Алгебра и геометрия (стр. 2 )

II.4 Линейные операции над векторами

в координатной форме

Пусть в векторном пространстве выбран базис и заданы координаты векторов в этом базисе: ; .

Тогда

- при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это числo: ,

- при сложении векторов складываются их соответствующие координаты: .

Замечание. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

.

II.5 Система координат

Координаты вектора в ортонормированном базисе

Рассмотрим случай трехмерного векторного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем не­которую точку O и возьмем произвольную точку M. Радиус-вектором точки M по отношению к точке O называется вектор .

Если в пространстве выбран базис, то вектор раскладывается по этому базису. Таким образом, точке M можно сопоставить упорядоченную тройку чисел (x, y, z) – координаты ее радиус-вектора.

Определение.  Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.  

Точка O носит название начала координат; прямые X/X , Y/Y , Z/Z, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая X/X – осью абсцисс, вторая Y/Y – осью ординат, третья Z/Z – осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

Определение. Координаты (x, y, z) радиус – вектора точки M по отношению к началу координат называются координатами точки M в рассматриваемой системе координат.  

  Первая координата x называется абсциссой, вторая y – ординатой, третья z – аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости: точка имеет только две координаты x и y– абсциссу и ординату. Определение. Декартова система координат называется прямоугольной, если базис задается единичными и попарно ортогональными (перпендикулярными) друг другу векторами – базисными ортами :

– орт оси OX;

– орт оси OY;

– орт оси OZ.

Базис () назы­вается ортонормированным.  

  В дальнейшем будет использоваться декартова прямоугольная система координат.

Утверждение. Если точки A и B заданы своими координатами , то .

II.6 Проекции вектора

Пусть в пространстве задана некоторая ось l, то есть прямая, на которой отмечена фиксированная точка O и заданы направление и единица длины. Тогда каждой точке оси соответствует некоторое число. Определение.  Проекцией точки A на ось l называется число, соответствующее основанию перпендикуляра AB, опущенного на ось l из точки A.  

Определение. Проекцией вектора на ось l называется разность проекций конца вектора и его начала.  

Проекция обозначается . На рис. 9 .
Легко проверить, что если , то , то есть проекция не зависит от положения начала вектора, а зависит только от самого вектора.

Рис. 9

Утверждение. Пусть – угол, образованный вектором с осью l. Тогда .

Таким образом, проекция вектора на ось есть число, которое может быть положительным, отрицательным и нулем (рис 10).

,

,

Рис. 10

Определение.  Проекцией вектора на вектор , , называется проекция вектора на любую ось, параллельную вектору и имеющую направление, совпадающее с направлением вектора .  

Проекция вектора на вектор обозначается . Очевидно, что , где – угол между векторами и .

  Поместим вектор в начало координат и обозначим через углы, образованные векторомс положительным направлением осей OX, OY,OZ. Эти углы называются направляющими углами вектора.

Определение. Косинусы углов, образованных вектором с осями координат, называются направляющими косинусами вектора.  

Рис.11

В соответствии с рис. 11, направляющими косинусами вектора являются

Отметим важное свойство направляющих косинусов:

Утверждение. Координаты вектора равны его направляющим косинусам, умноженным на длину вектора:

Если вектор единичный, то его координатами служат направляющие косинусы:

II.7 Скалярное произведение векторов и его приложение

Кроме операций сложения и умножения на число на множестве векторов определены еще несколько операций. Одна из них – скалярное произведение, позволяющее находить длины векторов и углы между векторами по координатам векторов.

Определение.  Скалярным произведением векторов и называется число, равное , где – угол между векторами и .  

Скалярное произведение векторов и обозначается , или . Скалярное произведение вектора на себя :=.

Таким образом, согласно определению, где .

Скалярное произведение обладает свойствами, которые будут сформулированы в виде теоремы.

Теорема.   Для любых векторов и выполнены следующие соотношения:
10 - свойство коммутативности;
20 - свойство дистрибутивности;
30 , где число;
40 при ;
50 ;
60 Если – угол между векторами и , то

(6)

70 тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны.

80 Геометрический смысл: , если ;

90 Механический смысл: скалярное произведение силы на вектор равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору , т. е. .

Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов координатных осей:

  Если векторы и в ортонормированном базисе заданы своими координатами: , то формула для вычисления скалярного произведения векторов и по координатам сомножителей имеет вид

, (7)

т. е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных проекций.

Так как, то, применяя равенство (7), получим формулу для определения длины вектора :

. (8)

Пусть в пространстве заданы точки и. Тогда . Длина вектора будет равна и из формулы (8) следует, что .

Решение типовых задач

Пример № 1. Коллинеарны ли векторы где .

Решение.

1) Найдем координаты векторов и , пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:

2) Так как , то координаты векторов и пропорциональны. Следовательно, векторы и коллинеарны.

Ответ. Векторы и коллинеарны.

Пример № 2. Даны вершины треугольника: . Найдите длину стороны и .

Решение.

1) Вычисляем координаты векторов и :

2) По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов имеем

т. е. .

Ответ. =5 ед. .

Пример № 3. Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и , где – единичные векторы, угол между которыми равен .

Решение. Сделав схематический рисунок,

Рис. 12

убеждаемся, что вектор , соответствующий одной диагонали параллелограмма, находится по формуле

,

а другой –

.

Отсюда

(9)

В силу свойства 50 теорема скалярного произведения получим

ед2 . ед.

Аналогично,

ед2 . ед.

Найдем скалярное произведение векторов и .

Учитывая свойство 10 коммутативности скалярного произведения и (9), имеем

Так как

то .

Ответ. .

Пример № 4. Под действием силы в 20 Н материальная точка переместилась по прямой на 2 м. Найти работу, совершаемую этой силой, если угол между силой и направлением равен .

Решение. Работа А вычисляется по формуле

где – вектор действующей силы, – вектор пути. Получим

.

Ответ.

II.8 Векторное произведение векторов и его приложение

Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , определяемый следующими условиями: 1) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т. е. , где – угол между векторами и , и если , то еще двум условиям:

2) вектор ортогонален плоскости векторов и , т. е. и ; 3) векторы , и образуют правую тройку: из конца вектора кратчайший поворот от вектора (первого сомножителя) к вектору (второму сомножителю) виден против часовой стрелки (начала векторов предполагаются совмещенными) (рис. 13).

Рис. 13

Замечание. Угол между векторами в пространстве удовлетворяет условию . Тогда . Если или , то считается, что векторное произведение равно . Векторное произведение вектора на вектор обозначается или .

Свойства векторного произведения векторов
10 – свойство антикоммутативности;
20 тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны;

30 , где число;
40 – свойство дистрибутивности;
50 .
60 Геометрический смысл:

– площадь параллелограмма, сторонами которого служат векторы и , равна модулю их векторного произведения,

(10)

– площадь треугольника со сторонами и вычисляется по формуле

.

70 Механический смысл: если – сила, приложенная к точке М, то момент этой силы относительно точки А равен векторному произведению векторов и , т. е. .

Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис . Наложим на этот базис еще одно дополнительное условие (рис. 14): векторы образуют правую тройку.

Рис.14

Из определения векторного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов координатных осей:

  Если векторы и в ортонормированном базисе заданы своими координатами: , то формула для вычисления векторного произведения векторов и по координатам сомножителей имеет вид .

II.9 Смешанное произведение векторов и его приложение

Пусть заданы три произвольных вектора , и .

Определение. Смешанным (или векторно – скалярным) произведением трех векторов (взятых в указанном порядке) называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и , т. е. .  

Смешанное произведение обозначается .

Свойства смешанного произведения

10 Смешанное произведение не изменится:

а) при циклической перестановке сомножителей, т. е.

;

б) при замене местами знаков векторного и скалярного умножений, т. е. .

20 При перемене мест любых двух сомножителей в смешанном произведении его знак меняется на противоположный:

.

30 Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:

а) хотя бы один из векторов нулевой;

б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;

в) перемножаемые векторы компланарны.

Признак компланарности. Для того чтобы три ненулевых вектора и были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю:

, (11)

равенство (11) называется условием компланарности векторов.

Геометрический смысл смешанного произведения трех некомпланарных векторов заключается в том, что абсолютная величина смешанного произведения векторов и равна объему параллелепипеда,

построенного на векторах и , как на сторонах, т. е. ;

объем образованной этими векторами треугольной пирамиды находится по формуле

. (12)

Если векторы , и в ортонормированном базисе заданы своими координатами: , , то формула для вычисления смешанного произведения векторов , и по координатам сомножителей имеет вид

.

Решение типовых задач

Пример № 1. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если известно, что и угол между векторами и равен .

Решение.

1) Вычислим , используя свойства векторного произведения:

2) Вычислим модуль векторного произведения:

.