Математика (стр. 1 )

Министерство спорта, туризма и молодежной

политики Российской Федерации

Российский государственный университет

физической культуры, спорта и туризма

Кафедра естественнонаучных дисциплин

МАТЕМАТИКА

Методические рекомендации

по самостоятельному изучению курса

Элементы статистических исследований

2011

Методические рекомендации

утверждены и рекомендованы

Экспертно-методическим

Советом РГУФКСиТ

Протокол №_____

от «____» ___________2011 г.

Составители: – кандидат педагогических наук, доцент кафедры ЕНД РГУФКСиТ;

– кандидат технических наук, доцент кафедры ЕНД РГУФКСиТ;

Рецензент: – д. п.н., профессор кафедры ЕНД РГУФКСиТ.

Методические указания разработаны по самостоятельному изучению курса «Математика» для студентов, обучающихся по направлениям 032100.62 «Физическая культура», 100200.62 «Туризм», 080100.62 «Экономика», по специальностям: 032101.65 «Физическая культура и спорт», 032103.65 «Рекреация и спортивно-оздоровительный туризм», 100201.65 «Туризм», 032102.65 «Физическая культура для лиц с отклонениями в состоянии здоровья (АФК)», 030602.65 «Связи с общественностью», 080507.65 «Менеджмент организации», 030301.65 «Психология», 040104.65 «Организация работы с молодежью», 050720.65 «Физическая культура».

В пособии рассмотрены основные сведения по статистическому анализу выборочных совокупностей, необходимые для решения ряда задач в области физической культуры и спорта. Материал пособия представлен с позиции прикладной направленности дисциплины.

Учебное пособие предназначено для студентов дневной и заочной форм обучения для изучения теоретических и практических основ математической статистики при подготовке к занятиям и сдаче экзамена.

Содержание

1 Эмпирические распределения и числовые характеристики (выборочное исследование) 4

1.1 Генеральная и выборочная совокупности.. 4

1.2 Формы представления эмпирических распределений 8

1.2.1 Построение статистических рядов.. 8

1.2.2 Графическое представление статистических рядов 16

1.3 Числовые характеристики выборки.. 20

1.3.1 Характеристики положения.. 21

1.3.2 Характеристики рассеяния.. 28

1.3.3 Характеристики формы... 34

2 Исследование корреляции и регрессия.. 39

2.1 Общие сведения.. 39

2.1.1 Виды взаимосвязи.. 39

2.1.2 Форма зависимости.. 40

2.1.3 Направленность взаимосвязи.. 41

2.1.4 Теснота (сила) взаимосвязи.. 41

2.1.5 Коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона.. 44

2.1.6 Коэффициент ранговой корреляции rs Спирмена.. 46

2.1.7 Регрессия.. 52

2.2 Пример исследования корреляции и регрессии.. 55

Список литературы... 67

Приложение. Статистические таблицы... 68

1 Эмпирические распределения и числовые характеристики (выборочное исследование)

Задание. Даны результаты экспериментального исследования одного признака. Произвести табличное и графическое представление экспериментальных данных, рассчитать числовые характеристики выборки.

1.1 Генеральная и выборочная совокупности

Законы теории вероятностей представляют собой математическое выражение реальных закономерностей, фактически существующих в массовых случайных явлениях. Разработка методов регистрации, описания и анализа экспериментальных данных, полученных в результате наблюдения массовых случайных явлений, составляет предмет специальной науки – математической статистики. Задачи математической статистики касаются вопросов обработки наблюдений над массовыми случайными явлениями, но в зависимости от характера решаемого практического вопроса и от объема имеющегося экспериментального материала эти задачи могут принимать ту или иную форму.

Выбор объектов для исследования производится на основе обладания ими общими признаками. Именно наличие общего признака позволяет, с одной стороны, объединить их в одну группу, а с другой – сравнивать между собой. По характеру представления признаки подразделяются на качественные и количественные.

Качественные признаки отражают определенные свойства качества данного объекта и записываются в виде текста. Примерами качественных признаков являются: пол, принадлежность к той или иной команде, специализация и т. д.

Количественные признаки характеризуются определенными численными значениями и подразделяются на дискретные и непрерывные.

Дискретным называется признак, множество значений которого является счетным множеством (элементы счетного множества могут быть перенумерованы и выписаны в соответствующей последовательности). Например, количество баллов, очков, забитых мячей и т. д.

Непрерывным является признак, который может принимать любые значения из некоторого интервала числовой оси (скорость движения, время прохождения дистанции и т. д.).

Предположим, что изучается поведение признака, являющегося случайной величиной, т. е. величиной, которая в результате опыта приобретает одно из своих возможных значений, неизвестно заранее какое. С этой целью над случайной величиной производится ряд независимых опытов-наблюдений. В каждом из этих опытов исследуемая случайная величина принимает определенное значение. Отдельные значения исследуемого признака принято называть вариантами и обозначать латинскими буквами x, y и т. п. из конца алфавита. Совокупность зафиксированных значений признака представляет собой первичный экспериментальный материал, подлежащий обработке, осмыслению и статистическому анализу. Такая совокупность называется статистической совокупностью. Итак, статистической совокупностью называется множество зафиксированных в ходе наблюдений значений признака. Из всех возможных статистических совокупностей особое значение для исследования имеют две совокупности: генеральная и выборочная.

Множество всех возможных значений признака, которое можно было бы получить в данном исследовании, называется генеральной совокупностью.

Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называется статистическая совокупность, состоящая из некоторого числа значений признака, случайным образом отобранная из соответствующей генеральной совокупности.

Случайность отбора необходима для того, чтобы свойства полученной выборки наилучшим способом отражали соответствующие свойства генеральной совокупности, т. е. выборка была репрезентативной (представительной). Выборка является случайной, если, во-первых, все измерения, составляющие выборку, независимы (т. е. результат каждого измерения не зависит от предыдущих) и, во-вторых, каждый из объектов генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность быть представленным в выборке.

Одной из главных характеристик выборки является число элементов в ней, которое называется объемом выборки и обозначается символом n. В большинстве практически важных случаев объем выборки существенно меньше объема генеральной совокупности, что позволяет считать, что выборка производится из генеральной совокупности, содержащей бесконечное число членов.

Статистические исследования различаются по степени охвата рассматриваемой статистической совокупности. Исследования, охватывающие все объекты генеральной совокупности, называются сплошными, а использующие информацию лишь о некоторой части объектов генеральной совокупности - несплошными. Примером сплошного исследования является Всероссийская перепись населения. Несплошные исследования подразделяются на выборочные, способ основного массива и монографические.

При выборочном исследовании изучению подвергаются элементы выборки. Репрезентативность выборочной совокупности основывается на соблюдении научно обоснованных правил ее формирования.

В случае применения способа основного массива изучению подлежат наиболее существенные элементы совокупности, которые имеют в ней максимальный удельный вес.

При проведении монографического исследования производится подробное изучение характеристик отдельного объекта генеральной совокупности. Монографическое описание используется для характеристики, например, одного конкретного спортсмена.

В области физической культуры и спорта экспериментальные данные, как правило, являются результатами измерений некоторых признаков (спортивный результат, двигательные способности и пр.) объектов, являющихся частью более широкой совокупности подобных объектов. Таким образом, они являются выборочными. Проведение сплошных исследований не характерно для физической культуры и спорта, да и вообще для статистических исследований. Например, просто невозможно, не говоря уже о том, что и нецелесообразно обследовать всех спортсменов, занимающихся определенным видом спорта и имеющих одинаковую квалификацию. Таким образом, проведение эксперимента для всей генеральной совокупности, как правило, или неосуществимо, или неоправдано, поэтому применяется выборочный метод. Выборочный метод является одним из основных методов математической статистики. При выполнении выборочных исследований получаемые результаты используются для описания свойств всей генеральной совокупности.

Проводя каждое конкретное статистическое исследование, необходимо точно определить, что в данном случае является генеральной совокупностью. Так, например, если производится исследование роста российских студентов, то все они составляют генеральную совокупность, а студенты какого-либо института – выборку. В то же время все студенты нашей страны являются выборкой из более широкой совокупности - множества студентов нашей планеты.

Объем и состав выборки зависят от объектов и целей проводимого исследования. Чем больше объектов включает в себя выборка, тем точнее отражает она свойства генеральной совокупности. Вместе с тем увеличение объема выборки приводит к усложнению проведения исследования и повышению его стоимости, поэтому необходимо находить компромисс, так чтобы обследуемые выборки были и не слишком велики, и представительны.

Далее будет рассмотрено применение выборочного метода для установления вида закона распределения случайной величины и оценки числовых характеристик статистического распределения.

1.2 Формы представления эмпирических распределений

Статистическое исследование состоит из трех основных этапов. Первым этапом является наблюдение, при котором производится научно обоснованный сбор данных, характеризующих изучаемое явление или объект. Второй этап заключается в статистической сводке и группировке. На этом этапе данные систематизируются и определенным образом оформляются – чаще всего в виде статистических таблиц. Третьим этапом является анализ статистического материала.

Применение того или иного метода статистического анализа определяется математической моделью, описывающей свойства генеральной совокупности. Для корректного проведения эксперимента выбор и обоснование математической модели должны быть произведены до его начала. На практике при проведении обследований ограниченный объем предварительной информации не позволяет сделать обоснованное предположение о математической модели генеральной совокупности. В таких случаях ее выбор осуществляется на основе построения эмпирического распределения и анализа его характеристик. Под эмпирическим распределением принято понимать распределение элементов выборки по значениям изучаемого признака. Построение эмпирических распределений является необходимым этапом применения статистических методов. Основной задачей при построении эмпирического распределения является формулирование на основе его анализа предположения о форме распределения изучаемого признака в генеральной совокупности.

1.2.1 Построение статистических рядов

Выборка, полученная при проведении экспериментального исследования, представляет собой неупорядочен­ный набор чисел, записанных в той последовательности, в которой производились измерения. Обычно выборка оформляется в виде таблицы, в первой строке (или столбце) которой стоит номер опыта i, а во второй (втором) - зафиксированное значение случайной величины признака. В таком виде выборка представляет собой первичную форму записи статистического материала, который может быть обработан различными способами. В качестве примера рассмотрим результаты, показанные на легкоатлетических соревнованиях толкателями ядра и приведенные в таблице 1. В первой строке этой таблицы записаны номера измерений, а во второй - их численные значения в метрах.

Таблица 1

Результаты соревнований в толкании ядра

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	16,36	14,91	15,31	14,26	14,77	13,88	14,97	14,01	14,07	14,48

№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
xi	14,44	14,81	13,81	15,15	15,23	15,69	14,29	14,15	14,57	13,92

№	21	22	23	24	25	26	27	28	29
xi	13,62	14,92	15,73	13,22	14,65	14,8	13,04	15,1	13,3

Как видно из таблицы 1, простая статистическая совокупность перестает быть удобной формой представления статистического материала даже при относительно небольшом объеме выборки: она является достаточно громоздкой и мало наглядной. Проанализировать полученные экспериментальные данные и тем более сделать какие-либо выводы на их основе весьма затруднительно. Исходя из этого, полученный статистический материал должен быть обработан для проведения дальнейшего исследования. Простейшим способом обработки выборки является ранжирование. Ранжированием называют расстановку вариант в порядке возрастания или убывания их значений. Ниже в таблице 2 приведена ранжированная выборка, элементы которой расположены в порядке возрастания.

Таблица 2

Ранжированные результаты соревнований в толкании ядра

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	13,04	13,22	13,3	13,62	13,81	13,88	13,92	14,01	14,07	14,15

№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
xi	14,26	14,29	14,44	14,48	14,57	14,65	14,77	14,8	14,81	14,91

№	21	22	23	24	25	26	27	28	29
xi	14,92	14,97	15,1	15,15	15,23	15,31	15,69	15,73	16,36

Но и в таком виде полученные экспериментальные данные плохо обозримы и мало пригодны для непосредственного анализа. Именно поэтому для придания статистическому материалу большей компактности и наглядности он должен быть подвергнут дальнейшей обработке – строится так называемый статистический ряд. Построение статистического ряда начинается с группировки.