Алгебра и геометрия (стр. 1 )

МИНистерство ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ГОУ ВПО «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Высшая математика»

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Методические указания и контрольные задания

Волгоград

2011

УДК 512 + 514] (07)

A 45

Алгебра и геометрия: методические указания и контрольные задания / Сост. ; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2011. – 50 с.

Рассматриваются вопросы программы курса алгебры и геометрии. В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения, решения типовых задач. В конце методических указаний имеются варианты контрольных заданий.

Предназначены для студентов заочного отделения инженерно-техни-ческих специальностей высших учебных заведений.

Ил. 14. Библиогр.: 5 назв.

Рецензент: к. ф.-м. н.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

Ó Волгоградский

государственный

технический

университет, 2011

Введение

Математика является строгой формализованной наукой. Ее изучение имеет целью не только узнать некоторые понятия, факты и приемы, но и воспитать научное логическое мышление.

Основной формой обучения студента заочного отделения является самостоятельная работа над учебным материалом и впоследствии выполнение им контрольных заданий.

Цель методических указаний – помочь студентам – заочникам научится решать задачи по курсу алгебры и геометрии.

Линейная алгебра возникла как наука о решении систем линейных алгебраических уравнений. Важность систем линейных уравнений (СЛУ) особенно возросла после создания аналитической геометрии, позволившей свести к исследованию СЛУ все основные вопросы о расположении плоскостей и прямых в пространстве.

Впоследствии предмет линейной алгебры расширился. Теперь она представляет собой теорию линейных преобразований в конечномерных векторных пространствах.

В методических указаниях предложен координатно – матричный подход в изложении линейной алгебры и геометрии. Здесь рассматриваются основные вопросы теории определителей, элементы теории матриц, теория систем линейных уравнений, векторная алгебра.

Включены элементы аналитической геометрии: прямая линия, плоскость, прямая в пространстве и кривые второго порядка.

В каждом пункте описаны приемы решения типовых задач, а в конце методических указаний приведены задания контрольных работ.

В помощь заочникам институт организует чтение лекционных и практических занятий. Также в процессе рецензирования контрольных работ студент получает указания по решению задач.

Контрольную работу студент – заочник выполняет в отдельной тетради, на обложке которой записывает свои фамилию, инициалы и адрес; название дисциплины, номер варианта, шифр и дату отправки в институт контрольной работы. В процессе оформления условие каждой задачи должно быть полностью переписано, затем ее решение следует излагать подробно, объясняя все действия и делая необходимые чертежи. В конце работы следует указать используемую литературу. Если контрольная работа не зачтена, то ее возвращают студенту для исправления ошибок и затем повторно рецензируют.

Завершающим этапом обучения студента – заочника становится сдача экзамена.

Основные теоретические сведения

I. Линейная алгебра

I.1 Основные понятия

Любая прямоугольная таблица чисел называется матрицей. Обозначение:

,

где – элемент матрицы (); – число строк, – число столбцов матрицы . Говорят: матрица имеет размерность .

Если , то называется квадратной матрицей – ого порядка.

Определение. Минором элемента определителя – ого порядка называется определитель – ого порядка, полученный из данного вычеркиванием той строки и ого столбца.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя – ого порядка называется число, полученное умножением минора этого элемента на , т. е. .

Определитель , соответствующий матрице – ого порядка, определяется равенством , где – алгебраическое дополнение, .

В частности, определитель матрицы второго порядка ;

определитель матрицы третьего порядка Линейные действия с матрицами. Пусть заданы две матрицы и (), тогда

1) ;

2) , где – число.

Свойства сложения матриц и умножения их на число:

1) ,

2)

3)

4)

5)

где числа.

Умножение матриц. Пусть заданы две матрицы и (), тогда произведение матриц и определяется следующим образом: , т. е. надо элементы й строки матрицы умножить на соответствующие элементы го столбца матрицы и результаты сложить.

Свойства:

1)

2)

3)

4)

5) ,

где единичная матрица.

Обратная матрица. Матрица называется обратной матрице , если . Для того чтобы матрица имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т. е. чтобы .

Обратная матрица определяется по формуле

где алгебраические дополнения элементов в определителе .

I.2 Методы решения систем линейных уравнений

I.2.1 Метод Крамера

Дана система уравнений с неизвестными:

(1)

Cоставим главный определитель системы

и дополнительных определителей

, , …, .

Если , то решение системы находится по формулам Крамера

I.2.2 Метод Гаусса

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными:

(2)

Допустим, что (если , то следует изменить порядок уравнений, выбрав первым такое уравнение, в котором коэффициент при не равен нулю).

I этап (прямой ход): делим первое уравнение системы (2) на ; затем вычитаем из

- второго уравнения первое, умноженное на ;

- третьего уравнения первое, умноженное на ;

- четвертого уравнения первое, умноженное на ; и т. д..

В результате получим систему, равносильную (2):

(3)

где (),

Поступаем со вторым, третьим, …, –м уравнением системы (3) точно так же, как с уравнениями системы (2), предполагая теперь, что , и т. д.. В итоге заданная система (2) преобразуется к «ступенчатому» виду:

(4)

где .

II этап (обратный ход): из преобразованной системы (4) последовательно находим все неизвестные.

Ступенчатая система уравнений, в общем, имеет бесчисленное множество решений. Из последнего уравнения системы (4) выразим неизвестное через остальные неизвестные Затем подставляем значение в предпоследнее уравнение системы (4) и выражаем через , и т. д., находим Т. о. система (2) будет иметь бесчисленное множество решений: неизвестные находятся из системы (4), другие же принимают любые значения из множества действительных чисел.

При этом если , то система (2) будет иметь единственное решение.

I.2.3 Матричный метод

Пусть дана система (1). Ее можно записать в матричной форме

, (5)

где – матрица из коэффициентов при неизвестных, и – столбцы, составленные из неизвестных и свободных членов соответственно.

Если определитель системы , то, умножая обе части уравнения (5) на матрицу слева, получаем решение системы в матричной форме: .

Решение типовых задач

Пример №1. Найти произведение матриц и

Решение.

= .

Ответ: .

Пример №2. Найти обратную матрицу к матрице .

Решение.

Найдем определитель

Найдем алгебраические дополнения элементов данной матрицы.

Ответ: .

Пример №3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Решение.

Находим определитель системы.

Находим вспомогательные определители.

Находим неизвестные

Ответ: .

Пример №4. Решить систему уравнений методом Гаусса

Решение.

Запишем расширенную матрицу данной системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк:

~~.

Для полученной ступенчатой матрицы запишем соответствующую систему:

Из последнего уравнения находим и подставляем в предыдущее

.

Оба найденных значения и z подставляем в первое уравнение

Ответ: .

II. Векторная алгебра

II.1 Основные понятия

Геометрическим вектором называется направленный отрезок прямой, т. е. отрезок, для которого указаны ограничивающие его точка начала и точка конца вектора.

Если точка А – начало вектора, а точка В – конец вектора, то вектор обозначается символом. Век­торы также обозначаются малыми латинскими буквами: и т. д. (рис. 1).

Рис. 1

Рис. 2.а Рис. 2.б

Определение. Число, равное длине вектора, называется его модулем.

Модуль вектора обозначается символом .

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой (рис.2).

Если два вектора и коллинеарны, то это обозначается следующим образом: . Векторы, изображенные на рис. 2.а, называются сонаправленными, обозначается так , а векторы, изображенные на рис 2.б, называются противоположно направлен­ными. Символически это записывается так .

Определение. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Определение. Два вектора и называются равными, если выполнены следующие усло­вия:

модули этих векторов равны; векторы сонаправлены.

Символически это определение можно записать следующим образом:

Рис. 3

Если в пространстве заданы два вектора и то, используя определение равенства векторов, их можно привести к одному началу (рис. 3).

Рис. 3

Тогда углом между векторами и называется наименьший угол j (j Î [0,p]), на который нужно повер­нуть вектор до совпадения с вектором .

II.2 Линейные операции над векторами

1. Сложение векторов

Если даны два вектора и , то располагают их так, чтобы начало второго вектора совпало с кон­цом первого вектора. Тогда суммой векторов и называется такой вектор, который соединяет начало первого вектора с концом второго (рис.4). Такое правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Аналогичное правило сложения (правило многоугольника) действует и для нескольких векторов (рис. 5).

Рис.4 Рис.5

Если два вектора приведены к одному началу, то их суммой будет вектор, образованный диагональю парал­лелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, и выходящий из общего начала (рис. 6). Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма.

Рис. 6

Из введенных выше правил сложения векторов вытекают следующие свойства этой операции:

1. += + – свойство коммутативности операции сложения;

2. (+)+=+(+) – свойства ассоциативности операции сложения;

3. +(-) = – наличие противоположного элемента;

4. + = – наличие нулевого элемента.

2. Вычитание векторов

Разностью двух векторови называется вектор, равный сумме вектора и вектора (-), противоположного вектору :

-=+(-).

Если векторы приведены к общему началу, то вектор, равный разности -, является второй диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах. При этом началом этого вектора явля­ется конец вектора (рис. 7).

Рис.7

3. Умножение вектора на скаляр

Определение. Произведением вектора на действительное число l называется новый вектор, обозначаемый l, такой, что его модуль равен модулю вектора , умноженному на модуль числа l, т. е. , и векторы и l сонаправлены при l>0 и противоположно направлены при l<0 (рис. 8).

Рис. 8

Произведение вектора на число обладает свойствами, которые легко доказать геометрически. Для лю­бых действительных чисел и и любых векторов и

умножение на единицу,

свойство ассоциативности по отношению к числам,

свойство дистрибутивности относительно сложения чисел,

свойство дистрибутивности относительно сложения векторов.

Из определения и свойств вытекают следующие полезные для практики равенства

Единичный вектор. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором.

Вектор, имеющий направление вектора и модуль, равный единице, называется ортом направления вектора . Орт обозначается символом.

Для любого заданного вектора легко получить его орт. Для этого необходимо вектор разделить на его модуль:

II.3 Разложение вектора по базису

Определение.  Множество векторов на прямой назовем одномерным векторным пространст­вом, множество векторов на плоскости  – двумерным векторным пространством, в пространстве – трех­мерным векторным пространством.  

Говорят, что вектор раскладывается по векторам , если является линейной комби­нацией этих векторов, т. е. представим в виде =.

Определение.  Базисом векторного пространства будем называть упорядоченную систему векторов пространства, состоящую: из одного ненулевого вектора, если пространство одномерное; из двух неколлинеарных векторов, если пространство двумерное; из трех некомпланарных векторов, если простран­ство трехмерное.  

Определение.  Координатами (или компонентами) вектора в базисе называются ко­эффициенты разложения вектора по векторам базиса. Для указания, что вектор имеет координаты используется запись.