Алгебра и геометрия (стр. 4 )

. Найти координаты вектора .

4) Найти проекцию вектора на направление вектора .

5) Даны вершины пирамиды . Найти длину высоты, опущенной из вершины на грань .

6) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .

7) Найти угол между прямыми и

8) Написать уравнение перпендикуляра, проведенного из точки на прямую .

9) Через линию пересечения плоскостей , провести плоскость, параллельную оси .

10) Через фокус параболы проведена прямая перпендикулярно ее оси симметрии. Найти уравнение этой прямой.

5 ВАРИАНТ

1) Решить систему линейных уравнений: а) по правилу Крамера;

б) матричным методом:

2) Установить совместность системы линейных уравнений и решить ее, если она совместна:

3) Пусть в некотором базисе трехмерного линейного пространства заданы отображения

. Найти координаты вектора .

4) Найти длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах ,

5) Показать, что векторы , , компланарны.

6) Какой угол образует с плоскостью вектор .

7) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной к плоскостям и .

8) Привести к каноническому виду уравнение прямой

9) Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую

и перпендикулярной к плоскости

10) Определить эксцентриситет эллипса, если расстояние между его фокусами равно расстоянию между концами большой и малой осей.

6 ВАРИАНТ

1) Решить систему линейных уравнений: а) по правилу Крамера;

б) матричным методом:

2) Установить совместность системы линейных уравнений и решить ее, если она совместна:

3) Пусть в некотором базисе трехмерного линейного пространства заданы отображения

. Найти координаты вектора .

4) Найти проекции вектора на оси координат, если , и .

5) Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и .

6) Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой, соединяющей точки .

7) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярно к плоскостям и .

8) Найти уравнение прямой, проходящей через точку и пересекающей ось под прямым углом.

9) Даны вершины пирамиды и . Найти уравнения и длину высоты, опущенной из вершины .

10) Написать уравнения асимптот гиперболы, у которой вещественная ось равна 8, а расстояние между фокусами, лежащими на оси , равна 10.

7 ВАРИАНТ

1) Решить систему линейных уравнений: а) по правилу Крамера;

б) матричным методом:

2) Установить совместность системы линейных уравнений и решить ее, если она совместна:

3) Пусть в некотором базисе трехмерного линейного пространства заданы отображения

. Найти координаты вектора .

4) Даны векторы и . Найти вектор , равный и вычислить его длину.

5) Проверить, компланарны ли векторы , , .

6) Найти косинус угла между плоскостями : и

:.

7) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения плоскостей и через точки и .

8) Составить уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной к векторам и .

9) Доказать, что прямая и плоскость параллельны.

10) Через фокус параболы проведена прямая перпендикулярно ее оси симметрии. Найти уравнение этой прямой.

8 ВАРИАНТ

1) Решить систему линейных уравнений: а) по правилу Крамера;

б) матричным методом:

2) Установить совместность системы линейных уравнений и решить ее, если она совместна:

3) Пусть в некотором базисе трехмерного линейного пространства заданы отображения

. Найти координаты вектора .

4) Найти уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой, соединяющей точки .

5) Даны вершины треугольника . Найти проекцию стороны на сторону .

6) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

7) Найти уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно к плоскости .

8) Найти точку , симметричную с точкой относительно прямой

9) Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осями координат углы , , .

10) Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке , чем к точке .

9 ВАРИАНТ

1) Решить систему линейных уравнений: а) по правилу Крамера;

б) матричным методом:

2) Установить совместность системы линейных уравнений и решить ее, если она совместна:

3) Пусть в некотором базисе трехмерного линейного пространства заданы отображения

. Найти координаты вектора .

4) Даны три вектора , и . Вычислить произведение .

5) Даны вершины треугольника . Вычислить длину его высоты .

6) Определить, при каком значении плоскости , перпендикулярны.

7) Привести к каноническому виду уравнение прямой

8) Провести плоскость через пару прямых и .

9) Написать уравнение прямой, проходящей через две точки , и найти ее направляющие косинусы.

10) Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до начала координат к расстоянию до прямой равно 0,6.

10 ВАРИАНТ

1) Решить систему линейных уравнений: а) по правилу Крамера;

б) матричным методом:

2) Установить совместность системы линейных уравнений и решить ее, если она совместна:

3) Пусть в некотором базисе трехмерного линейного пространства заданы отображения

. Найти координаты вектора .

4) Найти проекцию вектора () на направление вектора , если .

5) Даны вершины пирамиды . Вычислить ее объем и высоту, опущенную из вершины на грань .

6) Найти угол между прямой и прямой, проходящей через две точки .

7) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярной к плоскости .

8) Проверить, лежат ли точки на одной прямой.

9) Найти точку, симметричную с точкой относительно плоскости .

10) Составить уравнение линии, каждая точка которой вдвое дальше от точки , чем от оси абсцисс.

Литература

1. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Физматлит, 2005.

2. , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах (часть 1). – М.: Оникс, 2009.

3. , Позняк алгебра. Учебник для вузов– М.: Физматлит, 2002.

4. , Позняк геометрия. Учебник для вузов – М.: Физматлит, 2004.

5. Миносцев типовых расчетов по высшей математике. – М.: МГИУ, 2007.

5. Шапкин с решениями по высшей математике. – М.: Дашков и Ко, 2007.

Содержание

Введение…………………………………………………………………..	3
Основные теоретические сведения……………………………………...	4
I. Линейная алгебра……………………………………………………....	4
I.1 Основные понятия…………………………………………………….	4
I.2 Методы решения систем линейных уравнений……………………..	6
I.2.1 Метод Крамера……………………………………………………...	6
I.2.2 Метод Гаусса………………………………………………………..	7
I.2.3 Матричный метод…………………………………………………...	8
Решение типовых задач………………………………………………….	8
II. Векторная алгебра..................................................................................	12
II.1 Основные понятия...............................................................................	12
II.2 Линейные операции над векторами...................................................	13
II.3 Разложение вектора по базису............................................................	16
II.4 Линейные операции над векторами в координатной форме...........	17
II.5 Система координат. Координаты вектора в ортонормированном базисе...........................................................................................................	17
II.6 Проекции вектора...............................................................................	18
II.7 Скалярное произведение векторов и его приложение.....................	20
Решение типовых примеров......................................................................	22
II.8 Векторное произведение векторов и его приложение.....................	25
II.9 Смешанное произведение векторов и его приложение....................	27
Решение типовых задач.............................................................................	28
III. Аналитическая геометрия на плоскости............................................	30
III.1 Уравнения прямой..............................................................................	30
III.2 Кривые второго порядка....................................................................	31
Решение типовых задач.............................................................................	33
IV. Аналитическая геометрия в пространстве.........................................	33
IV.1 Уравнения плоскости.........................................................................	33
IV.2 Уравнения прямой..............................................................................	34
Решение типовых задач.............................................................................	36
Варианты контрольных заданий...............................................................	37
Литература...................................................................................................	48

Составитель: Анна Сергеевна Чурзина

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Методические указания и контрольные задания

Под редакцией автора

Темплан 2011 г., поз. № 26К.

Подписано в печать г. Формат 60×84 1/16.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 3,02. Уч.-изд. л. 3,33.

Тираж 50 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет

г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп. 1.

Отпечатано в КТИ

, каб. 4.5