Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 12 )

Самостоятельная работа студентов по теме№.1. Предмет теории вероятностей. Полная группа равновозможных событий. Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.

Цель задания Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.

Срок выполнения: к следующему практическому занятию.

Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.

Задания на самостоятельную работу

В первой урне находятся a белых и b чёрных шара, во второй урне - с белых и d чёрных шара. Из первой урны во вторую переложили 2 шара, а затем из второй извлекли один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Отчетность: решение примеров

Метод оценки: пятибалльная.

Источники:

обязательные:

[1],;

Самостоятельная работа студентов по теме№.2. Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей событий. Зависимые и независимые события.

Цель задания Зависимые и независимые события

Срок выполнения: к следующему практическому занятию.

Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.

Задания на самостоятельную работу

На заводах А и В изготовлено m% и n% всех деталей. Из прошлых данных известно, что a% деталей завода А и b% деталей завода В оказываются бракованными. Случайно выбранная деталь оказывается бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на заводе А?

Отчетность: решение примеров

Метод оценки: пятибалльная.

Источники:

обязательные:

[1],; [2],;

Самостоятельная работа студентов по теме№3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса

. Цель задания. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.

Задания на самостоятельную работу

Вероятность повреждения мишени стрелком при одном выстреле равна р. Найти вероятность того, что при n выстрелах мишень будет поражена к1 не менее к и не более к2 раз.

Отчетность: решение примеров

Метод оценки: пятибалльная.

Источники:

обязательные:

[1],; [2],;

Самостоятельная работа студентов по теме№4. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Цель задания. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.

Задания на самостоятельную работу

Среднее число самолётов, прибывающих в аэропорт за 1 минуту равно m. Найти вероятность того, что за время n минут прибудут а) s самолётов; б) не менее s самолётов. Поток предполагается простейшим

Отчетность: решение примеров

Метод оценки: пятибалльная.

Источники:

обязательные: [1],; [2],;

Самостоятельная работа студентов по теме№5 Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона

Цель задания. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона

Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.

Задания на самостоятельную работу

Произведено n независимых испытаний. В каждом из них вероятность появления события А равна p. Найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит заданного числа ε.

Отчетность: решение примеров

Метод оценки: пятибалльная.

Источники:

обязательные: [1],; [2],;

Самостоятельная работа студентов по теме № 6. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Цель задания. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.

Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.

Задания на самостоятельную работу

Дискретная случайная величина принимает значение xi с вероятностями pi. Найти её математическое ожидание и дисперсию.

Отчетность: решение примеров

Метод оценки: пятибалльная.

Источники:

обязательные: [1],; [2],;

Самостоятельная работа студентов по теме № 7. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема.

Цель задания.. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема.

Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.

Задания на самостоятельную работу

Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины X имеет вид f(x) = γe –ax2+bx+c. Найти неизвестное число γ, математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х), вероятность выполнения неравенства a<X< β и |Х-М(Х)|

Отчетность: решение примеров

Метод оценки: пятибалльная.

Источники:

обязательные: [1],; [2],;

Самостоятельная работа студентов по теме № 8. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Цель задания. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.

Задания на самостоятельную работу

Из текущей продукции произведён выбор распределённой случайной величины Х валиков. Найти реализацию оценки математического ожидания и стандартного отклонения распределённой случайной величины Х – отклонения диаметра валика от номинала.

Отчетность: решение примеров

Метод оценки: пятибалльная.

Источники:

обязательные: [1],; [2],;

Самостоятельная работа студентов по теме№.9 Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения.

. Цель задания. Нормальное распределение вероятностей.

Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.

Задания на самостоятельную работу

Проведена выборка объёма n1 деталей. r1 из них оказались бракованными. Найти доверительный интервал доли бракованных изделий в генеральной совокупности для доверительной вероятности p. Определить необходимый объём выборки для достижения ширины доверительного интервала. В повторной выборке объёма n2 r2 деталей оказались бракованными. Понизилась ли доля брака?

Отчетность: решение примеров

Метод оценки: пятибалльная.

Источники:

обязательные: [1],; [2],;

Самостоятельная работа студентов по теме№.10. Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики

Цель задания. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики

Задания на самостоятельную работу

Для производства каждой из n1=53 деталей по первой технологии было затрачено в среднем 1 с (выборочная дисперсия s12 c2). Для производства каждой из n2=43 деталей по второй технологии было затрачено в среднем 2 с (выборочная дисперсия s22 c2) Можно сделать вывод, что по первой технологии требуется в среднем больше времени для производства одной детали? Доверительная вероятность р.

Отчетность: решение примеров

Метод оценки: пятибалльная.

Источники:

обязательные: [1],; [2],;

Самостоятельная работа студентов по теме№.11. Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики

. Цель задания Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики

Задания на самостоятельную работу

Автомат фасует сахар в пакеты. Проведена случайная выборка объёмом n пакетов. Средний вес пакета сахара в выборке кг, выборочное стандартное отклонение s кг. Найти доверительный интервал для среднего веса пакета сахара в генеральной совокупности с доверительной вероятностью p в случае:

А) стандартное отклонение автомата σ кг;

Б) стандартное отклонение автомата неизвестно.

Определить необходимый объём выборки для достижения ширины доверительного интервала. Проверить гипотезу о равенстве генеральной средней 1 кг.

Отчетность: решение примеров

Метод оценки: пятибалльная.

Источники:

обязательные: [1],; [2],;

Самостоятельная работа студентов по теме№.12 Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.

. Цель задания Выборочный метод

Задания на самостоятельную работу

Известны данные по объёму продаж товаров А, Б, В, Г в 2006 году и рост объёма продаж (в %) в 2007 году. Найти средний индекс роста.

Отчетность: решение примеров

Метод оценки: пятибалльная.

Источники:

обязательные: [1],; [2],;

Самостоятельная работа студентов по теме№.13 Статистические оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал

. Цель задания Статистические оценки параметров распределения.

Задания на самостоятельную работу

Указана цена товара с февраля по май. Найти соответствующие индексы роста и прироста, а так же соотв. цепные и базисные индексы (февраль – базовый месяц)

По результатам наблюдений найти оценки коэффициентов уравнения линейной регрессии y=a+bx, коэффициент корреляции Пирсона, коэффициент детерминации. Дать прогноз для х=х0.

Отчетность: решение примеров

Метод оценки: пятибалльная.

Источники:

обязательные: [1],; [2],;

Самостоятельная работа студентов по теме № 14 Методы расчета сводных характеристик выборки. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа

Цель задания. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа

Задания на самостоятельную работу

Указана цена товара с февраля по май. Найти соответствующие индексы роста и прироста, а так же соотв. цепные и базисные индексы (февраль – базовый месяц)

Отчетность: решение примеров

Метод оценки: пятибалльная.

Источники:

обязательные: [1],; [2],;

Самостоятельная работа студентов по теме №15. Статистическая проверка статистических гипотез. Область принятия гипотезы. Цепи Маркова и их применение.

Цель задания. . Статистическая проверка статистических гипотез

Задания на самостоятельную работу

Если основная гипотеза имеет вид , то конкурирующей может быть гипотеза …

Отчетность: решение примеров

Метод оценки: пятибалльная.

Источники:

обязательные:

[1],; [2],;

8.3. Оценка СРС преподавателем

Итоговая оценка СРС выставляется в журнал учебных занятий и учитывается при аттестации студентов в период зачетно - экзаменационной сессии (сокращение числа экзаменационных вопросов при оценке СРС не ниже «хорошо», предоставление права студенту выбора экзаменационных вопросов из предложенных преподавателем, выставление оценки «зачет» по результатам СРС).

Раздел 9. Практикум

Тесты

1.  Основные понятия теории вероятностей

1.1 Бросают 2 монеты. События А – «герб на первой монете» и В – «герб на второй монете» являются:

совместными

зависимыми

несовместными

независимыми

1.2 Бросают 2 кубика. События А – «на первом кубике выпала тройка» и В – «на втором кубике выпала шестерка» являются:

независимыми

несовместными

совместными

зависимыми

1.3 Бросают 2 кубика. События А – «на первом кубике выпала шестерка» и В – «на втором кубике выпала шестерка» являются:

совместными

зависимыми

несовместными

независимыми

1.4 Из каждой из двух колод вынимают по одной карте. События А – «карта из первой колоды – красной масти» и В – «карта из второй колоды – бубновой масти» являются:

независимыми

несовместными

зависимыми

совместными

1.5 Бросают 2 монеты. События А – «цифра на первой монете» и В – «цифра на второй монете» являются:

зависимыми

несовместными

независимыми

совместными

1.6 Случайные события А и В, удовлетворяющие условиям , , , являются …

совместными и зависимыми

несовместными и зависимыми

несовместными и независимыми

совместными и независимыми

1.7 В урне находится 5 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимаются четыре шара. Вероятность того, что все шары будут белыми, равна …

1.8 В урне находится 5 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимаются четыре шара. Вероятность того, что один шар будет белым, а 3 черными, равна …

1.9 Вероятность достоверного события равна…

0

0,999

– 1

1

1.10 В квадрат со стороной 5 брошена точка.

Тогда вероятность того, что она попадет в выделенную область, равна …

2

2.  Теоремы сложения и умножения вероятностей

2.1 По мишени производится четыре выстрела. Значение вероятности промаха при первом выстреле 0,5; при втором – 0,3; при третьем – 0,2; при четвертом – 0,1.
Тогда вероятность того, что мишень будет поражена все четыре раза, равна…

0,215

0,003

0,515

0,252

2.2 По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих разнотипную продукцию, равны 0,4 и 0,15. Тогда вероятность банкротства обоих предприятий равна…

0,60

0,06

0,55

0,51

2.3 По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих разнотипную продукцию, равны 0,5 и 0,15. Тогда вероятность банкротства обоих предприятий равна…

0,75

0,075

0,65

0,425

2.4 По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих разнотипную продукцию, равны 0,5 и 0,25. Тогда вероятность банкротства обоих предприятий равна…

0,125

0,75

0,105

0,375

2.5 Пусть   - события, заключающиеся в том, что в электрической цепи

сопротивления  не вышли из строя за время , событие  - цепь из строя не вышла за время . Тогда представимо через   следующим образом …

2.6 Несовместные события ,  и  не образуют полную группу, если их вероятности равны …

, ,

, ,

, ,

, ,

2.7 Несовместные события ,  и  не образуют полную группу, если их вероятности равны …

, ,

, ,

, ,

, ,

2.8 Несовместные события ,  и  не образуют полную группу, если их вероятности равны …

, ,

, ,

, ,

, ,

2.9 Несовместные события ,  и  не образуют полную группу, если их вероятности равны …

, ,

, ,

, ,

, ,

2.10 Несовместные события ,  и  не образуют полную группу, если их вероятности равны …

, ,

, ,

, ,

, ,

3.  Дискретная случайная величина

3.1 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей

Если математическое ожидание , то значение  равно …

0

- 2

- 1

2

3.2 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

Тогда математическое ожидание случайной величины  равно…

3,7

3,8

3,4

4

3.3 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

Тогда математическое ожидание случайной величины  равно…

3,3

3

3,9

4,1

3.4 Страхуется 1200 автомобилей; считается, что каждый из них может попасть в аварию с вероятностью 0.1. Для вычисления вероятности того, что количество аварий среди всех застрахованных автомобилей не превзойдет 115, следует использовать…

формулу Байеса

формулу Пуассона

интегральную формулу Муавра-Лапласа

формулу полной вероятности

3.5 Дискретная случайная величина Х  задана законом распределения вероятностей

Тогда значение интегральной функции распределения вероятностей  равно …

0,5

0,3

0,9

0,6

4.  Непрерывная случайная величина

4.1 Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей .Тогда математическое ожидание этой нормально распределённой случайной величины равно …

9

81

162

10

4.2 Непрерывная случайная величина Х  задана интегральной функцией распределения вероятностей

Тогда значение С равно …

1,2

4

3

2,25

4.3 Непрерывная случайная величина Х  задана интегральной функцией распределения вероятностей

Тогда значение С равно …

0,5

1

0

1,1

4.4 Непрерывная случайная величина Х  задана дифференциальной функцией распределения вероятностей

Тогда значение С равно …

2

4.5 График плотности распределения вероятностей  случайной величины приведен на рисунке.

Тогда значение  равно …

1

0,8

0,75

5.  Статистическое распределение выборки

5.1 Статистическое распределение выборки имеет вид

Тогда относительная частота варианты , равна …

0,5

10

0,1

0,2

5.2 Статистическое распределение выборки имеет вид

Тогда относительная частота варианты , равна …

0,5

0,3

0,55

6

5.3 Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=50:

Тогда n4 равен…

24

23

50

7

5.4 По выборке объема n=100 построена гистограмма частот:

Тогда значение а равно…

55

6

5

4

5.5 По выборке объема n=100 построена гистограмма частот:

Тогда значение а равно…

5

6

56

7

6.  Характеристики вариационного ряда

6.1 Мода вариационного ряда 2 , 5 , 5 , 6 , 7 , 9 , 10 равна …

2

10

6

5

6.2 Мода вариационного ряда 5 , 8 , 8 , 9 , 10 , 11 , 13 равна …

5

8

13

9

6.3 Мода вариационного ряда 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 7 равна …

1

5

7

4

6.4 Мода вариационного ряда 1 , 2 , 5 , 6 , 7 , 7 , 10 равна …

1

10

6

7

6.5 Мода вариационного ряда 2 , 3 , 4 , 7 , 8 , 8 , 9 равна …

7

2

9

8

7.  Интервальные оценки параметров распределения

7.1 Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 12. Тогда его интервальная оценка может иметь вид …

(10,8; 12)

(12; 13,7)

(11,2; 11,8)

(10,6; 13,4)

7.2 Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 13. Тогда его интервальная оценка может иметь вид …

(11,8; 14,2)

(13; 14,6)

(11,8; 12,8)

(11,6; 13)

7.3 Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 14. Тогда его интервальная оценка может иметь вид …

(12,6; 15,4)

(14; 15,1)

(12,1; 14)

(12,7; 13,7)

7.4 Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 11. Тогда его интервальная оценка может иметь вид...

(10,1; 11,9)

(10,1; 11)

(11; 11,9)

(10,1; 10,8)

7.5 Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 13. Тогда его интервальная оценка может иметь вид...

(13; 13,7)

(12,3; 12,8)

(12,3; 13,7)

(12,3; 13)

8.  Проверка статистических гипотез

8.1 Если основная гипотеза имеет вид , то конкурирующей может быть гипотеза …

8.2 Если основная гипотеза имеет вид , то конкурирующей может быть гипотеза …

8.3 Если основная гипотеза имеет вид , то конкурирующей может быть гипотеза …

8.4 Если основная гипотеза имеет вид , то конкурирующей может быть гипотеза …

8.5 Если основная гипотеза имеет вид , то конкурирующей может быть гипотеза …

Раздел 10. Источники

10.1. Основная литература

1. Теория вероятностей и математическая статистика ЮНИТИ М.2009г.

10.2. Дополнительная

2. и др. Вся высшая математика. Тома 1-4. М.: Эдиториал 2009г..

Раздел 11. Глоссарий (словарь)

Событие называется случайным, если в результате опыта оно может либо произойти, либо не произойти.

Событие называется достоверным, если оно обязательно появляется в результате данного опыта, и невозможным, если оно не может появиться в этом опыте.

события называются несовместными, /если они вместе не могут
наблюдаться в одном и том же опыте.

Суммой событий 4,, А2, ..., Ап называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий:

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Исход называется благоприятствующий данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.

Вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов:

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В),

Если при наступлении события А вероятность события В не меняет-сяд то события А и В называются независимыми

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же опыте,

Величина называется случайной, если в результате опыта они может принимать любые заранее неизвестные значения.

Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения.

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие вероятности:

М(Х) = Мх = XlPl + х^г + ... + *Л = xlfr

Дисперсией случайной величины А' называется математическое ожидание квадрата отклонения ее от математического ожидания самой величины:

Плотностью распределения вероятностей /(х) непрерывной - случайной величины Л' называется производная от ее функции распределения вероятностей

f(x) = F'(x).

Для непрерывной двумерной случайной величины функция распределения записывается в виде интеграла:

Р(*,У)= } lf(x,y)dxdy,

где /(%, у) — плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины.

Функция распределения F(x, у) представляет собой вероятность события (X < х, Y < у), т. е.

F(x,y) = P(X<x, Y<y).

Ковариацией, или корреляционным моментом, случайных величин X и У называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий, т. е. смешанный центральный момент второго порядка

»xy=M((X-MxKY-My)).

Коэффициентом корреляции г^ случайных величин X к Y называют отношение ковариации к произведению средних Квадратичных отклонений этих величин

Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт асимптотического приближения .среднего значения большого числа опытных данных к математическому ожиданию случайной величины.

Центральная предельная теорема. Если случайная величина ^представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному. •

Понятие генеральной совокупности связано с понятием полного поля элементарных событий. Это поле событий может быть конечным или бесконечным. Полное ноле событий может меняться в зависимости от организации опытов,

Повторной называют выборку, при которой объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой избранный объект в генеральную совокупность не возвращается

Если выборка правильно отражает соотношения в генеральной совокупности, то ее называют репрезентативной (представительной).

Число наблюдений л(. называется частотой, а значение его отношения к объему выборки - относительной частотой:

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х., и,.). По оси абсцисс откладывают точки ж,, а по оси ординат - соответствующие значения nt (частоты)

Гистограммой называется ступенчатая фигура), состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки длиной А,

п, п.

а высоты равны —. Величина — называется плотностью частоты,

Несмещенной называется статистическая оценка в*, математическое" ожидание которой равно оцениваемому параметру А/ (в*) = 0.

Смещенной называется оценка 0*, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Так же как и для любой случайной величины, оценка 0* может иметь большой или небольшой разброс (дисперсию) относительно математического ожидания.

Эффективной называется статистическая оценка, которая при одних и тех же объемах выборки имеет наименьшую дисперсию.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при увеличении объема выборки п стремится по вероятности к оцениваемому параметру,

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Рас-смотренные выше оценки (хв, dt) точечные. '

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу HQ. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу #,, которая противоречит основной

Критической областью называется область значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается. Областью принятия гипотезы называется совокупность значений критерия, при которых гипотеза принимается. Критическими точками (границами) k^ называются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы

Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Приложение Лист переутверждения учебно-методического комплекса учебной дисциплины

Учебно-методический комплекс:

одобрен на 2011/2012 учебный год. Протокол № 11 заседания кафедры

от “18” г.

Зав. кафедрой

одобрен на 2012/2013 учебный год. Протокол № 11 заседания кафедры

от “21” г.

Зав. кафедрой

одобрен на 2013/2014 учебный год. Протокол № 5 заседания кафедры

от “18” г.

Зав. кафедрой