Тема №1. Предмет теории вероятностей. Полная группа равновозможных событий. Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.
Предмет теории вероятностей и ее значение для экономической науки. Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое и геометрическое определения вероятности. Комбинаторика. Частота события, ее свойства, статистическая устойчивость частоты. Аксиомы теории вероятностей. Простейшие следствия из аксиом.
Тема №2. Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей событий. Зависимые и независимые события.
Геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события. Принцип практической невозможности маловероятных событий.
Тема №3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез, формула Бейеса.
Тема №4. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
Тема №5. Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
Виды случайных величин. Дискретная и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий. Геометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение.
Тема №6. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Вероятностный смысл математического ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях. Начальные и центральные теоретические моменты.
Тема №7. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема.
Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Неравенство Чебышева. Значение теоремы Чебышева для практики. Теорема Бернулли.
Тема №8. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Функция распределения вероятностей случайной величины: определение, свойства, график. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины: определение, свойства.
Тема №9. Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения.
Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения. Правило трех сигм. Распределения «хи квадрат» и Стьюдента.
Тема №10. Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики.
Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики. Функция надежности. Показательный закон надежности.
Тема №11. Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики.
Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики. Свойства функции распределения. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область. Коэффициент корреляции. Линейная регрессия.
Тема №12. Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
Выборочный метод. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Повторная и репрезентативная выборки. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
Тема №13. Статистические оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Метод наибольшего правдоподобия.
Тема №14. Методы расчета сводных характеристик выборки. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа.
Методы расчета сводных характеристик выборки. Эмпирические моменты. Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Выборочные уравнения регрессии. Выборочный коэффициент корреляции. Понятие о множественной корреляции.
Тема №15. Статистическая проверка статистических гипотез. Область принятия гипотезы. Цепи Маркова и их применение.
Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы. Область принятия гипотезы. Понятие о критерии согласия. Критерий согласия Пирсона. Критерий согласия Колмогорова. Цепи Маркова и их применение. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода. Равенство Маркова.
Литература: [1],; [2],
Раздел 7. Планы семинарских и практических занятий
7.1. Планы семинарских и практических занятий для студентов очной формы обучения
Практическое занятие по теме №1 *. Предмет теории вероятностей. Полная группа равновозможных событий. Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики - 2 часа
Цель занятия Полная группа равновозможных событий. Классическое определение вероятности.
Форма проведения занятия: Групповое занятие
Содержание занятия вопросы для обсуждения : предмет теории вероятностей и ее значение для экономической науки. Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое и геометрическое определения вероятности. Комбинаторика. Частота события, ее свойства, статистическая устойчивость частоты. Аксиомы теории вероятностей. Простейшие следствия из аксиом.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое и геометрическое определения вероятности. Комбинаторика. Частота события, ее свойства, статистическая устойчивость частоты. Аксиомы теории вероятностей обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
1. В турнире участвуют 16 шахматистов. Сколько партий состоится, если любые два должны сыгрануть одну партию? 2
2.Буквы Т, Е, И, Я, Р, и О раскладываются в произвольном порядке. Каковы вероятности получения слов ТЕОРИЯ, ТОР?
Практикум тесты 1.1-1.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1],;
Практическое занятие по теме №2 *Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей событий. Зависимые и независимые события 2 часа
Цель занятия Теорема сложения вероятностей событий. Зависимые и независимые события
Форма проведения занятия: Групповое занятие
Содержание занятия вопросы для обсуждения :
Геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события. Принцип практической невозможности маловероятных событий
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей событий. Зависимые и независимые события «с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
Случайные события А и В, удовлетворяющие условиям 
, 
, 
, являются …
совместными и зависимыми
несовместными и зависимыми
несовместными и независимыми
совместными и независимыми
Практикум тесты 2.1-2.5
Рекомендуемаялитература:
Основная литература
[1],;
Практическое занятие по теме №3 * Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса 2 часа
Цель занятия Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Форма проведения занятия: Групповое занятие
Содержание занятия вопросы для обсуждения : :Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез, формула Бейеса.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам « «Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса
с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы :
В урне находится 5 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимаются четыре шара. Вероятность того, что все шары будут белыми, равна …
Практикум тесты 3.1-3.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1],;
Практическое занятие по теме №4 * Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. 2 часа
Цель занятия. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам « Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа»
с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
1. В четырех попытках разыгрываются некоторые предмета. Вероятность выигрыша в каждой попытке равна 0,5. Какова вероятность выигрыша трех предметов?
2.. Предприятие изготовило и отправило заказчику бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0,0001. Найти вероятности того, что в отправленной партии будет три и пять битых бутылок
Практикум тесты 14.1-14.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1],;
Практическое занятие по теме №.5.* Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. 2 часа
Цель занятия Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Виды случайных величин. Дискретная и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий. Геометрическое распределение. Гипергеометрическое распределение.
1. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (2, 8). Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
2. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 10, а среднее квадратичное отклонение равно 2, Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (9, 12).
3.Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 18, а вероятность ее попадания в интервал (16, 20) равна 0,98. Найти среднее квадратичное отклонение случайной величины
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам « Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.»
Задания для самостоятельной работы.
Практикум тесты 4.6-4.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1],;
Практическое занятие по теме №.6. * Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение. 2 часа
Цель занятия Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Вероятностный смысл математического ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях. Начальные и центральные теоретические моменты.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение» с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
1.. Дано следующее распределение дискретной случайной величины:
X | 1 | 2 | 4 | 5 |
р | 0,2 | 0,1 | 0,4 | 0,3 |
Найти ее дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
2. В пяти торговых точках проверяется годовой баланс. Вероятность правильного оформления баланса в каждой точке равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию правильно оформленных балансов.
Практикум тесты 5.1-5.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1],;
Практическое занятие по теме №7. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема. 2 часа
Цель занятия Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Неравенство Чебышева. Значение теоремы Чебышева для практики. Теорема Бернулли.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема» с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
1. Анализ Теоремы Чебышева, которая устанавливает связь между теорией вероятностей, которая рассматривает средние характеристики всего множества значений случайной величины, и математической статистикой. Она показывает, что при достаточно, большом числе измерений некоторой случайной величины среднее арифметическое значений этих измерений приближается к математическому ожиданию.
2 Анализ Центральной предельной Теоремы. Если случайная величина ^представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному. •
Практикум тесты 5.6-5.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1],;
Практическое занятие по теме №8. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. 2 часа
Цель занятия. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Функция распределения вероятностей случайной величины: определение, свойства, график. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины: определение, свойства.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины» с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
Случайная величина X задана плотностью вероятности 2х в интервале (О, 1), «не этого интервала/(х) = 0. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
Практикум тесты 6.1-6.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1],;
Практическое занятие по теме №9 Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения. 2 часа
Цель занятия. Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения. Правило трех сигм. Распределения «хи квадрат» и Стьюдента
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения. Правило трех сигм. Распределения «хи квадрат» и Стьюдента « с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
1. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 12, а среднее квадратичное отклонение равно 3, Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (9, 11).
2. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 15, а вероятность ее попадания в интервал (16, 21) равна 0,98. Найти среднее квадратичное отклонение случайной величины
Практикум тесты 6.6-6.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №10. Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики. 2 час
Цель занятия. Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики. Функция надежности. Показательный закон надежности.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики.» с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
Случайная величина X распределена равномерно в интервале (1, 7). Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
Практикум тесты 7.1-7.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №11. Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики. 2час
Цель занятия. Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики. Свойства функции распределения. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область. Коэффициент корреляции. Линейная регрессия
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики.» с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
Найти линейную среднюю квадратическую регрессию Хна Y" при следующих исходных данных: математические ожидания тxх = 3, my — 6, ковариация V_ = -10, средние квадратичные отклонения а = 5, У
Практикум тесты 7.6-7.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №12. Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения. 2 часа
Цель занятия. . Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Выборочный метод. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Повторная и репрезентативная выборки. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.» с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
Построить эмпирическую функцию распределения по данной выборке:
*/ | 2 | 6 | 8 | 10 |
»/ | 6 | 16 | 18 | 20 |
Практикум тесты 8.1-8.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1],;
Практическое занятие по теме №13. Статистические оценки
и параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал. 2 час
. Цель занятия. Статистические оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Метод наибольшего правдоподобия.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Статистические оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал « с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти общую среднюю на основе выборки:
Группа | 1 | 2 | ||
Значение варианты | 1 | 6 | 1 | 5 |
Частота | 10 | 15 | 20 | 30 |
Объем | 25 | 50 |
2. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра X в распределении Пуассона
Практикум тесты 8.6-8.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1],
Практическое занятие по теме №14. Методы расчета сводных характеристик выборки. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа. 4 час
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Методы расчета сводных характеристик выборки. Эмпирические моменты. Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Выборочные уравнения регрессии. Выборочный коэффициент корреляции. Понятие о множественной корреляции.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Методы расчета сводных характеристик выборки. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
1. Пусть величина А'имеет нормальное распределение. Проведена выборка, объем которой я = 25, и найдено «исправленное» выборочное среднее квадратичное отклонение s = 0,8- Найти доверительный интервал, покрывающий о^ с надежностью y "" 0,95.
2. В магазине постельных принадлежностей в течение пяти дней подсчитывали число покупок простыней X и подушек Y:
х, 10 Iу, 4 ч |
(Выданной таблице значения А'расставлены в возрастающем порядке.) Найти выборочное уравнение линейной регрессии и выборочный коэффициент корреляции.
Практикум тесты 8.1-8.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература [1],
Практическое занятие по теме №15. Статистическая проверка статистических гипотез. Область принятия гипотезы. Цепи Маркова и их применение. 2 час
Цель занятия: Статистическая проверка статистических гипотез. Область принятия гипотезы
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения
Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы. Область принятия гипотезы. Понятие о критерии согласия. Критерий согласия Пирсона. Критерий согласия Колмогорова. Цепи Маркова и их применение. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода. Равенство Маркова
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Статистическая проверка статистических гипотез. Область принятия гипотезы « с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
Проведены измерения для каждого из трех уровней некоторого фактора Ф. В качестве уровня значимости принимается величина а = 0,05. Проверить дудевую гидоте^ о незначительном влиянии фактора Ф,
Исходные данные помещены в табл.
Таблица
Номер Уррвни фактора измерения Ф, Ф2 Ф3 14 31 3D 34 xtj |
Практикум тесты 2.1-2.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература [1]
7.2. Планы практических занятий для студентов очно-заочной формы обучения
Практическое занятие по теме №1 . Предмет теории вероятностей. Полная группа равновозможных событий. Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики 1 час
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
