Алгебра и геометрия (стр. 3 )

3) Найдем площадь параллелограмма, используя формулу (10):

кв. ед.

Ответ. Площадь параллелограмма равна 11 кв. ед.

Пример № 2. Компланарны ли векторы и ?

Решение.

1) Вычислим смешанное произведение векторов:

.

2) Так как , то векторы , и компланарны.

Ответ. Векторы , и компланарны.

Пример № 3. Вычислить объем пирамиды с вершинами и ее высоту, опущенную из вершины на грань .

Решение.

1) Из вершины проведем векторы

2) Вычислим смешанное произведение векторов

и найдем объем пирамиды по формуле (12):

куб. ед.

3) Известно, что объем пирамиды можно найти и по формуле , откуда

, (13)

где площадь основания пирамиды, высота пирамиды.

Согласно геометрическому смыслу векторного произведения

.

Вычислим площадь основания пирамиды:

.

Следовательно,

кв. ед.

Найдем высоту по формуле (13):

ед.

Ответ. куб. ед.; ед.

III. Аналитическая геометрия на плоскости

III.1 Уравнения прямой

Уравнением линии называется уравнение с переменными и , которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на линии.

1) – общее уравнение прямой.

2) – уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой . Здесь , где – угол, образованный прямой с осью , – величина отрезка, отсекаемого на оси .

3) – уравнение прямой в отрезках. Здесь и – величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат и соответственно.

4) – уравнение пучка прямых с центром в точке . Так как не существует, уравнение не имеет смысла для прямой, параллельной оси .

5) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .

– тангенс острого угла между прямыми и .

Если выполняется условие

a) , то прямые параллельны;

б) , то прямые перпендикулярны.

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле .

III.2 Кривые второго порядка

Кривыми второго порядка называются линии, которые описываются алгебраическими уравнениями второй степени при условии .

Окружность

– каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом .

Эллипс

– каноническое уравнение эллипса с полуосями и . Если

1) , т. е. эллипс вытянут по оси , то – полуфокусное расстояние, и – фокусы, – эксцентриситет эллипса;

2) , т. е. эллипс вытянут по оси , то – полуфокусное расстояние, и – фокусы, – эксцентриситет эллипса.

Гипербола

1) – каноническое уравнение гиперболы с действительной полуосью и мнимой полуосью . Величина – полуфокусное расстояние, , – фокусы, – эксцентриситет и – уравнения асимптот гиперболы.

2) – каноническое уравнение сопряженной гиперболы с действительной полуосью и мнимой полуосью . Величина – полуфокусное расстояние, , – фокусы, – эксцентриситет и – уравнения асимптот гиперболы.

Парабола

1) – каноническое уравнение параболы. – фокус, – уравнение директрисы.

2) – каноническое уравнение параболы. – фокус, – уравнение директрисы.

Решение типовых задач

Пример №1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Решение. Запишем уравнение данной прямой в виде и найдем ее угловой коэффициент . Так как данная и искомая прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны: . Искомая прямая проходит через точку и имеет угловой коэффициент . Ее уравнение запишется в виде или .

Пример №2. Составить уравнение эллипса с фокусами на оси , если большая ось равна 10, а эксцентриситет .

Решение. Из условия имеем Подставив в это равенство значение , получим . По формуле найдем . Следовательно, искомое уравнение имеет вид

.

IV. Аналитическая геометрия в пространстве

IV.1 Уравнения плоскости

Пусть – плоскость, – точка, принадлежащая этой плоскости; – ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости (он называется нормальным вектором плоскости); – произвольная точка на плоскости . Тогда

1) – уравнение плоскости в векторной форме.

2) – уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной вектору .

3) – общее уравнение плоскости.

4) – уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , , или в координатной форме

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Пусть плоскости и имеют нормальные векторы и . Тогда угол между этими плоскостями можно вычислить по формуле

.

Условие параллельности плоскостей и : .

Условие перпендикулярности плоскостей и : .

Расстояние от точки до плоскости находится по формуле .

IV.2 Уравнения прямой

Пусть – прямая, – точка, принадлежащая этой прямой; – ненулевой вектор, параллельный прямой (он называется направляющим вектором прямой); – произвольная точка на прямой . Тогда

1) – векторно – параметрическое уравнение прямой, где параметр .

2) – параметрические уравнения прямой.

3) – канонические уравнения прямой.

4) – общие уравнения прямой.

5) – уравнения прямой, проходящей через две точки и .

Направляющие косинусы прямой находятся по формулам где – углы, образованные прямой с координатными осями.

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Пусть прямые и имеют направляющие векторы и . Тогда угол между этими прямыми можно вычислить по формуле

.

Условие параллельности прямых и : .

Условие перпендикулярности прямых и : .

Угол между прямой и плоскостью находится по формуле

.

Условие параллельности прямой и плоскости : .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости : .

Решение типовых задач

Пример №1. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Решение. Запишем уравнение прямой в параметрической форме:

Подставив найденные значения в уравнение плоскости, имеем

,

откуда Подставим значение в параметрические уравнения прямой; получим – искомые координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Ответ.

Пример №2. Найти уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости .

Решение. Очевидно, что в качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять параллельный ему нормальный вектор плоскости . Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

Ответ.

Пример №3. Найти направляющий вектор пересечения плоскостей.

Плоскости заданы уравнениями:

Решение. Нормальные векторы плоскостей имеют вид , Известно, что вектор, равный их векторному произведению, перпендикулярен им. Следовательно, в качестве направляющего вектора пересечения плоскостей можно взять вектор :

Ответ: .

Варианты контрольных заданий

1 ВАРИАНТ

1)  Решить систему линейных уравнений: а) по правилу Крамера;

б) матричным методом:

2)  Установить совместность системы линейных уравнений и решить ее, если она совместна:

3)  Пусть в некотором базисе трехмерного линейного пространства заданы отображения . Найти координаты вектора .

4)  Дано, что . Определить при каком значении векторы будут взаимно перпендикулярны.

5)  Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

если , .

6) Показать, что векторы компланарны при любых .

7) Найти уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой, соединяющей точки .

8) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки параллельно оси .

9) Найти угол между плоскостью и плоскостью , проходящей через две точки перпендикулярно плоскости .

10) Определить направляющие косинусы прямой

2 ВАРИАНТ

1) Решить систему линейных уравнений: а) по правилу Крамера;

б) матричным методом:

2) Установить совместность системы линейных уравнений и решить ее, если она совместна:

3) Пусть в некотором базисе трехмерного линейного пространства заданы отображения . Найти координаты вектора .

4) Вычислить высоту треугольника , проведенную из вершины , если .

5) Найти проекцию вектора на вектор , если .

6) Вычислить синус угла, образованного векторами

.

7) Вычислить объем пирамиды, вершины которой находятся в точках

.

8) Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

9) Написать уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно к отрезку , если .

10) Написать уравнение прямой

в канонической форме.

3 ВАРИАНТ

1) Решить систему линейных уравнений: а) по правилу Крамера;

б) матричным методом:

2) Установить совместность системы линейных уравнений и решить ее, если она совместна:

3) Пусть в некотором базисе трехмерного линейного пространства заданы отображения . . Найти координаты вектора .

4) Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и

5) Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , , , если за основание принять параллелограмм со сторонами и .

6) Найти расстояние между плоскостями ,

.

7) Даны вершины треугольника Найти каноническое уравнение медианы, опущенной из вершины на сторону .

8) Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой

9) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно прямым

10) Две вершины эллипса лежат в фокусах гиперболы, вершины которой находятся в фокусах данного эллипса. Составить уравнение гиперболы.

4 ВАРИАНТ

1) Решить систему линейных уравнений: а) по правилу Крамера;

б) матричным методом:

2) Установить совместность системы линейных уравнений и решить ее, если она совместна:

3) Пусть в некотором базисе трехмерного линейного пространства заданы отображения