом случае равен

.

Таким образом, 70% взаимосвязи между двумя наборами данных объясняется их взаимовлиянием. Остальная часть вариации обусловлена воздействием других неучтенных причин.

Для обоснования статистической значимости полученного коэффициента корреляции воспользуемся двусторонним критерием. Сформулируем статистические гипотезы. Н0 – в генеральной совокупности корреляция отсутствует, а отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции связано со случайностью выборки. Н1 – в генеральной совокупности существует взаимосвязь между двумя исследуемыми признаками. Зададимся уровнем статистической значимости α=0,05. Соответствующее ему критическое значение коэффициента корреляции для объема выборки n=20 равно rкр=0,468 (см. таблицу 2 Приложения). Так как значение выборочного коэффициента корреляции превосходит значение критического для заданного уровня значимости, то делаем вывод о статистической значимости коэффициента корреляции на уровне значимости 0,05. Между результатами, показанными спортсменами в метании диска, и результатами, показанными ими в толкании ядра, существует значимая положительная взаимосвязь.

Обоснуем статистическую значимость коэффициента корреляции иным способом. Он используется тогда, когда таблицы критических значений коэффициента корреляции оказались по каким-либо причинам недоступными. В том случае для проверки статистической значимости применяется t-критерий Стьюдента, таблицы критических значений которого гораздо доступнее. Сами формулировки статистических гипотез Н0 и Н1 остаются без изменений. Вычислим эмпирическое значение t-критерия :

.

Сопоставим полученное значение с критическим значением критерия для числа степеней свободы и уровня значимости α=0,05. Критическое значение определяется с помощью специальных таблиц (см. таблицу 1 Приложения). В рассматриваемом случае оно равно =2,101. Поскольку эмпирическое значение критерия оказалось больше критического, то можно сделать вывод о том, что на уровне значимости 0,05 коэффициент корреляции является статистически значимым.

Для сравнения вариативности исследуемых признаков вычислим коэффициенты вариации. Предварительно, использую значения сумм столбцов 7 и 8 таблицы 3, необходимо вычислить дисперсии и стандартные отклонения:

Подсчитаем коэффициенты вариации двух признаков:

;

.

Поскольку коэффициент вариации у результатов в метании диска больше, чем у результатов в толкании ядра, то этот признак варьирует сильнее. Следует отметить, что в рассматриваемом случае различия в варьировании признаков не велики.

Определим значения коэффициентов регрессии. Для этого воспользуемся вспомогательной таблицей 7.

Таблица 7

Определение коэффициентов регрессии

1	2	3	4	5	6
i	xi	yi	xi2	xiyi	yi2
1	40,9	13,84	1672,81	566,056	191,5456
2	49,47	16,51	2447,2809	816,7497	272,5801
3	45,44	15,83	2064,7936	719,3152	250,5889
4	45,64	16,47	2083,0096	751,6908	271,2609
5	43,76	13,40	1914,9376	586,384	179,56
6	36,08	13,45	1301,7664	485,276	180,9025
7	33,92	13,88	1150,5664	470,8096	192,6544
8	40,22	15,06	1617,6484	605,7132	226,8036
9	39,47	14,68	1557,8809	579,4196	215,5024
10	38,38	13,97	1473,0244	536,1686	195,1609
11	38,68	13,70	1496,1424	529,916	187,69
12	47,14	14,68	2222,1796	692,0152	215,5024
13	36,47	12,85	1330,0609	468,6395	165,1225
14	39,03	14,84	1523,3409	579,2052	220,2256
15	46,3	15,65	2143,69	724,595	244,9225
16	33,47	12,27	1120,2409	410,6769	150,5529
17	44,97	14,97	2022,3009	673,2009	224,1009
18	38,83	13,99	1507,7689	543,2317	195,7201
19	42,68	15,03	1821,5824	641,4804	225,9009
20	30,79	11,77	948,0241	362,3983	138,5329
Сумма	811,64	286,84	33419,0492	11742,9418	4144,8300

Первые три столбца совпадают с соответствующими столбцами таблицы 6. В столбце 4 таблицы 7 вычислим квадраты значений результатов метания диска , в столбце 5 произведения двух исследуемых признаков . В последней строке таблицы подсчитаем соответствующие суммы: